content(symbol): 一阶导数记号统一为分子布局 Jacobian
点号 \dot 仅表对时间求速率；参数/角度导数改用分子布局 Jacobian ∂f/∂x^T。D 单阵、E 多星静态导数小节据此重排，附录 A 增第 14 条记号规则。
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+78
-121
@@ -156,28 +156,17 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
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\end{bmatrix},
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||||
\end{equation}
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%
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其关于全局角度参数的一阶导数为
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本小节采用分子布局的 Jacobian 记号：对向量值函数 $\mathbf f$ 与参数向量 $\mathbf x$，$\partial\mathbf f/\partial\mathbf x^\Tran$ 的行随 $\mathbf f$ 分量、列随 $\mathbf x$ 分量，链式法则即对应 Jacobian 的矩阵相乘；角度部分记 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$。其关于全局角度的 Jacobian 为
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||||
%
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||||
\begin{equation}
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||||
\mathbf u_{\alpha}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf u}{\partial \alpha}
|
||||
\frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
-\cos\beta\sin\alpha \\
|
||||
\cos\beta\cos\alpha \\
|
||||
0
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||||
\end{bmatrix},
|
||||
\qquad
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||||
\mathbf u_{\beta}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf u}{\partial \beta}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
-\sin\beta\cos\alpha \\
|
||||
-\sin\beta\sin\alpha \\
|
||||
\cos\beta
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
-\cos\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha \\
|
||||
\cos\beta\cos\alpha & -\sin\beta\sin\alpha \\
|
||||
0 & \cos\beta
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb R^{3\times2}.
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||||
\end{equation}
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||||
根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，静态模型中第 $\ell$ 颗卫星对应的归一化 Doppler 统一写成
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@@ -198,27 +187,20 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
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\nu_{\mathrm{ref}}.
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||||
\end{equation}
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%
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||||
因此其一阶导数统一写为
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||||
因此其关于主参数 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian（行向量）为
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||||
%
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||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \alpha}
|
||||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||||
=
|
||||
\frac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \alpha},
|
||||
\qquad
|
||||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \beta}
|
||||
=
|
||||
\frac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \beta},
|
||||
\qquad
|
||||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1.
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\dfrac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
& 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb R^{1\times3},
|
||||
\label{eq:A6_domega}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
上式利用了正文中采用的
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$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$
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||||
这一参考星链路参数化形式。特别地，对参考星有
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||||
$\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)=0$，因而
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||||
$\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\alpha=0$、
|
||||
$\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参数化，只需将上述三个 Doppler 链式导数替换为对应结果即可。
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||||
其中末元 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=1$ 来自参考星链路参数化 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。特别地，对参考星 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)=0$，故其角度部分 $\partial\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\boldsymbol\xi^\Tran=\mathbf 0$。若改用别的等价参数化，只需替换该 Doppler Jacobian 即可。
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||||
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||||
再定义第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量
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||||
%
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@@ -244,55 +226,61 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参
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||||
\arcsin\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big).
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，有
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||||
记本地角向量 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$。本地来向对全局角的 Jacobian 为
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||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
|
||||
\frac{\partial \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
=
|
||||
\boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\mathbf u_x.
|
||||
\boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
\in\mathbb R^{3\times2}.
|
||||
\label{eq:A6_uloc_jac}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
进一步可得
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||||
对其第 $i$ 行 $\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}/\partial \boldsymbol\xi^\Tran$ 应用 atan2/arcsin 链式法则，得本地角对全局角的 Jacobian
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||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
=
|
||||
\frac{
|
||||
u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
|
||||
-
|
||||
u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
|
||||
}{
|
||||
\big(u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big)^2 + \big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\big)^2
|
||||
},
|
||||
\qquad
|
||||
\frac{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
|
||||
=
|
||||
\frac{\dfrac{\partial u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}}{\partial x}}{\sqrt{1-\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big)^2}}.
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\dfrac{
|
||||
u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
-
|
||||
u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
}{
|
||||
\big(u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big)^2 + \big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\big)^2
|
||||
}
|
||||
\\[1.2em]
|
||||
\dfrac{\partial u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}/\partial \boldsymbol\xi^\Tran}{\sqrt{1-\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big)^2}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb R^{2\times2},
|
||||
\label{eq:A6_local_angle_chain}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$ 为 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 的第 $i$ 行。
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||||
|
||||
记局部阵列导向矢量关于局部方位角和局部俯仰角的一阶导数分别为
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||||
阵列导向矢量 $\mathbf a_\ell$ 仅通过本地角 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}$ 进入，其关于本地角的 Jacobian（阵列流形 Jacobian）为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}},
|
||||
\qquad
|
||||
\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}.
|
||||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\dfrac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}
|
||||
&
|
||||
\dfrac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb C^{M_\ell\times2}.
|
||||
\label{eq:A6_a_local_jac}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
则对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，根据链式法则有
|
||||
由链式法则，$\mathbf a_\ell$ 关于全局角的 Jacobian 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf a_{\ell,x}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}
|
||||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
=
|
||||
\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}\frac{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
|
||||
+
|
||||
\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}\frac{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}.
|
||||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}
|
||||
\,
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
\in\mathbb C^{M_\ell\times2}.
|
||||
\label{eq:A6_da_chain}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
@@ -305,82 +293,49 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参
|
||||
\qquad t=0,1,\ldots,T-1.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此其关于 $\nu_\ell$ 的导数为
|
||||
因此其关于链路 Doppler $\nu_\ell$ 的导数为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\dot{\mathbf q}_\ell
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}
|
||||
=
|
||||
j\,\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\,\mathbf q_\ell.
|
||||
j\,\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\,\mathbf q_\ell
|
||||
\in\mathbb C^{T\times1}.
|
||||
\label{eq:A6_qdot}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
从而对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，有
|
||||
由 Doppler 链 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$，$\mathbf q_\ell$ 关于主参数的 Jacobian 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf q_{\ell,x}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial x}
|
||||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||||
=
|
||||
\dot{\mathbf q}_\ell\frac{\partial \nu_\ell}{\partial x},
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf q_{\ell,\nu}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
|
||||
=
|
||||
\dot{\mathbf q}_\ell\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
|
||||
=
|
||||
\dot{\mathbf q}_\ell.
|
||||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}
|
||||
\,
|
||||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||||
\in\mathbb C^{T\times3},
|
||||
\label{eq:A6_dq}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
其中最后一步同样利用了
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||||
$\partial \nu_\ell/\partial \nu_{\mathrm{ref}}=1$。
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||||
其中 $\partial\nu_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\partial\mathbf q_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran=(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\,(\partial\nu_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=1$ 即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell$。
|
||||
|
||||
对空时导向向量
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||||
$\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
|
||||
应用 Kronecker 积求导法则，可得
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf d_{\ell,\alpha}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \alpha}
|
||||
=
|
||||
\mathbf q_\ell \otimes \mathbf a_{\ell,\alpha}
|
||||
+
|
||||
\mathbf q_{\ell,\alpha} \otimes \mathbf a_\ell,
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf d_{\ell,\beta}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \beta}
|
||||
=
|
||||
\mathbf q_\ell \otimes \mathbf a_{\ell,\beta}
|
||||
+
|
||||
\mathbf q_{\ell,\beta} \otimes \mathbf a_\ell,
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf d_{\ell,\nu}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
|
||||
=
|
||||
\mathbf q_{\ell,\nu} \otimes \mathbf a_\ell
|
||||
=
|
||||
\dot{\mathbf q}_\ell \otimes \mathbf a_\ell.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
进一步定义
|
||||
对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\mathbf q_\ell$ 不依赖角度，其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf D_\ell
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\mathbf d_{\ell,\alpha} & \mathbf d_{\ell,\beta} & \mathbf d_{\ell,\nu}
|
||||
\mathbf q_\ell\otimes\dfrac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||||
+
|
||||
\dfrac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}\otimes\mathbf a_\ell
|
||||
&
|
||||
\dfrac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}\otimes\mathbf a_\ell
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 3}.
|
||||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 3},
|
||||
\label{eq:A6_Dl}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中角度块（前两列）由 \eqref{eq:A6_da_chain} 与 \eqref{eq:A6_dq} 的角度部分给出，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列（第三列）因 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\mathbf 0$ 简化为 $(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\otimes\mathbf a_\ell$。此处用到 Kronecker 混合积：$\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)$ 的第 $k$ 列为 $\mathbf q_\ell\otimes[\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran]_{:,k}$，$(\partial\mathbf q_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)\otimes\mathbf a_\ell$ 同理。
|
||||
|
||||
\subsubsection{Fisher 信息矩阵的分块构造}
|
||||
|
||||
@@ -751,9 +706,10 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||||
\mathbf D_{\ell,k'}
|
||||
\Big\}.
|
||||
\label{eq:E2_Ieff_block}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时上式即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。
|
||||
复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。
|
||||
|
||||
\subsubsection{用户分离的可辨识性条件}
|
||||
|
||||
@@ -767,7 +723,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
%
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||||
\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。
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||||
|
||||
正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化：当某对 $(k,k')$ 满足
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||||
正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可严格化为：当某对 $(k,k')$ 满足
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||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k}
|
||||
@@ -788,9 +744,10 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||||
\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
|
||||
\label{eq:E2_crb_mu}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把上式按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补
|
||||
若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把 \eqref{eq:E2_crb_mu} 按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k)
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
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