content(app-H): 补全条件压缩与时间戳局部秩判据
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@@ -818,6 +818,36 @@ $3K\le 2\sum_\ell(M_\ell T-K)$；该维数不等式只是必要条件，不能
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即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。
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\subsection{已知时间模板下的充分统计量}
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\label{subsec:E_conditionalCompression}
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第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的时间维压缩以模板已知为条件。固定一颗卫星，省略星下标，记 $\mathbf Q=[\mathbf q_1,\ldots,\mathbf q_K]$、$\mathbf H=[\mathbf h_1,\ldots,\mathbf h_K]$，则 $\mathbf Y^\Tran=\mathbf Q\mathbf H^\Tran+\mathbf N^\Tran$。取 $\mathbf Q$ 列空间的一组标准正交基 $\mathbf U\in\mathbb C^{T\times r}$，其中 $r=\operatorname{rank}(\mathbf Q)$。正交分解给出
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\begin{equation}
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\label{eq:E_compression_factorization}
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\|\mathbf Y^\Tran-\mathbf Q\mathbf H^\Tran\|_{\mathrm F}^2
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=\|\mathbf U^\Herm\mathbf Y^\Tran-\mathbf U^\Herm\mathbf Q\mathbf H^\Tran\|_{\mathrm F}^2
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+\|(\mathbf I_T-\mathbf U\mathbf U^\Herm)\mathbf Y^\Tran\|_{\mathrm F}^2.
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\end{equation}
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白噪声下，两个正交分量相互独立，第二项的分布不依赖 $\mathbf H$。由似然因子分解，噪声方差已知时，$\mathbf U^\Herm\mathbf Y^\Tran$ 是关于 $\mathbf H$ 的充分统计量；方差未知时，再保留第二项的残差能量即可。由于投影能量已由压缩输出确定，也可用总能量 $\|\mathbf Y\|_{\mathrm F}^2$ 代替残差能量。这一结论同样适用于以角度和增益参数化的 $\mathbf H$。
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当 $\mathbf Q$ 列满秩时，可将压缩输出改写为联合最小二乘信道估计
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\begin{equation}
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\label{eq:E_compression_ls}
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\widehat{\mathbf H}^{\Tran}
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=(\mathbf Q^\Herm\mathbf Q)^{-1}\mathbf Q^\Herm\mathbf Y^\Tran,
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\qquad
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\operatorname{Cov}\!\left(
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[\widehat{\mathbf H}^{\Tran}-\mathbf H^\Tran]_{:,m}
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\right)=\sigma(\mathbf Q^\Herm\mathbf Q)^{-1}.
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\end{equation}
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模板正交时，\eqref{eq:E_compression_ls} 化为逐用户匹配输出；模板非正交时，用户间噪声相关性由 Gram 矩阵的逆给出。列秩不足时仍可压缩到 $\mathbf U$，但任意空间信道矩阵 $\mathbf H$ 的各列不再能分别恢复。
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若模板依赖待估 Doppler 或时延，则 $\mathbf U$ 也随这些参数改变。\eqref{eq:E_compression_factorization} 只证明固定模板下的充分性，单个估计模板处的压缩输出不能据此称为整个联合问题的充分统计量。
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\subsection{非正交码分下的多用户 CRB（多址干扰）}
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\label{subsec:E3_maiCrb}
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@@ -424,6 +424,60 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
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这样可消去共享时间戳，但不自动得到位置或时间戳的唯一解。还需消去各用户的参考时延，并检查剩余位置 Jacobian 的实秩；角度与 Doppler 的几何信息也参与这一判断。
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\paragraph{时延通道的维数与局部秩}
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为单独考察包络时延，设全部 $LK$ 条链路均可提供独立的局部时延观测，记其无噪声值为
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\begin{equation}
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\label{eq:F6_delay_design}
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z_{\ell,k}=\tau_{\mathrm{ref},k}
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+\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell,
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\qquad
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\Delta\tau_{\ell_{\mathrm{ref}},k}=0,\quad
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\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0.
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\end{equation}
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参考时延与星钟偏移的设计矩阵秩为 $K+L-1$：参考星的 $K$ 行先确定各用户参考时延，其余各星再各引入一个独立的公共偏移。消去这些参数后，时延观测至多保留 $(L-1)(K-1)$ 个独立方向。任选一个参考用户 $k_0$，可用双重差分表示这些方向：
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\begin{equation}
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\label{eq:F6_double_difference}
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z_{\ell,k}-z_{\ell_{\mathrm{ref}},k}
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-z_{\ell,k_0}+z_{\ell_{\mathrm{ref}},k_0}
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=\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)
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-\Delta\tau_{\ell,k_0}(\mathbf p_{k_0}).
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\end{equation}
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因此，仅依靠时延联合估计 $K$ 个三维位置，必要的维数条件为 $(L-1)(K-1)\geq 3K$；若每个位置受已知高度约束，右端改为 $2K$。满足计数条件后，还须检查 \eqref{eq:F6_double_difference} 对位置参数的 Jacobian 是否满列秩。差分噪声通常相关，计算信息量时须使用完整协方差。加入角度或 Doppler 后，应检查完整观测模型，不能继续把这一时延通道的计数条件当作必要条件。
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\paragraph{完整模型的投影判据}
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将所有实值目标参数记为 $\boldsymbol\eta$，其余均值参数记为 $\boldsymbol\psi$。例如，只考察位置时，$\boldsymbol\psi$ 包括参考时延、参考 Doppler、时间戳及复增益的实部和虚部。对白化复均值导数取实部与虚部，构造实矩阵
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\begin{equation}
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\label{eq:F6_real_jacobian}
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\mathbf W_x=\sqrt{2}
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\begin{bmatrix}
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\Re\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}\\
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\Im\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}
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\end{bmatrix},
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\qquad x\in\{\eta,\psi\}.
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\end{equation}
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其中 $\mathbf R$ 是堆叠噪声协方差，$\mathbf J_x$ 是相应均值 Jacobian。独立未知噪声方差与均值参数信息正交，不改变这里的投影。用 $\dagger$ 表示 Moore--Penrose 逆，有
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\begin{equation}
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\label{eq:F6_rank_test}
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\begin{aligned}
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\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
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&=\mathbf W_\eta^\Tran
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(\mathbf I-\mathbf W_\psi\mathbf W_\psi^\dagger)\mathbf W_\eta,\\
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\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\succ0
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&\ \Longleftrightarrow\
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\operatorname{rank}[\mathbf W_\psi,\mathbf W_\eta]
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-\operatorname{rank}(\mathbf W_\psi)=\dim\boldsymbol\eta .
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\end{aligned}
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\end{equation}
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该等价关系来自投影矩阵的对称幂等性：有效信息的零空间正是目标导数被干扰导数张成空间吸收的方向。\eqref{eq:F6_rank_test} 判断正则模型的一阶局部可辨识性；奇异点的高阶可辨识性及相距较远的参数模糊需要另行分析。由此，用户数的作用须结合卫星数、几何与可用观测通道判断，不能给出统一的用户数阈值。
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\paragraph{一般情形}
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一般 $L$ 和任意时间戳真值可按\appref{subsec:F3_numericalEfim} 评估。先消复增益、再消逐星时间戳时，时间戳信息块仍为对角；若先消去跨星共享的参考时延或其他主参数，则剩余时间戳块可能耦合。计算形式由消元顺序决定，与偏移是否超过导频自相关宽度无关。
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@@ -220,7 +220,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
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当时间模板已知且两两正交时，各用户的空间匹配输出可分别用于本地 \gls{doa} 估计。噪声方差已知时，这些输出保留关于空间信道的信息；噪声方差未知时，还需保留总能量以重建集中似然。时间模板非正交时，应保留模板 Gram 矩阵以及输出之间的相关性，按联合模型处理。多用户信息损失见\appref{subsec:E3_maiCrb}；可辨识模型中的信息损失不等于随信噪比提高仍不消失的误差地板。
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这一压缩有两点限定，决定了它在后续跨星融合中的可用边界：
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上述条件压缩的似然分解与非正交模板下的输出协方差见\appref{subsec:E_conditionalCompression}。用于后续跨星融合时，还需区分以下两点：
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\begin{enumerate}
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\item \emph{已知模板与估计模板不同}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖未知 Doppler。用本地估计值代入后，$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的误差还包含模板估计误差；Doppler 在观测块内恒定并不能保证这种压缩无损。
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\item \emph{$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 不含匹配峰的位置}。它编码本星本地 \gls{doa}（$\mathbf a_\ell$ 的方向）与复增益（幅度与相位），但匹配峰在 Doppler（及后续时延）网格上的\emph{位置}是形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 时所匹配的模板取值，须作为独立标量另行保留。故仅由 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 可重建各星本地 \gls{doa} 与相位，而跨星测距、测速所需的时延差与 Doppler 差还需保留这些峰位标量。这一区分在第~\ref{sec:userPositioning}--\ref{sec:timestampError} 节引入传播时延后，成为跨星差分能否干净取出到达时间差的关键。
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Reference in New Issue
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