content(symbol): 一阶导数记号统一为分子布局 Jacobian

点号 \dot 仅表对时间求速率；参数/角度导数改用分子布局 Jacobian ∂f/∂x^T。D 单阵、E 多星静态导数小节据此重排，附录 A 增第 14 条记号规则。

parts/D-singleArrayCrb.tex

@@ -306,11 +306,12 @@
       \end{array} &\mathcal{I}_{\theta\theta}
   \end{array}
   \right],
+  \label{eq:single_det_fim_full}
 \end{align}
 %
 其中 $\text{CRB}(\sigma) = \dfrac{\sigma^2}{MT}$，$\mathbf{H} = \dfrac{2}{\sigma}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}$，$\bm{\Delta}_t = \dfrac{2}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t$，$\mathcal{I}_{\theta\theta} = \dfrac{2}{\sigma}\displaystyle\sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]$。注意到，由于噪声方差和其他各参量的联合二阶偏导数为零，因此噪声方差这个参量不会通过 Schur 补影响 $\bm{\theta}$，也即可以只考虑除噪声方差之外的参量构成的 \gls{fim}。
 
-目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 \gls{crb} 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为
+目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 \gls{crb} 协方差矩阵。将 \eqref{eq:single_det_fim_full} 按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为
 %
 \begin{equation*}
   \mathcal{I}_{\psi\psi}=\left[ \begin{array}{c:c:c}
@@ -501,32 +502,21 @@
 由 $[\mathbf q_k(\nu_k)]_t=s_k(t)e^{j\nu_k t}$ 可得
 %
 \begin{equation}
-  \dot{\mathbf q}_k
-  \triangleq
   \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k}
   =
   j\mathbf T_d\mathbf q_k(\nu_k).
 \end{equation}
 %
-再定义空间导向矢量和空时导向列向量的一阶导数为
+空时导向列向量对各源自身角度 $\theta_k$ 与 Doppler $\nu_k$ 的一阶导数为
 %
 \begin{equation}
-  \dot{\mathbf a}_k
-  \triangleq
-  \frac{\partial\mathbf a(\theta_k)}{\partial\theta_k},
-\end{equation}
-\begin{equation}
-  \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_k}
-  \triangleq
   \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\theta_k}
   =
-  \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\dot{\mathbf a}_k,
+  \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\frac{\partial\mathbf a(\theta_k)}{\partial\theta_k},
   \qquad
-  \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_k}
-  \triangleq
   \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\nu_k}
   =
-  \dot{\mathbf q}_k\otimes\mathbf a(\theta_k).
+  \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k}\otimes\mathbf a(\theta_k).
 \end{equation}
 %
 进一步写成矩阵形式
@@ -535,8 +525,8 @@
   \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}
   \triangleq
   \left[
-    \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_1},\ldots,
-    \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_K}
+    \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},1}}{\partial\theta_1},\ldots,
+    \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},K}}{\partial\theta_K}
   \right]
   \in\mathbb C^{MT\times K},
 \end{equation}
@@ -544,8 +534,8 @@
   \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}
   \triangleq
   \left[
-    \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_1},\ldots,
-    \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_K}
+    \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},1}}{\partial\nu_1},\ldots,
+    \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},K}}{\partial\nu_K}
   \right]
   \in\mathbb C^{MT\times K}.
 \end{equation}
@@ -668,6 +658,7 @@
     -
     \mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta}
   \right)^{-1}.
+  \label{eq:single_det_doa_crb_schur}
 \end{equation}
 %
 类似地，若只关心 Doppler，并把 \gls{doa} 视为实值干扰参数，则
@@ -686,9 +677,9 @@
 $\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影
 $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。
 正确做法是先消去复增益，再在实值参数 \gls{efim} 中对 Doppler 做 Schur 补。
-若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。
+若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则 \eqref{eq:single_det_doa_crb_schur} 中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。
 
-当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 \gls{crb}。
+当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\partial\mathbf q_k/\partial\nu_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 \gls{crb}。
 
 该单阵列空时 \gls{crb} 说明 \gls{doa} 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 \gls{crb} 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。
 
@@ -761,9 +752,10 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta
   \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}
   = \left\{ \mathbf{A} \mathbf{X} \mathbf{A}^\Herm + \mu \mathbf{I}_M \mid \mathbf{X} = \mathbf{X}^\Herm, \mu \in \mathbb{R} \right\}
   \subseteq \mathrm{span}_{\mathbb R} \left\{ \mathbf{a}_i \mathbf{a}_j^\Herm,\; j\le i,\; \mathbf I_M \right\},
+  \label{eq:single_sml_perturbation_set}
 \end{equation}
 %
-这个集合包含了所有可能由信源协方差和噪声功率变化引起的接收信号协方差变化。由于 $\Delta\mathbf R_x$ 必须保持 Hermitian，上式中的张成应理解为 Hermitian 矩阵集合上的实线性张成，本文称该集合为\emph{干扰参数扰动子空间}。
+这个集合包含了所有可能由信源协方差和噪声功率变化引起的接收信号协方差变化。由于 $\Delta\mathbf R_x$ 必须保持 Hermitian，\eqref{eq:single_sml_perturbation_set} 中的张成应理解为 Hermitian 矩阵集合上的实线性张成，本文称该集合为\emph{干扰参数扰动子空间}。
 它描述了协方差矩阵由于干扰参数变化所能移动的所有方向。
 
 Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}