content: 忽略时间戳误差的 MCRB 下界
估计器假设同步、真值含 δ_ℓ → MCRB（Huber sandwich A^{-1}BA^{-1}+偏置外积）给下界；时间戳节增 MCRB 小节，附录增 F.5 推导，ref.bib 补 richmondParameterBounds2015。
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@@ -139,11 +139,11 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
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\label{eq:F2_jdelta}
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\frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
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=
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\dot{\mathbf q}_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}
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\mathbf q_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}
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\otimes
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\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k),
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\qquad
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\big[\dot{\mathbf q}_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}\big]_t
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\big[\mathbf q_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}\big]_t
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=
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\big[\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
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\end{equation}
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@@ -178,7 +178,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
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\item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按\appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
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\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。
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\end{enumerate}
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$\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性会让 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 显著偏离对角形式（不同 $\ell$ 之间通过导频互相关项耦合），此时\eqref{eq:F2_efim_final} 的``逐星扣除''形式不再适用，需要对 $\boldsymbol\delta$ 块整体求逆。
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$\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性会让 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 显著偏离对角形式（不同 $\ell$ 之间通过导频互相关项耦合），此时 \eqref{eq:F2_efim_final} 的``逐星扣除''形式不再适用，需要对 $\boldsymbol\delta$ 块整体求逆。
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% TODO: 实际数值评估的离散化精度（差分步长选取、导频上采样系数）与后续仿真结果对齐后补充
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@@ -208,13 +208,13 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性
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$\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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%
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\begin{equation}
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\big[\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t
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\big[\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t
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=
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\big[\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
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\qquad
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\mathbf j_{\delta,1}
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=
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\zeta_1\,\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1(\boldsymbol\xi).
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\zeta_1\,\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1(\boldsymbol\xi).
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\end{equation}
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%
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对应的标量 Fisher 信息为
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@@ -225,7 +225,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_1}
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\big\|\mathbf a_1(\boldsymbol\xi)\big\|_2^2
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\cdot
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\Re\big\{(\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big\},
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\Re\big\{(\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\big\},
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\end{equation}
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%
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其中 $\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp=\mathbf I_T-\mathbf q_1\mathbf q_1^\Herm/\|\mathbf q_1\|^2$。化简利用了 Kronecker 内积关系 $(\mathbf u_1\otimes\mathbf v_1)^\Herm(\mathbf u_2\otimes\mathbf v_2)=(\mathbf u_1^\Herm\mathbf u_2)(\mathbf v_1^\Herm\mathbf v_2)$，并把空间部分因式 $\|\mathbf a_1\|^2$ 提出。
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@@ -240,7 +240,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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\Re\Big\{
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\zeta_1^*\mathbf D_1^\Herm
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\big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf g_1}\big)
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||||
\big[\zeta_1\,\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1\big]
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||||
\big[\zeta_1\,\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1\big]
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||||
\Big\}\in\mathbb R^3.
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\end{equation}
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%
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@@ -258,10 +258,107 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的 score 重叠决定。
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\paragraph{特例：导频为单音常包络}
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若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\partial/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 完全共线（同为 $\dot{\mathbf q}_1$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——\gls{efim} 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
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若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\partial/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 完全共线（同为 $\partial\mathbf q_1/\partial\nu_1$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——\gls{efim} 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
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% TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理（仍对角，但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1)）；后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化，闭式较繁。本附录暂留为数值评估。
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\subsection{忽略时间戳误差的 MCRB}
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\label{subsec:F5_mcrb}
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\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形：估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型，真值却含 $\boldsymbol\delta_0\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定，其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号，记 $\boldsymbol\eta_0$、$\boldsymbol\eta^\star$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值；噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 在真值与假设模型中相同、仅进入协方差，按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 与均值参数解耦，下文固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。
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\paragraph{误指定模型与伪真值}
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真实观测均值记为 $\boldsymbol\mu_\ell^0\triangleq\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_0,\delta_{0,\ell},\boldsymbol\zeta_{0,\ell})$；假设模型族把均值限制在 $\delta_\ell=0$ 流形上，$\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},0,\boldsymbol\zeta_\ell)=\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell$（$\mathbf G_\ell$ 在 $\delta=0$ 处求值）。两模型协方差相同，\gls{kl} 散度退化为白化均值失配
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%
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\begin{equation}
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||||
\label{eq:F5_kl}
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||||
D_{\mathrm{KL}}
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||||
=
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||||
\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
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\big\|
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||||
\boldsymbol\mu_\ell^0-\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell
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||||
\big\|_2^2
|
||||
+\mathrm{const}.
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||||
\end{equation}
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%
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||||
\gls{mml} 估计器收敛到使 \eqref{eq:F5_kl} 最小的伪真值 $(\boldsymbol\eta^\star,\boldsymbol\zeta^\star)$。对每颗星按 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 闭式消元得 $\boldsymbol\zeta_\ell^\star=(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm\boldsymbol\mu_\ell^0$，代回得\emph{误指定集中准则}
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%
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\begin{equation}
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||||
\label{eq:F5_pseudotrue}
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||||
\boldsymbol\eta^\star
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||||
=
|
||||
\argmin_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}}
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||||
\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\big\|\mathcal P_{\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})}^\perp\boldsymbol\mu_\ell^0\big\|_2^2.
|
||||
\end{equation}
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||||
%
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||||
它与正文集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 同形，只是以确定的真实均值 $\boldsymbol\mu_\ell^0$ 取代了随机观测 $\tilde{\mathbf y}_\ell$；$\boldsymbol\eta^\star\neq\boldsymbol\eta_0$ 之差完全由 $\boldsymbol\delta_0$ 经 $\boldsymbol\mu_\ell^0$ 注入。
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\paragraph{偏置的一阶表达}
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小误差区把真实均值在 $\delta=0$ 处展开
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%
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\begin{equation}
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||||
\label{eq:F5_mean_expand}
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\boldsymbol\mu_\ell^0
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||||
=
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||||
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_0,0,\boldsymbol\zeta_{0,\ell})
|
||||
+
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||||
\delta_{0,\ell}\,\mathbf j_{\delta,\ell}
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||||
+
|
||||
O(\delta_{0,\ell}^2),
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||||
\end{equation}
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%
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||||
其中 $\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{0,\ell,k}\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\delta_\ell$ 同 \eqref{eq:F2_jdelta}。零阶项在 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta_0$ 处被 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 精确拟合（残差为零），故偏置 $\mathbf b\triangleq\boldsymbol\eta^\star-\boldsymbol\eta_0$ 由 $\delta_{0,\ell}\mathbf j_{\delta,\ell}$ 驱动。对 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 取一阶最优性条件（法方程）得
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||||
%
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||||
\begin{equation}
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||||
\label{eq:F5_bias}
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||||
\mathbf b
|
||||
=
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||||
(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}
|
||||
\sum_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
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||||
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\,\delta_{0,\ell}
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||||
+O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2),
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||||
\end{equation}
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%
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||||
其中 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 与 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 即 \eqref{eq:F2_after_psi} 中的同步基线 \gls{efim} 与 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息列。即偏置复用了 \gls{efim} 推导里的同一批分块：它沿 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 方向、正比于真值时间戳 $\delta_{0,\ell}$。
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\paragraph{MCRB sandwich}
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将均值参数堆叠为 $\boldsymbol\theta\triangleq[\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}^\Tran,\boldsymbol\psi_\zeta^\Tran]^\Tran$、其堆叠均值为 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta)$。圆对称复高斯下误指定对数似然的两个 sandwich 矩阵在伪真值 $\boldsymbol\theta^\star$ 处为
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%
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\begin{align}
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\label{eq:F5_B}
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||||
\mathbf B
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||||
&=
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||||
2\,\Re\big\{
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||||
(\partial_{\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)^\Herm
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||||
\mathbf R^{-1}
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||||
(\partial_{\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)
|
||||
\big\}\big|_{\boldsymbol\theta^\star}
|
||||
=
|
||||
\mathcal I(\boldsymbol\theta^\star),\\
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||||
\label{eq:F5_A}
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||||
\mathbf A
|
||||
&=
|
||||
\mathbf B
|
||||
-
|
||||
2\,\Re\big\{
|
||||
(\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)^\Herm
|
||||
\mathbf R^{-1}\,
|
||||
\mathbf r^\star
|
||||
\big\}\big|_{\boldsymbol\theta^\star},
|
||||
\qquad
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||||
\mathbf r^\star
|
||||
\triangleq
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||||
\boldsymbol\mu^0-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta^\star).
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||||
\end{align}
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%
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$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使 score 的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^\star$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta_0$ 扰动。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。
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\paragraph{一致性与稳健性}
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当 $\boldsymbol\delta_0\to\mathbf 0$：残差 $\mathbf r^\star\to\mathbf 0$ 故 $\mathbf A\to\mathbf B=\mathcal I$、偏置 $\mathbf b\to\mathbf 0$，\eqref{eq:sec5_mcrb} 退回同步基线 \gls{crb} $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}$，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 在 $\delta=0$ 处的结果一致。小误差区 $\mathbf r^\star=O(\boldsymbol\delta_0)$，故方差项 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}=(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}+O(\boldsymbol\delta_0)$、主导误差是偏置外积 $\mathbf b\mathbf b^\Tran=O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2)$。两条路线由此对照清晰：估计 $\boldsymbol\delta$（\appref{subsec:F2_schurDelta}）以\emph{方差}为代价——\gls{efim} 被秩一项 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran}/[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}$ 扣减；忽略 $\boldsymbol\delta$（本小节）以\emph{偏置}为代价——方差几乎不变但叠加 $\mathbf b\mathbf b^\Tran$。
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||||
偏置方向 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 与\appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''的退化同源：当导频为单音常包络（$\dot s\equiv 0$）时 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 落入增益子空间、被 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影为零，故 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\to\mathbf 0$、偏置消失——此模型对忽略时间戳误差\emph{稳健}，偏置仅经导频带宽 $\dot s\not\equiv 0$ 进入、且为 $O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2)$ 小量。换言之，本模型的 \gls{mcrb} 主要说明``忽略小钟差近乎无损''；唯当某个主参数与 $\delta_\ell$ 的 score 在 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影后强耦合（不再被复增益吸收）时，\eqref{eq:F5_bias} 的偏置才显著放大。
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\medskip
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至此，附录 F 给出了时间戳误差作为干扰参数时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 结构与最简情形的闭式。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由\appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与 \gls{crb} 对比的基础。
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至此，附录 F 给出了时间戳误差的两类界：作为干扰参数估计时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}（见前述各小节），以及被估计器忽略时的 \gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}）。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由\appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与界对比的基础。
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@@ -1,8 +1,8 @@
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\section{时间戳误差与部分相干观测}
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\label{sec:timestampError}
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前四节均假设 $L$ 颗卫星之间完全相干——它们以共同的离散时间基记录采样、并共享同一时间原点。实际系统中各星本振与采样时钟独立，星间时钟同步不可能精确到亚采样级别，残余的未知\emph{时间戳误差}使 ``参考时刻 $t=0$'' 在不同卫星上落到不同的物理瞬时。
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||||
本节沿\emph{同步条件}维度推进一步：把第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节多用户模型中的``完全相干''放宽为``参考星完全可信、其余卫星时间戳带未知误差 $\delta_\ell$'' 的\emph{部分相干}观测，其余维度（单帧、已知导频、无星间频偏）保持最简。
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||||
前面各节均假设 $L$ 颗卫星之间完全相干——它们以共同的离散时间基记录采样、并共享同一时间原点。实际系统中各星本振与采样时钟独立，星间时钟同步不可能精确到亚采样级别，残余的未知\emph{时间戳误差}使 ``参考时刻 $t=0$'' 在不同卫星上落到不同的物理瞬时。
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||||
本节作为多星主线的收尾，沿\emph{同步条件}维度把前面各节默认的``星间完全相干''放宽为``参考星完全可信、其余卫星时间戳带未知误差 $\delta_\ell$'' 的\emph{部分相干}观测。之所以置于位置一节之后：$\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量、不影响各星本地 \gls{doa}（窄带假设，见下），而是经相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径恶化 Doppler 与跨星测距，从而主要打在位置估计上。其余维度（单帧、已知导频、无星间频偏）保持最简。
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||||
关键现象是：$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 在似然中以乘积形式耦合，产生未知相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$。当 $|\delta_\ell|$ 很小时可作一阶近似并通过 Schur 补消去；当 $|\delta_\ell|$ 大到一个导频符号宽度时必须显式数值搜索。本节按这一切换刻画模型接口与方法适用边界；具体方法选择留给后续工作。详细 \gls{efim} 推导与数值框架见\appref{sec:timestampErrCrb}。
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\subsection{时间戳误差与扰动信号模型}
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@@ -45,7 +45,7 @@
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\subsection{相位偏移耦合与导频时间偏移}
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将\eqref{eq:sec5_signal_model} 中复指数项展开
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将 \eqref{eq:sec5_signal_model} 中复指数项展开
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%
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\begin{equation}
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||||
\label{eq:sec5_phase_decomp}
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@@ -93,7 +93,7 @@
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\begin{itemize}
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\item \textbf{小误差区}（$|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\ll\pi$）：导频时间偏移可一阶 Taylor 展开；相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 把均值向量改写为关于 $\delta_\ell$ 的近似线性扰动。$\boldsymbol\delta$ 进入似然的 Fisher 信息块光滑可逆，可在 \gls{efim} 框架内通过 Schur 补\emph{解析}消去。详细推导见\appref{subsec:F2_schurDelta}。
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||||
\item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。\gls{efim} 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由\eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。
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||||
\item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。\gls{efim} 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由 \eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。
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||||
\end{itemize}
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实际星间场景下，物理量级一般落在小误差区与大误差区之间的过渡带：实测残差的具体数值取决于平台本振稳定度与所采用的星间同步协议，本笔记不展开。当残差换算到采样点后跨越导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$，就需要从小误差解析方案切换到大误差数值方案；该过渡带正是后续数据驱动 nuisance 补偿方法的目标工作点。
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@@ -178,5 +178,21 @@
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||||
其中 $\mathcal I'_{\cdot\cdot}$ 表示在复增益块消去后剩余的中间 Fisher 块。
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\eqref{eq:sec5_efim} 的解析形式只在小误差区可写完整闭式；大误差区下右端各项需逐 $\delta_\ell$ 取值数值评估。详细分块表达、数值评估流程与 $K=1, L=2$ 最简情形的闭式结果见\appref{sec:timestampErrCrb}。
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本节完成了部分相干观测下的扰动模型与适用性边界刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 \gls{efim} 解析消去，落在大误差区时必须数值处理。
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回到完全相干假设下的另一类扩展——多帧观测窗口与跨帧绝对相位结构——构成下一节的内容。
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\subsection{忽略时间戳误差时的 MCRB}
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\label{subsec:mcrbIgnoreDelta}
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\eqref{eq:sec5_efim} 的 \gls{efim} 对应``把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数一并估计''的情形，代价是主参数信息被 Schur 补扣减、\gls{crb} 抬高。与之互补的是另一种工程上常见的处理：估计器\emph{假设星间已同步}（令 $\delta_\ell\equiv 0$）、不把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型以省去这部分参数。此时真值含 $\boldsymbol\delta_0\neq\mathbf 0$、估计器却以 $\delta=0$ 的似然拟合，构成\emph{模型误指定}，其性能由 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015} 而非 \gls{crb} 刻画。误指定最大似然（\gls{mml}）估计器不再收敛到真值 $\boldsymbol\eta_0$，而是收敛到使 \gls{kl} 散度最小的\emph{伪真值} $\boldsymbol\eta^\star$，其绕真值的均方误差由两部分组成
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\begin{equation}
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\label{eq:sec5_mcrb}
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\mathbb E\big[(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta_0)(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta_0)^\Tran\big]
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\succeq
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\underbrace{\mathbf A^{-1}\mathbf B\,\mathbf A^{-1}}_{\text{绕 }\boldsymbol\eta^\star\text{ 的方差}}
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+
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\underbrace{(\boldsymbol\eta^\star-\boldsymbol\eta_0)(\boldsymbol\eta^\star-\boldsymbol\eta_0)^\Tran}_{\text{忽略 }\boldsymbol\delta\text{ 引入的偏置}}.
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\end{equation}
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与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta_0$ 的量级。sandwich 矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta_0\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。
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本节完成了部分相干观测下的扰动模型与适用性边界刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 \gls{efim} 解析消去，落在大误差区时必须数值处理；若估计器索性假设同步而忽略 $\boldsymbol\delta$，相应下界由 \gls{mcrb} 给出。
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把携带距离信息的传播时延 $\tau_\ell(\mathbf p)$ 正式纳入观测、与时间戳误差 $\delta_\ell$ 合成统一时间轴上的可分性矛盾（二者只以和 $\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell$ 被观测），是多星主线的自然后续方向。
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@@ -12,6 +12,17 @@
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pagetotal = {608}
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}
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@article{richmondParameterBoundsEstimation2015,
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title = {Parameter {{Bounds}} on {{Estimation Accuracy Under Model Misspecification}}},
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author = {Richmond, Christ D. and Horowitz, Larry L.},
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date = {2015-05},
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journaltitle = {IEEE Transactions on Signal Processing},
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volume = {63},
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number = {9},
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pages = {2263--2278},
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doi = {10.1109/TSP.2015.2411222}
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}
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@article{stoicaMusicMaximumLikelihood1989,
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title = {Music, {{Maximum Likelihood}}, and {{Cramér-Rao Bound}}},
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author = {Stoica, Petre and Nehorai, Arye},
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