content(sec5): 补全公共方向窗口仿射映射与导数

parts/F-multiFrameCrb.tex

@@ -126,7 +126,7 @@
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 其中已利用正文中的几何参数化：$\dfrac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1$，$\dfrac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
 
-对固定方向模型，角度导数可直接由 \eqref{eq:sec3_dnu_projection} 与 \eqref{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} 给出：
+对固定方向的瞬时 Taylor 系数构造，角度导数由 \eqref{eq:sec3_dnu_projection} 与 \eqref{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} 给出；窗口拟合构造的替代导数见\appref{subsec:A7_affine_window_derivatives}：
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 \begin{equation}
   \begin{aligned}
@@ -144,6 +144,58 @@
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 所有角度导数以弧度为自变量，$\epsilon_D=-1$；旋转矩阵及参考时刻星历在求参数导数时保持已知。空间导数由 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 与 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 直接链式计算，可避免在局部角极点处使用 atan2/arcsin 导数。
 
+\paragraph{窗口 affine 映射的系数与导数}
+\label{subsec:A7_affine_window_derivatives}
+沿用 \eqref{eq:sec5_affine_window_coefficients} 的 $s_p$、$\mathbf X\in\mathbb R^{P\times2}$ 和 $\mathbf V_\ell\in\mathbb R^{P\times3}$，记帧节点上的相对频移向量为 $\mathbf d_\ell=(\epsilon_D/\lambda_{\mathrm c})\mathbf V_\ell\mathbf u$。固定拟合时刻与帧集合，且 $\operatorname{rank}(\mathbf X)=2$ 时，正规方程给出
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf c_\ell
+  =\argmin_{\mathbf c\in\mathbb R^2}\|\mathbf d_\ell-\mathbf X\mathbf c\|_2^2
+  =(\mathbf X^\Tran\mathbf X)^{-1}\mathbf X^\Tran\mathbf d_\ell
+  =\mathbf X^\dagger\mathbf d_\ell.
+  \label{eq:A7_affine_normal_equations}
+\end{equation}
+%
+该表达式用于推导；数值实现可用 QR 或适当缩放的 SVD 求解。由于 $\mathbf X$、$\mathbf V_\ell$ 与拟合权重不随候选方向变化，对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 有
+%
+\begin{equation}
+  \begin{bmatrix}
+    \frac{\partial\nu_\ell}{\partial x}\\
+    \frac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial x}
+  \end{bmatrix}
+  =\begin{bmatrix}2\pi T_{\mathrm s}&0\\0&2\pi T_{\mathrm s}^2\end{bmatrix}
+   \frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}\mathbf X^\dagger\mathbf V_\ell
+   \frac{\partial\mathbf u}{\partial x}.
+  \label{eq:A7_affine_angle_derivatives}
+\end{equation}
+%
+其中 $\dfrac{\partial\mathbf u}{\partial x}$ 取全局方向的解析导数。将 \eqref{eq:A7_affine_angle_derivatives} 代入 \eqref{eq:A7_qx_cp} 即得到窗口拟合模型的时间模板导数，空间导数保持不变。若在计算信息矩阵时只选择部分观测块，而系数仍由完整窗口定义，则拟合帧集合保持固定；若重新定义拟合窗口，均值与全部导数须同步更新。单帧或所有拟合时刻相同不能唯一确定两个系数，需要另给已知斜率等约束。
+
+令 $\mathbf c_{\mathrm{ref}}=[f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。先加参考频率再拟合，或先拟合相对频率再加参考系数，满足
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf X^\dagger(\mathbf X\mathbf c_{\mathrm{ref}}+\mathbf d_\ell)
+  =\mathbf c_{\mathrm{ref}}+\mathbf X^\dagger\mathbf d_\ell,
+  \qquad \mathbf X^\dagger\mathbf X=\mathbf I_2.
+  \label{eq:A7_affine_reference_additivity}
+\end{equation}
+%
+因此参考 Doppler 与参考 rate 的导数仍为 \eqref{eq:A7_qomega_cp}、\eqref{eq:A7_qgamma_cp}。CP-K 只固定参考 rate，\eqref{eq:A7_affine_angle_derivatives} 的第二行仍保留；CP-U/IP-U 按原参数表消去未知参考 rate。相同的幅相干扰结构、实化投影与秩条件继续适用，无须改变后续 Fisher 分块。
+
+若拟合在另一时间原点完成，令 $\delta=t_{\mathrm{new}}-t_{\mathrm{old}}$，在相同物理节点上有 $s_{p,\mathrm{new}}=s_{p,\mathrm{old}}-\delta$。固定样本及无权准则时，两组直线张成相同子空间，系数和每星公共相位按
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    f_{\ell,\mathrm{new}}&=f_{\ell,\mathrm{old}}+\delta\dot f_{\ell,\mathrm{old}},
+    &\dot f_{\ell,\mathrm{new}}&=\dot f_{\ell,\mathrm{old}},\\
+    \chi_{\ell,\mathrm{new}}&=\chi_{\ell,\mathrm{old}}
+    +2\pi\left(f_{\ell,\mathrm{old}}\delta+\frac12\dot f_{\ell,\mathrm{old}}\delta^2\right)
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A7_affine_epoch_transform}
+\end{equation}
+%
+变换，保持二次相位均值相同。令 $\mathbf T_\delta$ 为四阶单位矩阵加上第 $(3,4)$ 元的 $\delta$，则消去幅相后的物理参数 $[\alpha,\beta,f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的有效协方差界满足 $\mathbf C_{\mathrm{new}}=\mathbf T_\delta\mathbf C_{\mathrm{old}}\mathbf T_\delta^\Tran$。该关系要求有效的完整结构协方差；未知 rate 已被消去的三维矩阵缺少频率与 rate 的互协方差，不能单独完成此变换。窗口拟合不会改变公共方向的几何假设，亦不引入地表位置约束。
+
 于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为
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 \begin{equation}

parts/sec5_multiFrameCp.tex

@@ -24,7 +24,7 @@
 %
 由已知几何唯一诱导，沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化。
 
-物理参考时刻 $t_{\mathrm{ref}}$ 取首帧首采样点，物理时间为 $t_{\mathrm{phys}}=t_{\mathrm{ref}}+T_{\mathrm s}t_{p,t}$；卫星速度、加速度与姿态均在同一参考时刻取值。若物理 Doppler 及其对秒的导数分别记为 $f_\ell$（Hz）和 $\dot f_\ell$（Hz/s），则
+物理参考时刻 $t_{\mathrm{ref}}$ 取首帧首采样点，物理时间为 $t_{\mathrm{phys}}=t_{\mathrm{ref}}+T_{\mathrm s}t_{p,t}$；姿态在该时刻冻结。Doppler 的 affine（仿射）时间模型由截距 $f_\ell$（Hz）与斜率 $\dot f_\ell$（Hz/s）确定，系数可由参考时刻的 Taylor 展开或整个窗口的拟合构造。两种构造均采用归一化关系
 %
 \begin{equation}
   \nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}f_\ell,
@@ -46,7 +46,7 @@
   \label{eq:sec5_relative_rate_general}
 \end{equation}
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-本节固定全局方向，采用 $\mathrm d\mathbf u/\mathrm d t_{\mathrm{phys}}=\mathbf0$ 的局部模型，故
+固定全局方向时，$\mathrm d\mathbf u/\mathrm d t_{\mathrm{phys}}=\mathbf0$；在参考时刻取瞬时速度和加速度构造 Taylor 系数，得到
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 \begin{equation}
   \Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)
@@ -70,10 +70,27 @@
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 采用固定方向近似时，应使 \eqref{eq:sec5_direction_rate_phase_error} 远小于 $1$ rad；各导数量在参考时刻评估，该局部条件与后述高阶时间截断条件分别检查。
 
+\paragraph{窗口拟合的 affine 系数}
+另一种构造利用各帧时刻的已知速度，在固定公共方向下拟合整个窗口。令 $s_p=T_{\mathrm s}\tau_p$ 为相对于 $t_{\mathrm{ref}}$ 的物理秒数，$\mathbf X$ 的第 $p$ 行为 $[1,s_p]$，$\mathbf V_\ell$ 的第 $p$ 行为 $[\mathbf v_\ell(t_{\mathrm{ref}}+s_p)-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}(t_{\mathrm{ref}}+s_p)]^\Tran$。对完整、有限的帧序列采用无权最小二乘，要求至少两个不同的拟合时刻。相对系数及总系数为
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi)
+    &\triangleq\begin{bmatrix}\Delta f_\ell\\\Delta\dot f_\ell\end{bmatrix}
+    =\frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}\mathbf X^\dagger\mathbf V_\ell\mathbf u(\boldsymbol\xi),\\
+    \begin{bmatrix}f_\ell\\\dot f_\ell\end{bmatrix}
+    &=\begin{bmatrix}f_{\mathrm{ref}}\\\dot f_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}+\mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi),
+    \qquad \epsilon_D=-1.
+  \end{aligned}
+  \label{eq:sec5_affine_window_coefficients}
+\end{equation}
+%
+参考星的 $\mathbf V_{\ell_{\mathrm{ref}}}=\mathbf0$，故相对截距与斜率均为零。拟合截距表示直线在参考时刻的值，斜率表示窗口内的等效 rate；轨道 Doppler 存在曲率时，它们一般不同于该时刻的瞬时值与瞬时导数。两种系数构造在精确 affine 轨迹上相同；选定一种构造后，观测均值、候选模板和信息矩阵使用同一映射。窗口拟合保持空间方向与姿态冻结，仅沿时间使用已知速度序列；角导数、参考参数的加性关系及原点变换见\appref{subsec:A7_affine_window_derivatives}。
+
 \subsection{连续相位多帧信号模型（CP）}
 \label{subsec:dynamicCpModel}
 
-这里的短窗口近似首先作用于瞬时 Doppler，而不是直接把相位作一阶截断。以参考时刻为 $t_{p,t}=0$，对瞬时 Doppler 作一阶 Taylor 展开并积分，得到
+短窗口模型将 Doppler 表示为时间的 affine 函数，其系数可由 Taylor 展开或 \eqref{eq:sec5_affine_window_coefficients} 构造。以参考时刻为 $t_{p,t}=0$，对所选频率直线积分，得到
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 \begin{equation}
   \nu_\ell(\tau)\approx\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau,
@@ -85,7 +102,7 @@
   \label{eq:sec5_first_order_doppler}
 \end{equation}
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-短窗口的适用条件是被省略的三阶相位项在整个观测窗口内远小于 $1$ rad，例如
+对于 Taylor 构造，短窗口的适用条件是被省略的三阶相位项在整个观测窗口内远小于 $1$ rad，例如
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 \begin{equation}
   \frac{1}{6}\max_\ell|\ddot\nu_\ell|
@@ -94,7 +111,14 @@
   \label{eq:sec5_third_order_error}
 \end{equation}
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-同时阵列姿态与来向变化对空间导向矢量的影响可忽略。若进一步采用静态模型中的常 Doppler 近似，还需满足
+对于窗口拟合，令 $e_\ell(s)$ 为实际 Doppler 与所选拟合直线之差，时间近似应检查
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+\begin{equation}
+  \max_{\ell,p,t}\left|2\pi\int_0^{T_{\mathrm s}t_{p,t}}e_\ell(s)\,\diff s\right|\ll1.
+  \label{eq:sec5_affine_phase_residual}
+\end{equation}
+%
+仅拟合帧节点上的小残差不能代替 \eqref{eq:sec5_affine_phase_residual} 的相位误差检查。以 affine 模型本身生成观测时，二次相位是该模型的精确定义。两种构造都要求阵列姿态与来向变化对空间导向矢量的影响可忽略。若进一步采用静态模型中的常 Doppler 近似，还需满足
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 \begin{equation}
   \frac{1}{2}\max_\ell|\dot\nu_\ell|