content(sec5): 补全公共方向窗口仿射映射与导数

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 其中已利用正文中的几何参数化：$\dfrac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1$，$\dfrac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
 
-对固定方向模型，角度导数可直接由 \eqref{eq:sec3_dnu_projection} 与 \eqref{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} 给出：
+对固定方向的瞬时 Taylor 系数构造，角度导数由 \eqref{eq:sec3_dnu_projection} 与 \eqref{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} 给出；窗口拟合构造的替代导数见\appref{subsec:A7_affine_window_derivatives}：
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 \begin{equation}
   \begin{aligned}
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 所有角度导数以弧度为自变量，$\epsilon_D=-1$；旋转矩阵及参考时刻星历在求参数导数时保持已知。空间导数由 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 与 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 直接链式计算，可避免在局部角极点处使用 atan2/arcsin 导数。
 
+\paragraph{窗口 affine 映射的系数与导数}
+\label{subsec:A7_affine_window_derivatives}
+沿用 \eqref{eq:sec5_affine_window_coefficients} 的 $s_p$、$\mathbf X\in\mathbb R^{P\times2}$ 和 $\mathbf V_\ell\in\mathbb R^{P\times3}$，记帧节点上的相对频移向量为 $\mathbf d_\ell=(\epsilon_D/\lambda_{\mathrm c})\mathbf V_\ell\mathbf u$。固定拟合时刻与帧集合，且 $\operatorname{rank}(\mathbf X)=2$ 时，正规方程给出
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+\begin{equation}
+  \mathbf c_\ell
+  =\argmin_{\mathbf c\in\mathbb R^2}\|\mathbf d_\ell-\mathbf X\mathbf c\|_2^2
+  =(\mathbf X^\Tran\mathbf X)^{-1}\mathbf X^\Tran\mathbf d_\ell
+  =\mathbf X^\dagger\mathbf d_\ell.
+  \label{eq:A7_affine_normal_equations}
+\end{equation}
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+该表达式用于推导；数值实现可用 QR 或适当缩放的 SVD 求解。由于 $\mathbf X$、$\mathbf V_\ell$ 与拟合权重不随候选方向变化，对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 有
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+\begin{equation}
+  \begin{bmatrix}
+    \frac{\partial\nu_\ell}{\partial x}\\
+    \frac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial x}
+  \end{bmatrix}
+  =\begin{bmatrix}2\pi T_{\mathrm s}&0\\0&2\pi T_{\mathrm s}^2\end{bmatrix}
+   \frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}\mathbf X^\dagger\mathbf V_\ell
+   \frac{\partial\mathbf u}{\partial x}.
+  \label{eq:A7_affine_angle_derivatives}
+\end{equation}
+%
+其中 $\dfrac{\partial\mathbf u}{\partial x}$ 取全局方向的解析导数。将 \eqref{eq:A7_affine_angle_derivatives} 代入 \eqref{eq:A7_qx_cp} 即得到窗口拟合模型的时间模板导数，空间导数保持不变。若在计算信息矩阵时只选择部分观测块，而系数仍由完整窗口定义，则拟合帧集合保持固定；若重新定义拟合窗口，均值与全部导数须同步更新。单帧或所有拟合时刻相同不能唯一确定两个系数，需要另给已知斜率等约束。
+
+令 $\mathbf c_{\mathrm{ref}}=[f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。先加参考频率再拟合，或先拟合相对频率再加参考系数，满足
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+\begin{equation}
+  \mathbf X^\dagger(\mathbf X\mathbf c_{\mathrm{ref}}+\mathbf d_\ell)
+  =\mathbf c_{\mathrm{ref}}+\mathbf X^\dagger\mathbf d_\ell,
+  \qquad \mathbf X^\dagger\mathbf X=\mathbf I_2.
+  \label{eq:A7_affine_reference_additivity}
+\end{equation}
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+因此参考 Doppler 与参考 rate 的导数仍为 \eqref{eq:A7_qomega_cp}、\eqref{eq:A7_qgamma_cp}。CP-K 只固定参考 rate，\eqref{eq:A7_affine_angle_derivatives} 的第二行仍保留；CP-U/IP-U 按原参数表消去未知参考 rate。相同的幅相干扰结构、实化投影与秩条件继续适用，无须改变后续 Fisher 分块。
+
+若拟合在另一时间原点完成，令 $\delta=t_{\mathrm{new}}-t_{\mathrm{old}}$，在相同物理节点上有 $s_{p,\mathrm{new}}=s_{p,\mathrm{old}}-\delta$。固定样本及无权准则时，两组直线张成相同子空间，系数和每星公共相位按
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+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    f_{\ell,\mathrm{new}}&=f_{\ell,\mathrm{old}}+\delta\dot f_{\ell,\mathrm{old}},
+    &\dot f_{\ell,\mathrm{new}}&=\dot f_{\ell,\mathrm{old}},\\
+    \chi_{\ell,\mathrm{new}}&=\chi_{\ell,\mathrm{old}}
+    +2\pi\left(f_{\ell,\mathrm{old}}\delta+\frac12\dot f_{\ell,\mathrm{old}}\delta^2\right)
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A7_affine_epoch_transform}
+\end{equation}
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+变换，保持二次相位均值相同。令 $\mathbf T_\delta$ 为四阶单位矩阵加上第 $(3,4)$ 元的 $\delta$，则消去幅相后的物理参数 $[\alpha,\beta,f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的有效协方差界满足 $\mathbf C_{\mathrm{new}}=\mathbf T_\delta\mathbf C_{\mathrm{old}}\mathbf T_\delta^\Tran$。该关系要求有效的完整结构协方差；未知 rate 已被消去的三维矩阵缺少频率与 rate 的互协方差，不能单独完成此变换。窗口拟合不会改变公共方向的几何假设，亦不引入地表位置约束。
+
 于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为
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 \begin{equation}