struct(sec): 正文文件重命名为 sec1/2/3/6，主线外的归档
按 agent_instruction.md 阶段 4 的命名约定： - detDoaEst → sec1_singleArrayDoa - detDoaDopplerEst → sec2_singleArrayDoaDoppler - multiArrayStatDetDoaDopplerEst → sec3_multiSatSingleUser - multiArrayDynDetDoaDopplerEst → sec6_multiFrameCp 不进入主线的内容归档到 archive/： - stoDoaEst（空文件）、stoDoaDopplerEst（仅注释） - multiArrayStoDoaEst（随机信号模型不进入主线） - multiArrayDetDoaDopplerDelayEst（与新论文方向不符） - 98-future work、99-literature（前言已并入"后续方向"段） 主文件 \input 顺序对齐新命名，并为 sec4/sec5/sec7 留出注释占位。 abstract 同步更新以反映学习笔记定位与新章节结构。 本提交仅做结构搬迁，内容改写见后续 content commit。
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\section{确定信号 DoA--Doppler 估计}
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\label{sec:det_doa_doppler_est}
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本节在单阵列确定信号 DoA 模板上加入归一化角 Doppler $\nu_k$，是从纯空间阵列模型过渡到空时导向模型的桥梁。若仍把发送信号 $x_k(t)$ 在每一时刻都视为自由未知量，则 Doppler 项 $e^{j\nu_k t}$ 会被吸收进未知的 $x_k(t)$ 中，从而使 $\nu_k$ 不可辨识并导致 \gls{crb} 奇异。因此，本节沿用第~\ref{subsec:single_arr_doa_doppler_est} 小节的归一化 Doppler 约定，并显式引入已知导频序列 $s_k(t)$。当 $s_k(t)\equiv1$ 时，下面模型退化为常包络导频或单音模型。
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\subsection{似然函数求取}
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定义第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为
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\begin{equation}
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\mathbf q_k(\nu_k)
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\triangleq
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\begin{bmatrix}
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s_k(0)e^{j\nu_k\cdot0} \\
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s_k(1)e^{j\nu_k\cdot1} \\
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\vdots \\
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s_k(T-1)e^{j\nu_k(T-1)}
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||||
\end{bmatrix}
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\in\mathbb C^{T\times1}.
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\end{equation}
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令 $\mathbf a_k\triangleq\mathbf a(\bm\theta_k)$，并将第 $k$ 个信源的未知复增益记为 $\zeta_k$，则所有快拍可写为
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\begin{equation}
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\mathbf Y
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=
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\sum_{k=1}^{K}\zeta_k\mathbf a(\bm\theta_k)\mathbf q_k^\Tran(\nu_k)
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+
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\mathbf N,
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\end{equation}
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其中 $\mathbf Y=[\mathbf y_0,\ldots,\mathbf y_{T-1}]\in\mathbb C^{M\times T}$，$\mathbf N=[\mathbf n_0,\ldots,\mathbf n_{T-1}]\in\mathbb C^{M\times T}$。
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进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向列向量和整体空时字典为
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\begin{equation}
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\mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)
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\triangleq
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\mathbf q_k(\nu_k)\otimes\mathbf a(\bm\theta_k)
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\in\mathbb C^{MT\times1},
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\end{equation}
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\begin{equation}
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\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
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\triangleq
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\left[
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\mathbf b_{\mathrm{st},1},\ldots,\mathbf b_{\mathrm{st},K}
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\right]
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\in\mathbb C^{MT\times K}.
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\end{equation}
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定义信源复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$，则接收信号可以进一步表示为
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\begin{equation}
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\label{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}
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\tilde{\mathbf y}
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\triangleq
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\vect(\mathbf Y)
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=
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\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)\boldsymbol\zeta
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+
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\tilde{\mathbf n},
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\qquad
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\tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N).
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\end{equation}
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由于噪声在时间和空间上均不相关，且 $\tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT})$，其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$，有
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\begin{equation}
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\tilde{\mathbf y}
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\sim
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\mathcal{CN}\big(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT}\big).
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\end{equation}
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因此，观测似然函数为
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\begin{equation}
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L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta)
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=
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(\pi\sigma)^{-MT}
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\exp\left[
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-\frac{1}{\sigma}
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||||
\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2
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\right],
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\end{equation}
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对应对数似然函数为
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\begin{equation}
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\label{eq:singlelog_likelihood}
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\ln\mathcal L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta)
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=
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\mathrm{Const}
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-MT\ln\sigma
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||||
-\frac{1}{\sigma}
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||||
\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2.
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\end{equation}
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\subsection{确定/条件最大似然}
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\subsubsection{原始问题建模}
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\Gls{dml}/\gls{cml} 优化问题可以表述为
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\begin{alignat}{2}
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\label{eq:det_ml_doa_doppler_opt}
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&\minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma} \quad &&
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MT\ln\sigma
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||||
+
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||||
\frac{1}{\sigma}\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2
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||||
\nonumber\\
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&\text{subject to} && \bm\Theta\in\varTheta.
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\end{alignat}
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\subsubsection{集中似然表达}
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我们关心的是信号来向 $\bm\Theta$ 和 Doppler $\boldsymbol\nu$。假设 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩，则对固定的 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$，复增益和噪声方差的极大似然估计为
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\begin{subequations}
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\zeta}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
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=
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\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}
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||||
\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\tilde{\mathbf y},
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\end{equation}
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\begin{equation}
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||||
\widehat\sigma(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
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=
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||||
\frac{1}{MT}\tilde{\mathbf y}^\Herm
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||||
\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
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||||
\tilde{\mathbf y},
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||||
\end{equation}
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\end{subequations}
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其中
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\begin{equation}
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\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}
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\triangleq
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||||
\mathbf B_{\mathrm{st}}
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||||
\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}
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||||
\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm.
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||||
\end{equation}
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代入式~\eqref{eq:det_ml_doa_doppler_opt} 后，可以得到 $\bm\Theta$ 和 $\boldsymbol\nu$ 的集中确定最大似然估计
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\begin{equation}
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\label{eq:con_det_ml_doa_doppler_opt}
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\left(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\right)
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=
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\argmin_{\bm\Theta,\boldsymbol\nu}
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||||
\tilde{\mathbf y}^\Herm
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||||
\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
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||||
\tilde{\mathbf y}.
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\end{equation}
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也即 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 的估计可以通过最小化
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\begin{equation}
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\mathcal J(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
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\triangleq
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||||
\tilde{\mathbf y}^\Herm
|
||||
\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)}\right)
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||||
\tilde{\mathbf y}
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\end{equation}
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得到。
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若不关心 Doppler，可将其视为干扰参数并先做 profile 处理：
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\begin{equation}
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\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}}
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||||
=
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\argmin_{\bm\Theta}
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\min_{\boldsymbol\nu}
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\tilde{\mathbf y}^\Herm
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||||
\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
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||||
\tilde{\mathbf y}.
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\end{equation}
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由此可见，Doppler 不是简单附加在 DoA 估计之后的独立标量，而是通过时间模板与空间导向矢量共同形成空时子空间。多星静态 DoA--Doppler 模型将在这一思想上进一步加入卫星几何约束：各链路 Doppler 不再独立搜索，而由同一个 $\boldsymbol\xi$ 和参考星参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 统一诱导。
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