content(sec5): 补全公共方向窗口仿射映射与导数

parts/sec5_multiFrameCp.tex

@@ -24,7 +24,7 @@
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 由已知几何唯一诱导，沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化。
 
-物理参考时刻 $t_{\mathrm{ref}}$ 取首帧首采样点，物理时间为 $t_{\mathrm{phys}}=t_{\mathrm{ref}}+T_{\mathrm s}t_{p,t}$；卫星速度、加速度与姿态均在同一参考时刻取值。若物理 Doppler 及其对秒的导数分别记为 $f_\ell$（Hz）和 $\dot f_\ell$（Hz/s），则
+物理参考时刻 $t_{\mathrm{ref}}$ 取首帧首采样点，物理时间为 $t_{\mathrm{phys}}=t_{\mathrm{ref}}+T_{\mathrm s}t_{p,t}$；姿态在该时刻冻结。Doppler 的 affine（仿射）时间模型由截距 $f_\ell$（Hz）与斜率 $\dot f_\ell$（Hz/s）确定，系数可由参考时刻的 Taylor 展开或整个窗口的拟合构造。两种构造均采用归一化关系
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 \begin{equation}
   \nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}f_\ell,
@@ -46,7 +46,7 @@
   \label{eq:sec5_relative_rate_general}
 \end{equation}
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-本节固定全局方向，采用 $\mathrm d\mathbf u/\mathrm d t_{\mathrm{phys}}=\mathbf0$ 的局部模型，故
+固定全局方向时，$\mathrm d\mathbf u/\mathrm d t_{\mathrm{phys}}=\mathbf0$；在参考时刻取瞬时速度和加速度构造 Taylor 系数，得到
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 \begin{equation}
   \Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)
@@ -70,10 +70,27 @@
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 采用固定方向近似时，应使 \eqref{eq:sec5_direction_rate_phase_error} 远小于 $1$ rad；各导数量在参考时刻评估，该局部条件与后述高阶时间截断条件分别检查。
 
+\paragraph{窗口拟合的 affine 系数}
+另一种构造利用各帧时刻的已知速度，在固定公共方向下拟合整个窗口。令 $s_p=T_{\mathrm s}\tau_p$ 为相对于 $t_{\mathrm{ref}}$ 的物理秒数，$\mathbf X$ 的第 $p$ 行为 $[1,s_p]$，$\mathbf V_\ell$ 的第 $p$ 行为 $[\mathbf v_\ell(t_{\mathrm{ref}}+s_p)-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}(t_{\mathrm{ref}}+s_p)]^\Tran$。对完整、有限的帧序列采用无权最小二乘，要求至少两个不同的拟合时刻。相对系数及总系数为
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi)
+    &\triangleq\begin{bmatrix}\Delta f_\ell\\\Delta\dot f_\ell\end{bmatrix}
+    =\frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}\mathbf X^\dagger\mathbf V_\ell\mathbf u(\boldsymbol\xi),\\
+    \begin{bmatrix}f_\ell\\\dot f_\ell\end{bmatrix}
+    &=\begin{bmatrix}f_{\mathrm{ref}}\\\dot f_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}+\mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi),
+    \qquad \epsilon_D=-1.
+  \end{aligned}
+  \label{eq:sec5_affine_window_coefficients}
+\end{equation}
+%
+参考星的 $\mathbf V_{\ell_{\mathrm{ref}}}=\mathbf0$，故相对截距与斜率均为零。拟合截距表示直线在参考时刻的值，斜率表示窗口内的等效 rate；轨道 Doppler 存在曲率时，它们一般不同于该时刻的瞬时值与瞬时导数。两种系数构造在精确 affine 轨迹上相同；选定一种构造后，观测均值、候选模板和信息矩阵使用同一映射。窗口拟合保持空间方向与姿态冻结，仅沿时间使用已知速度序列；角导数、参考参数的加性关系及原点变换见\appref{subsec:A7_affine_window_derivatives}。
+
 \subsection{连续相位多帧信号模型（CP）}
 \label{subsec:dynamicCpModel}
 
-这里的短窗口近似首先作用于瞬时 Doppler，而不是直接把相位作一阶截断。以参考时刻为 $t_{p,t}=0$，对瞬时 Doppler 作一阶 Taylor 展开并积分，得到
+短窗口模型将 Doppler 表示为时间的 affine 函数，其系数可由 Taylor 展开或 \eqref{eq:sec5_affine_window_coefficients} 构造。以参考时刻为 $t_{p,t}=0$，对所选频率直线积分，得到
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 \begin{equation}
   \nu_\ell(\tau)\approx\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau,
@@ -85,7 +102,7 @@
   \label{eq:sec5_first_order_doppler}
 \end{equation}
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-短窗口的适用条件是被省略的三阶相位项在整个观测窗口内远小于 $1$ rad，例如
+对于 Taylor 构造，短窗口的适用条件是被省略的三阶相位项在整个观测窗口内远小于 $1$ rad，例如
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 \begin{equation}
   \frac{1}{6}\max_\ell|\ddot\nu_\ell|
@@ -94,7 +111,14 @@
   \label{eq:sec5_third_order_error}
 \end{equation}
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-同时阵列姿态与来向变化对空间导向矢量的影响可忽略。若进一步采用静态模型中的常 Doppler 近似，还需满足
+对于窗口拟合，令 $e_\ell(s)$ 为实际 Doppler 与所选拟合直线之差，时间近似应检查
+%
+\begin{equation}
+  \max_{\ell,p,t}\left|2\pi\int_0^{T_{\mathrm s}t_{p,t}}e_\ell(s)\,\diff s\right|\ll1.
+  \label{eq:sec5_affine_phase_residual}
+\end{equation}
+%
+仅拟合帧节点上的小残差不能代替 \eqref{eq:sec5_affine_phase_residual} 的相位误差检查。以 affine 模型本身生成观测时，二次相位是该模型的精确定义。两种构造都要求阵列姿态与来向变化对空间导向矢量的影响可忽略。若进一步采用静态模型中的常 Doppler 近似，还需满足
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 \begin{equation}
   \frac{1}{2}\max_\ell|\dot\nu_\ell|