content(app-F): 补全未知参考率对角度界的影响条件
在既有 K/U 消元关系中分离完整信息损失、角度协方差及合成指标。 明确单星冻结可分模型的正交条件，并用消参考 Doppler 后的耦合解释多星近重合。 保留有限距离相对率的角导数和完整协方差变换，不扩大模型或实验范围。 复用现有确定性脚本核对协方差更新、SS 正交性与非零信息损失反例。 自检及 SyncTeX 多遍编译通过，无断引用或新增溢出；实际图值以代码侧回灌为准。
This commit is contained in:
@@ -1,4 +1,4 @@
|
||||
"""Deterministic formula checks for Appendix G; run: python check_finite_range_bearing.py.
|
||||
"""Deterministic formula checks for Appendices F/G; run: python check_finite_range_bearing.py.
|
||||
|
||||
Synthetic sphere and known trajectories only: no constellation or MC validation.
|
||||
"""
|
||||
@@ -182,6 +182,53 @@ def main():
|
||||
assert np.linalg.matrix_rank(projected) == 4
|
||||
cov = np.linalg.inv(info)
|
||||
check("full covariance reparameterization", T@np.linalg.inv(T.T@info@T)@T.T, cov)
|
||||
# Appendix F: structured CP has real frame amplitudes and one phase per star.
|
||||
for selected in [[0], [0, 1]]:
|
||||
Jcp = np.vstack([jac[ell] for ell in selected])
|
||||
N = np.zeros((len(Jcp), len(selected)*(len(TIMES)+1)), dtype=complex)
|
||||
block_size = len(TIMES)*len(ARRAY)
|
||||
for star, ell in enumerate(selected):
|
||||
rows = slice(star*block_size, (star+1)*block_size)
|
||||
N[rows, star*(len(TIMES)+1)] = 1j*means[ell]
|
||||
for frame in range(len(TIMES)):
|
||||
block = slice(star*block_size+frame*len(ARRAY),
|
||||
star*block_size+(frame+1)*len(ARRAY))
|
||||
N[block, star*(len(TIMES)+1)+frame+1] = means[ell][frame*len(ARRAY):(frame+1)*len(ARRAY)]
|
||||
real_N = np.vstack((N.real, N.imag))
|
||||
scores = np.vstack((Jcp.real, Jcp.imag))*np.sqrt(2)
|
||||
residual_scores = scores-real_N@np.linalg.lstsq(real_N, scores, rcond=None)[0]
|
||||
I = residual_scores.T@residual_scores
|
||||
K, coupling, rate_info = I[:3, :3], I[:3, 3], I[3, 3]
|
||||
CK = np.linalg.inv(K)
|
||||
CU = np.linalg.inv(K-np.outer(coupling, coupling)/rate_info)
|
||||
v = CK@coupling
|
||||
h = rate_info-coupling@v
|
||||
assert h > 0, "K/U covariance identities require identifiable rate"
|
||||
check("CP K/U full covariance update", CU-CK, np.outer(v, v)/h, 1e-9)
|
||||
q = coupling[:2]-K[:2, 2]*coupling[2]/K[2, 2]
|
||||
G = K[:2, :2]-np.outer(K[:2, 2], K[:2, 2])/K[2, 2]
|
||||
check("partial angle-rate coupling", v[:2], np.linalg.solve(G, q), 1e-9)
|
||||
metric = np.diag([np.cos(x[1])**2, 1.])
|
||||
check("CP K/U angular metric update", np.trace(metric@(CU[:2, :2]-CK[:2, :2])),
|
||||
v[:2]@metric@v[:2]/h, 1e-9)
|
||||
if len(selected) == 1:
|
||||
check("SS spatial-temporal orthogonality", I[:2, 2:], np.zeros((2, 2)), 1e-10)
|
||||
check("SS exact angular subblock equality", CU[:2, :2], CK[:2, :2], 1e-10)
|
||||
assert CU[2, 2] > CK[2, 2], "First-sample time origin couples frequency and rate"
|
||||
# Nonzero EFIM loss can affect only Doppler after the covariance update.
|
||||
K = np.array([[3., .3, .5], [.3, 2., -.4], [.5, -.4, 4.]])
|
||||
CK = np.linalg.inv(K)
|
||||
for v in [np.array([0., 0., .7]), np.array([.2, -.3, .7])]:
|
||||
coupling = K@v
|
||||
rate_info = coupling@v+2.
|
||||
CU = np.linalg.inv(K-np.outer(coupling, coupling)/rate_info)
|
||||
check("synthetic rate-only covariance update", CU-CK, np.outer(v, v)/2., 1e-12)
|
||||
assert np.linalg.norm(coupling[:2]) > 0
|
||||
if np.linalg.norm(v[:2]) == 0:
|
||||
check("nonzero EFIM loss with equal angle bounds", CU[:2, :2], CK[:2, :2], 1e-12)
|
||||
assert CU[2, 2] > CK[2, 2]
|
||||
else:
|
||||
assert np.trace(metric@(CU[:2, :2]-CK[:2, :2])) > 0
|
||||
delta = .19
|
||||
shifted = TIMES-delta
|
||||
for ell in range(2):
|
||||
|
||||
@@ -547,8 +547,14 @@
|
||||
因此 $\dfrac{\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 且 $\dfrac{\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
|
||||
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
|
||||
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} 得分的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差得分仍具有沿参考导向矢量的时间相位结构。
|
||||
在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
|
||||
这里还要求同一星的阵列响应在各帧冻结，已知导频与角度无关，噪声采用本节的时空白噪声，
|
||||
参考 Doppler 和 rate 为独立自由标量，并按结构化幅度及公共相位消元。
|
||||
在这些时空可分条件下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
|
||||
这解释了单星多帧下 Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的严格重合。
|
||||
参考相对映射为零排除了角度的时间相位导数，但这一点本身不替代上述空间--时间正交条件。
|
||||
这一结论也适用于\appref{subsec:G_reference_bearing} 的有限距离参考来向参数化，
|
||||
只需该角坐标为正则局部坐标；已知高度不把两个参考标量改为角度的已知函数。
|
||||
观测时间不必居中，首帧首样本为时间原点同样成立。
|
||||
|
||||
在多星情形中，非参考星通常满足
|
||||
%
|
||||
@@ -566,8 +572,84 @@
|
||||
%
|
||||
此时 \gls{doa} 导数包含由 $\dfrac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial\Delta\dot\nu_\ell}{\partial x}$ 诱导的时间相位分量。
|
||||
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。
|
||||
若数值上多星 \gls{doa} \gls{crb} 仍与 Doppler rate 已知基准基本重合，更稳妥的解释是：在所选代表性几何下，\gls{doa} 残差得分与残差化的 Doppler rate 干扰方向的耦合较弱。
|
||||
这一定量现象适合作为 \gls{efim} 度量的自洽性检查，而不应升级为主要理论贡献。
|
||||
角相关的时间映射不自动保证角度界有可见变化。需进一步消去参考 Doppler，
|
||||
再比较角度的有效信息及协方差，而不是仅检查 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 是否有非零扣减。
|
||||
|
||||
\paragraph{消去参考 Doppler 后的角度条件}
|
||||
沿用 \eqref{eq:A7_CP_K_partition_xi_nu_rate} 的分块，定义
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:A7_angle_rate_partial_coupling}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
\mathbf G&=\mathbf A_{\xi\xi}^{\mathrm K}
|
||||
-\frac{\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}\mathbf a_{\nu\xi}^{\mathrm K}}
|
||||
{a_{\nu\nu}^{\mathrm K}},\\
|
||||
\mathbf q&=\mathbf i_{\xi\dot\nu}
|
||||
-\frac{\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}i_{\nu\dot\nu}}
|
||||
{a_{\nu\nu}^{\mathrm K}},\qquad
|
||||
d=i_{\dot\nu\dot\nu}-\frac{i_{\nu\dot\nu}^2}{a_{\nu\nu}^{\mathrm K}}.
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
假设扩展信息矩阵正定，因而 $a_{\nu\nu}^{\mathrm K}>0$、$d>0$。
|
||||
先消去 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 后，关于角度和 rate 的矩阵为
|
||||
$\left[\begin{smallmatrix}\mathbf G&\mathbf q\\\mathbf q^\Tran&d\end{smallmatrix}\right]$。
|
||||
因此，两个角度协方差子块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:A7_angle_covariance_KU}
|
||||
\mathbf C_{\xi}^{\mathrm K}=\mathbf G^{-1},\qquad
|
||||
\mathbf C_{\xi}^{\mathrm U}
|
||||
=\left(\mathbf G-\frac{\mathbf q\mathbf q^\Tran}{d}\right)^{-1},\qquad
|
||||
\mathbf C_{\xi}^{\mathrm U}=\mathbf C_{\xi}^{\mathrm K}
|
||||
\ \Longleftrightarrow\ \mathbf q=\mathbf0.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这由 Schur 消元的顺序等价性直接得到。$\mathbf q$ 是消去幅相和参考 Doppler 后的角度--rate 耦合；
|
||||
它可以因投影抵消而为零，即使 $\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和
|
||||
$\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 各自不为零。
|
||||
式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 是足够条件，
|
||||
而 \eqref{eq:A7_angle_covariance_KU} 给出这一正定工作点上更一般的判据。
|
||||
|
||||
\paragraph{完整协方差更新与合成角度指标}
|
||||
记 $\mathbf C_{\eta}^{\mathrm K}=(\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K})^{-1}$，令
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:A7_rate_covariance_update}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
\mathbf v&=\mathbf C_{\eta}^{\mathrm K}\mathbf i_{\eta\dot\nu},\qquad
|
||||
h=i_{\dot\nu\dot\nu}
|
||||
-\mathbf i_{\dot\nu\eta}\mathbf C_{\eta}^{\mathrm K}\mathbf i_{\eta\dot\nu}>0,\\
|
||||
\mathbf C_{\eta}^{\mathrm U}-\mathbf C_{\eta}^{\mathrm K}
|
||||
&=\frac{\mathbf v\mathbf v^\Tran}{h},\qquad
|
||||
\mathbf C_{\xi}^{\mathrm U}-\mathbf C_{\xi}^{\mathrm K}
|
||||
=\frac{\mathbf v_\xi\mathbf v_\xi^\Tran}{h},\qquad
|
||||
\mathbf v_\xi=\mathbf G^{-1}\mathbf q.
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
将 \eqref{eq:A7_rate_covariance_update} 代回两个矩阵的乘积，或使用单秩逆更新，可验证该恒等式。
|
||||
完整 \gls{efim} 相同要求 $\mathbf i_{\eta\dot\nu}=\mathbf0$；
|
||||
角度子块相同只要求 $\mathbf v_\xi=\mathbf0$，允许参考 Doppler 方差增大。
|
||||
对 \eqref{eq:A7_direction_mse_bound} 的同一局部角度指标，有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:A7_angle_metric_KU_difference}
|
||||
B_\theta^{\mathrm U}-B_\theta^{\mathrm K}
|
||||
=\frac{\mathbf v_\xi^\Tran\mathbf W_\xi\mathbf v_\xi}{h},\qquad
|
||||
\sqrt{B_\theta^{\mathrm U}}-\sqrt{B_\theta^{\mathrm K}}
|
||||
=\frac{B_\theta^{\mathrm U}-B_\theta^{\mathrm K}}
|
||||
{\sqrt{B_\theta^{\mathrm U}}+\sqrt{B_\theta^{\mathrm K}}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
在 $\cos\beta\ne0$ 的正则角坐标中，$\mathbf W_\xi\succ0$，
|
||||
所以该合成指标严格相等与角度协方差子块严格相等等价；
|
||||
这来自本模型的半正定单秩更新，不是任意两个协方差具有相同加权迹的一般性质。
|
||||
对非满秩的其他投影指标，指标相等只要求 $\mathbf W_\xi^{1/2}\mathbf v_\xi=\mathbf0$。
|
||||
经纬度实现转为参考来向时，须先按 \eqref{eq:G_bearing_covariance_transform} 变换完整协方差，保留交叉项。
|
||||
多星指标近似一致的直接条件是 \eqref{eq:A7_angle_metric_KU_difference} 相对于报告尺度足够小，
|
||||
不要求完整 \gls{efim} 扣减矩阵很小。时间、几何、空间信息和参考 Doppler 的消元共同决定这个量。
|
||||
若信息奇异，上述普通逆不适用，应先检查可估角度子空间；不能由完整矩阵的伪逆子块判定 K/U 相等。
|
||||
|
||||
\subsubsection{放松连续相位模型下的 CRB}
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user