content(app-H): 补全条件压缩与时间戳局部秩判据

parts/H-timestampErrCrb.tex

@@ -424,6 +424,60 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
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 这样可消去共享时间戳，但不自动得到位置或时间戳的唯一解。还需消去各用户的参考时延，并检查剩余位置 Jacobian 的实秩；角度与 Doppler 的几何信息也参与这一判断。
 
+\paragraph{时延通道的维数与局部秩}
+为单独考察包络时延，设全部 $LK$ 条链路均可提供独立的局部时延观测，记其无噪声值为
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+\begin{equation}
+  \label{eq:F6_delay_design}
+  z_{\ell,k}=\tau_{\mathrm{ref},k}
+       +\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell,
+  \qquad
+  \Delta\tau_{\ell_{\mathrm{ref}},k}=0,\quad
+  \delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0.
+\end{equation}
+%
+参考时延与星钟偏移的设计矩阵秩为 $K+L-1$：参考星的 $K$ 行先确定各用户参考时延，其余各星再各引入一个独立的公共偏移。消去这些参数后，时延观测至多保留 $(L-1)(K-1)$ 个独立方向。任选一个参考用户 $k_0$，可用双重差分表示这些方向：
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+\begin{equation}
+  \label{eq:F6_double_difference}
+  z_{\ell,k}-z_{\ell_{\mathrm{ref}},k}
+    -z_{\ell,k_0}+z_{\ell_{\mathrm{ref}},k_0}
+  =\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)
+    -\Delta\tau_{\ell,k_0}(\mathbf p_{k_0}).
+\end{equation}
+%
+因此，仅依靠时延联合估计 $K$ 个三维位置，必要的维数条件为 $(L-1)(K-1)\geq 3K$；若每个位置受已知高度约束，右端改为 $2K$。满足计数条件后，还须检查 \eqref{eq:F6_double_difference} 对位置参数的 Jacobian 是否满列秩。差分噪声通常相关，计算信息量时须使用完整协方差。加入角度或 Doppler 后，应检查完整观测模型，不能继续把这一时延通道的计数条件当作必要条件。
+
+\paragraph{完整模型的投影判据}
+将所有实值目标参数记为 $\boldsymbol\eta$，其余均值参数记为 $\boldsymbol\psi$。例如，只考察位置时，$\boldsymbol\psi$ 包括参考时延、参考 Doppler、时间戳及复增益的实部和虚部。对白化复均值导数取实部与虚部，构造实矩阵
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+\begin{equation}
+  \label{eq:F6_real_jacobian}
+  \mathbf W_x=\sqrt{2}
+  \begin{bmatrix}
+    \Re\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}\\
+    \Im\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}
+  \end{bmatrix},
+  \qquad x\in\{\eta,\psi\}.
+\end{equation}
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+其中 $\mathbf R$ 是堆叠噪声协方差，$\mathbf J_x$ 是相应均值 Jacobian。独立未知噪声方差与均值参数信息正交，不改变这里的投影。用 $\dagger$ 表示 Moore--Penrose 逆，有
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+\begin{equation}
+  \label{eq:F6_rank_test}
+  \begin{aligned}
+  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
+    &=\mathbf W_\eta^\Tran
+      (\mathbf I-\mathbf W_\psi\mathbf W_\psi^\dagger)\mathbf W_\eta,\\
+  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\succ0
+    &\ \Longleftrightarrow\
+    \operatorname{rank}[\mathbf W_\psi,\mathbf W_\eta]
+       -\operatorname{rank}(\mathbf W_\psi)=\dim\boldsymbol\eta .
+  \end{aligned}
+\end{equation}
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+该等价关系来自投影矩阵的对称幂等性：有效信息的零空间正是目标导数被干扰导数张成空间吸收的方向。\eqref{eq:F6_rank_test} 判断正则模型的一阶局部可辨识性；奇异点的高阶可辨识性及相距较远的参数模糊需要另行分析。由此，用户数的作用须结合卫星数、几何与可用观测通道判断，不能给出统一的用户数阈值。
+
 \paragraph{一般情形}
 一般 $L$ 和任意时间戳真值可按\appref{subsec:F3_numericalEfim} 评估。先消复增益、再消逐星时间戳时，时间戳信息块仍为对角；若先消去跨星共享的参考时延或其他主参数，则剩余时间戳块可能耦合。计算形式由消元顺序决定，与偏移是否超过导频自相关宽度无关。