fix: 行内链乘/算子导数也改用 \dfrac

E318 链式 ∂q/∂ξ=(∂q/∂ν)(∂ν/∂ξ) 用 \left(\dfrac\right)\left(\dfrac\right);G54 Kronecker 装配式、E159 记号定义、A528/H177 算子 ∂/∂δ→\dfrac{∂}{∂δ}。斜杠现仅留 D_ℓ 行向量条目(E630/E338/G50/G98-99)。
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@@ -525,7 +525,7 @@
上标 $\mathrm{cp}$ & continuous-phase,即连续相位模型。\\
上标 $\mathrm{ip}$ & independent-phase,即独立相位基线模型。\\
下标 $\mathrm{mu}$ & multi-user,多用户场景下的主参数或干扰参数分组。\\
上标 $\mathrm{te}$ & timestamp-error,标记对时间戳误差 $\delta_\ell$ 求导($\partial/\partial\delta_\ell$)得到的模板,如 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$。\\
上标 $\mathrm{te}$ & timestamp-error,标记对时间戳误差 $\delta_\ell$ 求导($\dfrac{\partial}{\partial\delta_\ell}$)得到的模板,如 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$。\\
上标 $\mathrm{str}$ & structured,即保留结构化公共相位或幅度约束后的模型或残差。\\
上标 $\mathrm{rel}$ & relaxed,即放松块复干扰系数 结构后的模型或残差。\\
上标 $\mathrm{pro}$ & profiled,即已经对部分干扰参数作轮廓化处理的似然或目标函数。\\
+2 -2
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@@ -156,7 +156,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数,$\sig
\end{bmatrix},
\end{equation}
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本小节采用分子布局的 Jacobian 记号:对向量值函数 $\mathbf f$ 与参数向量 $\mathbf x$,$\partial\mathbf f/\partial\mathbf x^\Tran$ 的行随 $\mathbf f$ 分量、列随 $\mathbf x$ 分量,链式法则即对应 Jacobian 的矩阵相乘;角度部分记 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$。其关于全局角度的 Jacobian 为
本小节采用分子布局的 Jacobian 记号:对向量值函数 $\mathbf f$ 与参数向量 $\mathbf x$,$\dfrac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf x^\Tran}$ 的行随 $\mathbf f$ 分量、列随 $\mathbf x$ 分量,链式法则即对应 Jacobian 的矩阵相乘;角度部分记 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$。其关于全局角度的 Jacobian 为
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\begin{equation}
\frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
@@ -315,7 +315,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数,$\sig
\label{eq:A6_dq}
\end{equation}
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其中 $\partial\nu_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$ 取 \eqref{eq:A6_domega};其角度部分记 $\partial\mathbf q_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran=(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\,(\partial\nu_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)\in\mathbb C^{T\times2}$,$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=1$ 即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell$。
其中 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_domega};其角度部分记 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\,\left(\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}\right)\in\mathbb C^{T\times2}$,$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 即 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}$。
对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\mathbf q_\ell$ 不依赖角度,其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为
%
+1 -1
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@@ -51,7 +51,7 @@ Doppler 部分,由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
\,\big]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4},
\end{equation}
%
其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\otimes\mathbf a_\ell$,$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形:
其中位置列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_i}=\mathbf q_\ell\otimes\left(\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}\right)+\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}\right)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\otimes\mathbf a_\ell$,$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形:
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\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
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@@ -174,7 +174,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构:第 $\ell$
大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 \gls{efim} 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数,按下列流程逐场景数值评估:
\begin{enumerate}
\item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_\ell$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$;
\item 对每颗卫星 $\ell$,按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\partial/\partial\delta_\ell$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似,而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$;
\item 对每颗卫星 $\ell$,按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\dfrac{\partial}{\partial\delta_\ell}$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似,而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$;
\item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块,按\appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$;
\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。
\end{enumerate}