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\section{多星静态模型 CRB}
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\label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}
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\begin{mdquote}
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\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节与第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}（E.1 单用户多星基线、E.2 多用户扩展），共享``联合堆叠 + 复增益 Schur 补''框架，差别仅在均值参数化与 Jacobian 维度。
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
|
||
\item \emph{主参数} 各用户 \gls{doa}--Doppler（E.2 为 $K$ 用户堆叠）；\emph{干扰参数} $\boldsymbol\psi$ 含各星复增益与噪声方差，构造 \gls{efim} 时只显式保留影响均值的复增益，噪声方差只进入协方差、与均值 Fisher 块解耦，不改 Schur 补形式。
|
||
\item \emph{本附录给出} 主参数 \gls{efim} 的投影--Gram 形式与单/多用户 \gls{crb}。
|
||
\item \emph{本附录局部符号} $\mathcal I$：\gls{fim}；$\mathbf I$：单位阵；$\mathcal P$：投影矩阵。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
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\end{itemize}
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\end{mdquote}
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\subsection{单用户多星 CRB}
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\label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb}
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本小节对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，主参数仍记为
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%
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\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\eta
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\alpha \\
|
||
\beta \\
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in \mathbb R^{3}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
与\appref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。
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\subsubsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式}
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沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型，第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)$。为便于后续统一构造 \gls{fim}，本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。
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||
对于第 $\ell$ 颗卫星，向量化后的观测模型为
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||
%
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\begin{equation}
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||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
=
|
||
\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)
|
||
+
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell,
|
||
\qquad
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell \mathbf I_{M_\ell T}),
|
||
\quad \ell=0,1,\ldots,L-1,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 1},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
$\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。
|
||
|
||
将所有卫星的观测联合堆叠，定义
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\tilde{\mathbf y}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\tilde{\mathbf y}_0 \\
|
||
\vdots \\
|
||
\tilde{\mathbf y}_{L-1}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
|
||
\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\zeta_0 \mathbf g_0(\boldsymbol\eta) \\
|
||
\vdots \\
|
||
\zeta_{L-1} \mathbf g_{L-1}(\boldsymbol\eta)
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
|
||
\tilde{\mathbf n}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\tilde{\mathbf n}_0 \\
|
||
\vdots \\
|
||
\tilde{\mathbf n}_{L-1}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\tilde{\mathbf y} = \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) + \tilde{\mathbf n},
|
||
\qquad
|
||
\tilde{\mathbf n} \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_n),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf R_n
|
||
=
|
||
\operatorname{blkdiag}
|
||
\big(
|
||
\sigma_0 \mathbf I_{M_0 T},
|
||
\ldots,
|
||
\sigma_{L-1} \mathbf I_{M_{L-1} T}
|
||
\big).
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
将各星复干扰系数按实部和虚部分解为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\zeta_\ell = \zeta_\ell^{(r)} + j\zeta_\ell^{(i)},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
并定义实参数化后的均值干扰参数向量
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\psi_{\zeta}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\zeta_0^{(r)} & \zeta_0^{(i)} & \cdots & \zeta_{L-1}^{(r)} & \zeta_{L-1}^{(i)}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}
|
||
\in \mathbb R^{2L}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
于是总实参数向量可写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\kappa
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\zeta}^{\Tran}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}
|
||
\in \mathbb R^{2L+3}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，\gls{fim}元素满足
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
|
||
=
|
||
2\Re\left\{
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}
|
||
\mathbf R_n^{-1}
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j}
|
||
\right\}.
|
||
\label{eq:A6_fim_general}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta$ 的导数}{关于主参数 eta-stat 的导数}}
|
||
|
||
由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，单位方向向量为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf u(\boldsymbol\xi)
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\cos\beta\cos\alpha \\
|
||
\cos\beta\sin\alpha \\
|
||
\sin\beta
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
本小节采用分子布局的 Jacobian 记号：对向量值函数 $\mathbf f$ 与参数向量 $\mathbf x$，$\dfrac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf x^\Tran}$ 的行随 $\mathbf f$ 分量、列随 $\mathbf x$ 分量，链式法则即对应 Jacobian 的矩阵相乘；角度部分记 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$。其关于全局角度的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
-\cos\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha \\
|
||
\cos\beta\cos\alpha & -\sin\beta\sin\alpha \\
|
||
0 & \cos\beta
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb R^{3\times2}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，静态模型中第 $\ell$ 颗卫星对应的归一化 Doppler 统一写成
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知几何、速度与姿态关系确定，且对参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此其关于主参数 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian（行向量）为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\frac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
& 1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb R^{1\times3},
|
||
\label{eq:A6_domega}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中末元 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 来自参考星链路参数化 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。特别地，对参考星 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)=0$，故其角度部分 $\dfrac{\partial\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\mathbf 0$。若改用别的等价参数化，只需替换该 Doppler Jacobian 即可。
|
||
|
||
再定义第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||
=
|
||
\boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\mathbf u
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
相应的局部角度为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||
=
|
||
\operatorname{atan2}\big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}},u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big),
|
||
\qquad
|
||
\beta_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||
=
|
||
\arcsin\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big).
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
记本地角向量 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$。本地来向对全局角的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=
|
||
\boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
\in\mathbb R^{3\times2}.
|
||
\label{eq:A6_uloc_jac}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
对其第 $i$ 行 $\dfrac{\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}$ 应用 atan2/arcsin 链式法则，得本地角对全局角的 Jacobian
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\frac{
|
||
u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\,\frac{\partial u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
-
|
||
u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\,\frac{\partial u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
}{
|
||
\big(u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big)^2 + \big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\big)^2
|
||
}
|
||
\\[1.2em]
|
||
\frac{\partial u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}/\partial \boldsymbol\xi^\Tran}{\sqrt{1-\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big)^2}}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb R^{2\times2},
|
||
\label{eq:A6_local_angle_chain}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\dfrac{\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}$ 为 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 的第 $i$ 行。
|
||
|
||
阵列导向矢量 $\mathbf a_\ell$ 仅通过本地角 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}$ 进入，其关于本地角的 Jacobian（阵列流形 Jacobian）为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}
|
||
&
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell\times2}.
|
||
\label{eq:A6_a_local_jac}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
由链式法则，$\mathbf a_\ell$ 关于全局角的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}
|
||
\,
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell\times2}.
|
||
\label{eq:A6_da_chain}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的离散时间模板定义，
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
[\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})]_t
|
||
=
|
||
s(t)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t},
|
||
\qquad t=0,1,\ldots,T-1.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此其关于链路 Doppler $\nu_\ell$ 的导数为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}
|
||
=
|
||
j\,\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\,\mathbf q_\ell
|
||
\in\mathbb C^{T\times1}.
|
||
\label{eq:A6_qdot}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
由 Doppler 链 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$，$\mathbf q_\ell$ 关于主参数的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||
=
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}
|
||
\,
|
||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||
\in\mathbb C^{T\times3},
|
||
\label{eq:A6_dq}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\,\left(\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}\right)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 即 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}$。
|
||
|
||
对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$，而 $\mathbf q_\ell$ 通过 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 依赖角度；其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf D_\ell
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf q_\ell\otimes\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
+
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}\otimes\mathbf a_\ell
|
||
&
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}\otimes\mathbf a_\ell
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 3},
|
||
\label{eq:A6_Dl}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中角度块（前两列）由 \eqref{eq:A6_da_chain} 与 \eqref{eq:A6_dq} 的角度部分给出，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列（第三列）因 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\mathbf 0$ 简化为 $(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\otimes\mathbf a_\ell$。此处用到 Kronecker 混合积：$\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)$ 的第 $k$ 列为 $\mathbf q_\ell\otimes[\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran]_{:,k}$，$(\partial\mathbf q_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)\otimes\mathbf a_\ell$ 同理。
|
||
|
||
\subsubsection{Fisher 信息矩阵的分块构造}
|
||
|
||
对第 $\ell$ 颗卫星，其均值向量为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\kappa)
|
||
=
|
||
\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此，其关于主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta}
|
||
=
|
||
\zeta_\ell \mathbf D_\ell
|
||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 3},
|
||
\label{eq:A6_Jeta}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
而其关于本星复干扰系数实部与虚部的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\psi,\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\zeta_\ell^{(r)} & \zeta_\ell^{(i)}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 2}.
|
||
\label{eq:A6_Jpsi}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
由于不同卫星噪声相互独立，总 \gls{fim}可按卫星求和。记总 \gls{fim}关于 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\zeta})$ 的分块形式为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I(\boldsymbol\kappa)
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\psi} \\
|
||
\mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\psi}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则根据 \eqref{eq:A6_fim_general} 有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}
|
||
=
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\left\{
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
\right\},
|
||
\label{eq:A6_Itt}
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\psi}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}
|
||
& \cdots &
|
||
\frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\label{eq:A6_Itb}
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\psi\psi}
|
||
=
|
||
\operatorname{blkdiag}
|
||
\left(
|
||
\frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\},
|
||
\ldots,
|
||
\frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
|
||
\right).
|
||
\label{eq:A6_Ibb}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsubsection{\texorpdfstring{消去复干扰系数后的 \gls{efim}}{消去复干扰系数后的 EFIM}}
|
||
|
||
由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\eta\psi}
|
||
\mathcal I_{\psi\psi}^{-1}
|
||
\mathcal I_{\psi\eta}.
|
||
\label{eq:A6_schur}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
对每颗卫星，复增益实部和虚部对应的 Jacobian 为
|
||
$\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个列向量对应的是实参数化下的二维实线性干扰子空间，但其等价于由 $\mathbf g_\ell$ 张成的复一维子空间；相应的 Schur 补可以写成对该复一维子空间的正交投影形式。定义投影矩阵及其正交补为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf g_\ell(\mathbf g_\ell^{\Herm}\mathbf g_\ell)^{-1}\mathbf g_\ell^{\Herm},
|
||
\qquad
|
||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf I_{M_\ell T} - \mathcal P_{\mathbf g_\ell}.
|
||
\label{eq:A6_proj}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
将 \eqref{eq:A6_Jeta}--\eqref{eq:A6_proj} 代入 \eqref{eq:A6_schur} 并整理，可得
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\left\{
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}
|
||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
\right\}.
|
||
\label{eq:A6_Ieff_proj}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
再利用 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\zeta_\ell\mathbf D_\ell$，得到紧凑形式
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\left\{
|
||
\mathbf D_\ell^{\Herm}
|
||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
|
||
\mathbf D_\ell
|
||
\right\}.
|
||
\label{eq:A6_Ieff_final}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 联合估计的 \gls{efim}。
|
||
|
||
\subsubsection{CRB 表达式}
|
||
|
||
因此，联合参数向量 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta).
|
||
\label{eq:A6_crb_joint}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
若仅关心角度参数
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\xi
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\alpha \\
|
||
\beta
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则将 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 按 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\mathrm{ang},\nu} \\
|
||
\mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\nu\nu}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}\in\mathbb R^{2\times 2}$，$\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\in\mathbb R^{2\times 1}$，则 \gls{doa} 参数的等效 \gls{crb} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi)
|
||
=
|
||
\left(
|
||
\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}}
|
||
\right)^{-1}.
|
||
\label{eq:A6_crb_ang}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
类似地，仅参考归一化 Doppler 参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 \gls{crb} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
\left(
|
||
\mathcal I_{\nu\nu}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}}\,\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}^{-1}\,\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}
|
||
\right)^{-1}.
|
||
\label{eq:A6_crb_omega}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsubsection{备注}
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_\ell=\sigma$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
\frac{2}{\sigma}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
|\zeta_\ell|^2
|
||
\Re\left\{
|
||
\mathbf D_\ell^{\Herm}\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}\mathbf D_\ell
|
||
\right\}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_\ell$，则有
|
||
\begin{equation}
|
||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
|
||
=
|
||
\frac{M_\ell T}{\sigma_\ell^2},
|
||
\qquad
|
||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,i}=0,
|
||
\quad i\neq \sigma_\ell,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。
|
||
|
||
|
||
已知高度下的经纬度参数化及其与公共方向模型的比较见\appref{subsec:A6_latlon_crb}。以下继续在公共方向模型中增加用户数。
|
||
|
||
\subsection{多用户多星 CRB（扩展）}
|
||
\label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}
|
||
|
||
本小节对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节，把 E.1 的复增益 Schur 补框架扩展到 $K\ge 1$ 个用户。主参数堆叠为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
|
||
\ldots,
|
||
\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
|
||
\big]^\Tran
|
||
\in\mathbb R^{3K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
均值干扰参数为各星各用户的复增益
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\zeta_{0,1}^{(r)},\zeta_{0,1}^{(i)},\ldots,
|
||
\zeta_{L-1,K}^{(r)},\zeta_{L-1,K}^{(i)}
|
||
\big]^\Tran
|
||
\in\mathbb R^{2LK}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同~\ref{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb}~不显式出现在 Schur 补中。
|
||
|
||
\subsubsection{多用户 Jacobian}
|
||
|
||
第 $\ell$ 颗卫星均值向量
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\zeta_\ell)
|
||
=
|
||
\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
|
||
=
|
||
\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。
|
||
|
||
关于第 $k$ 个用户的主参数子向量 $\boldsymbol\eta_k\triangleq[\boldsymbol\xi_k^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},k}]^\Tran\in\mathbb R^3$，由于 $\mathbf g_{\ell,k'}$ 在 $k'\neq k$ 时与 $\boldsymbol\eta_k$ 无关，Jacobian 只通过本用户的 $\mathbf g_{\ell,k}$ 列出现：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\eta_k,\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta_k}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,k}\,
|
||
\mathbf D_{\ell,k}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf D_{\ell,k}\triangleq[\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\alpha_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\beta_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\nu_{\mathrm{ref},k}]$，三列的具体表达完全平行于 \eqref{eq:A6_Dl}，只需把 $\boldsymbol\xi$、$\nu_{\mathrm{ref}}$ 替换为 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$。
|
||
|
||
将所有用户的 Jacobian 横向拼接为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\mathbf J_{\eta_1,\ell},\ldots,\mathbf J_{\eta_K,\ell}
|
||
\big]
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
关于本星复增益 $[\zeta_{\ell,1}^{(r)},\zeta_{\ell,1}^{(i)},\ldots,\zeta_{\ell,K}^{(r)},\zeta_{\ell,K}^{(i)}]^\Tran$ 的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\psi,\ell}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\mathbf g_{\ell,1},j\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K},j\mathbf g_{\ell,K}
|
||
\big]
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 2K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
$\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的 $K$ 维复列空间等价。
|
||
|
||
\subsubsection{Fisher 信息矩阵分块与 Schur 补}
|
||
|
||
按各星条件独立性，\gls{fim}分块同 \eqref{eq:A6_Itt}--\eqref{eq:A6_Ibb}，只是块尺寸调整为 $\mathcal I_{\eta\eta}\in\mathbb R^{3K\times 3K}$、$\mathcal I_{\psi\psi}\in\mathbb R^{2LK\times 2LK}$（块对角，每星 $2K\times 2K$ 块）：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}
|
||
=
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
由于 $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实子空间等价于 $\mathbf G_\ell$ 的复列空间，关于复增益块的 Schur 补化为对 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补的投影。定义
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm,
|
||
\qquad
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则消去复增益后的 \gls{efim} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:E2_Ieff_proj}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
=
|
||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\big\{
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
\big\}
|
||
\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
按用户分块写出，第 $(k,k')$ 个对角/非对角 $3\times 3$ 子块为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'}
|
||
=
|
||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\Big\{
|
||
\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}\,
|
||
\mathbf D_{\ell,k}^\Herm
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||
\mathbf D_{\ell,k'}
|
||
\Big\}.
|
||
\label{eq:E2_Ieff_block}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。
|
||
|
||
\paragraph{独立星噪声与独立增益下的信息可加}
|
||
\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 对卫星\emph{求和}的形式并非近似，而是干扰参数块对角性的直接后果，值得单独点明：它意味着``各星先各自消干扰''与``联合消干扰''给出同一个界。各星增益与噪声相互独立，故复增益块 $\mathcal I_{\psi\psi}$ 按卫星块对角，对全体增益的联合 Schur 补\emph{逐星分解}。以 $\mathbf A_\ell$、$\mathbf B_\ell$、$\mathbf C_\ell$ 分别记第 $\ell$ 星的主参数块、主参数--增益交叉块与增益块，则 $\mathcal I_{\eta\eta}=\sum_\ell\mathbf A_\ell$、$\mathcal I_{\eta\psi}=[\mathbf B_0,\ldots,\mathbf B_{L-1}]$、$\mathcal I_{\psi\psi}=\operatorname{blkdiag}(\mathbf C_0,\ldots,\mathbf C_{L-1})$，于是
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:E2_perSatDecomp}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
=\sum_\ell\mathbf A_\ell-\sum_\ell\mathbf B_\ell\mathbf C_\ell^{-1}\mathbf B_\ell^\Tran
|
||
=\sum_\ell\big(\mathbf A_\ell-\mathbf B_\ell\mathbf C_\ell^{-1}\mathbf B_\ell^\Tran\big),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
而右端每一项恰是 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的被加项 $2\sigma_\ell^{-1}\Re\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}\}$——\emph{每颗星各自消去本星增益（向 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影）所得的 \gls{efim}}。故在本模型（干扰逐星、噪声独立）下，集中式联合处理与``各星报告完整本地 Fisher 贡献再相加''给出同一个界；这里的协作收益来自共同参数和几何多样性，不等同于跨星相干合并。若只报告压缩后的本地估计，或显式引入跨星共享的相位/增益关系，结论都需重新按相应统计量或联合干扰块计算。
|
||
|
||
由此也读出\emph{何时}集中式才严格优于分布式——仅当突破上述两个前提之一：
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \emph{压缩}：若各星回传的统计量弱于本星对主参数的完整 Fisher 贡献（例如只回传本地 \gls{doa} 估计而非空时投影），则由数据处理不等式得到一个非负的压缩损失 $\mathcal I_{\mathrm e}-\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{DoA}}\succeq\mathbf 0$，其位置模型实例与序关系见\appref{subsec:H4_doaFusion}；
|
||
\item \emph{共享干扰}：若某干扰参数跨星共享（如星间时间戳 $\delta_\ell$、公共参考时延 $\tau_{\mathrm{ref}}$），则 $\mathcal I_{\psi\psi}$ 不再块对角、\eqref{eq:E2_perSatDecomp} 的分解失效，联合 \gls{efim} 在逐星和之上再扣一个对共享干扰方向的 Schur 投影损失，见\appref{sec:timestampErrCrb}。
|
||
\end{itemize}
|
||
衡量这一差距时，最完整的是 Loewner 序 $\mathcal I_{\mathrm e}^{\text{联合}}\succeq\mathcal I_{\mathrm e}^{\text{分布}}$（等价 $\operatorname{CRB}^{\text{分布}}\succeq\operatorname{CRB}^{\text{联合}}$），其差矩阵的秩与值域指明损失发生在几维、沿哪个参数方向；需要标量时再用 $\operatorname{tr}\operatorname{CRB}$、$\det\operatorname{CRB}$ 或单方向 $\mathbf e^\Tran\operatorname{CRB}\mathbf e$（典型为距离/\gls{tdoa} 方向）。
|
||
|
||
\subsubsection{用户分离的可辨识性条件}
|
||
|
||
\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性应在\emph{实参数意义}下判断：多用户主参数得分在复增益干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影，必须对所有实参数扰动保持单射。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
并定义其堆叠矩阵的实化
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran & \cdots & \bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran},
|
||
\qquad
|
||
\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}^{\mathbb R}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\Re\{\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}\}\\
|
||
\Im\{\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}\}
|
||
\end{bmatrix}.
|
||
\label{eq:E2_realified_rank}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}\ \text{非奇异}
|
||
\quad\Longleftrightarrow\quad
|
||
\operatorname{rank}\big(\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}^{\mathbb R}\big)=3K.
|
||
\label{eq:E2_identifiability_rank}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
若每个 $\mathbf G_\ell$ 满列秩，这一条件至少要求
|
||
$3K\le 2\sum_\ell(M_\ell T-K)$；该维数不等式只是必要条件，不能替代实化 Jacobian 的秩检验。
|
||
|
||
模板相干度描述空时响应的接近程度，应与主参数可辨识性区分。若某对 $(k,k')$ 满足
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\rho_{\ell,kk'}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\left|\mathbf g_{\ell,k}^{\Herm}\mathbf g_{\ell,k'}\right|}
|
||
{\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2}
|
||
\longrightarrow1,
|
||
\qquad\forall\ell,
|
||
\label{eq:E2_template_coherence}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则 $\mathbf G_\ell$ 变得病态，极限相同模板时复增益本身不可分离；但这还不是主参数 \gls{efim} 奇异的充分必要条件。主参数是否退化必须回到式~\eqref{eq:E2_identifiability_rank}，检查投影后导数列的实秩；只有当相应用户的投影导数也无法区分时，集中似然才在该方向形成平坦脊。多星几何的缓解也应表述为：只要至少一颗卫星提供使式~\eqref{eq:E2_identifiability_rank} 恢复满秩的独立投影信息，整体用户参数仍可辨识。
|
||
|
||
\subsubsection{CRB 表达式}
|
||
|
||
多用户主参数 \gls{crb} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
|
||
\label{eq:E2_crb_mu}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把 \eqref{eq:E2_crb_mu} 按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k)
|
||
=
|
||
\mathbf C_{\xi,k}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
\big]_{\boldsymbol\xi_k,\boldsymbol\xi_k}
|
||
\in\mathbb R^{2\times 2},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。
|
||
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\subsection{已知时间模板下的充分统计量}
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\label{subsec:E_conditionalCompression}
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第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的时间维压缩以模板已知为条件。固定一颗卫星，省略星下标，记 $\mathbf Q=[\mathbf q_1,\ldots,\mathbf q_K]$、$\mathbf H=[\mathbf h_1,\ldots,\mathbf h_K]$，则 $\mathbf Y^\Tran=\mathbf Q\mathbf H^\Tran+\mathbf N^\Tran$。取 $\mathbf Q$ 列空间的一组标准正交基 $\mathbf U\in\mathbb C^{T\times r}$，其中 $r=\operatorname{rank}(\mathbf Q)$。正交分解给出
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\begin{equation}
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\label{eq:E_compression_factorization}
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\|\mathbf Y^\Tran-\mathbf Q\mathbf H^\Tran\|_{\mathrm F}^2
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=\|\mathbf U^\Herm\mathbf Y^\Tran-\mathbf U^\Herm\mathbf Q\mathbf H^\Tran\|_{\mathrm F}^2
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+\|(\mathbf I_T-\mathbf U\mathbf U^\Herm)\mathbf Y^\Tran\|_{\mathrm F}^2.
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\end{equation}
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白噪声下，两个正交分量相互独立，第二项的分布不依赖 $\mathbf H$。由似然因子分解，噪声方差已知时，$\mathbf U^\Herm\mathbf Y^\Tran$ 是关于 $\mathbf H$ 的充分统计量；方差未知时，再保留第二项的残差能量即可。由于投影能量已由压缩输出确定，也可用总能量 $\|\mathbf Y\|_{\mathrm F}^2$ 代替残差能量。这一结论同样适用于以角度和增益参数化的 $\mathbf H$。
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当 $\mathbf Q$ 列满秩时，可将压缩输出改写为联合最小二乘信道估计
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\begin{equation}
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\label{eq:E_compression_ls}
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\widehat{\mathbf H}^{\Tran}
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=(\mathbf Q^\Herm\mathbf Q)^{-1}\mathbf Q^\Herm\mathbf Y^\Tran,
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\qquad
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\operatorname{Cov}\!\left(
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[\widehat{\mathbf H}^{\Tran}-\mathbf H^\Tran]_{:,m}
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\right)=\sigma(\mathbf Q^\Herm\mathbf Q)^{-1}.
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\end{equation}
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模板正交时，\eqref{eq:E_compression_ls} 化为逐用户匹配输出；模板非正交时，用户间噪声相关性由 Gram 矩阵的逆给出。列秩不足时仍可压缩到 $\mathbf U$，但任意空间信道矩阵 $\mathbf H$ 的各列不再能分别恢复。
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若模板依赖待估 Doppler 或时延，则 $\mathbf U$ 也随这些参数改变。\eqref{eq:E_compression_factorization} 只证明固定模板下的充分性，单个估计模板处的压缩输出不能据此称为整个联合问题的充分统计量。
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\subsection{非正交码分下的多用户 CRB（多址干扰）}
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\label{subsec:E3_maiCrb}
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多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已包含用户间耦合，其非对角块由投影后的空时导数内积决定。本小节在这一联合模型下消去其他用户参数，得到单用户有效界，并介绍基于线性解相关前端的近似读数。相关多用户估计框架见~\cite{verduMultiuserDetection1998}，联合角度--时延估计见~\cite{vanderveenJointAngleDelay1998}。
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\paragraph{码 Gram 与耦合的因子结构}
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空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的用户间内积按 Kronecker 分解为``码''与``空间''两因子
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\begin{equation}
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\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\mathbf g_{\ell,k'}
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=\big(\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}\big)
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\big(\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\big),
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\qquad
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r_{\ell,kk'}\triangleq\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'},
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\label{eq:E3_gram_factor}
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\end{equation}
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其中 $r_{\ell,kk'}$ 为归一化时间模板互相关，组成 $K\times K$ Gram 矩阵 $\mathbf R_\ell$。时间模板或空间导向正交可使空时模板正交，但主参数 \gls{efim} 还涉及模板导数的内积。例如，Doppler 导数引入采样时刻权重，未加权的码正交不保证导数也正交。只有投影后的相关导数满足相应正交条件时，用户信息块才解耦。近似正交的精度应由实际模板及导数评估。
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\paragraph{边缘化其余用户的单用户有效界}
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把 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的 $\mathcal I_{\mathrm e}$ 按``用户 $k$''与``其余 $K-1$ 个用户''两组行列分块，记对角块 $\mathcal I_{kk}\in\mathbb R^{3\times 3}$、$\mathcal I_{\bar k\bar k}$ 与交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}$；对其余用户取 Schur 补得用户 $k$ 的有效 \gls{efim}
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e,k}^{\mathrm{eff}}
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=\mathcal I_{kk}-\mathcal I_{k\bar k}\mathcal I_{\bar k\bar k}^{-1}\mathcal I_{\bar k k}
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\preceq\mathcal I_{kk},
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\qquad
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\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_k)=\big(\mathcal I_{\mathrm e,k}^{\mathrm{eff}}\big)^{-1},
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\label{eq:E3_effFim}
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\end{equation}
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被扣的半正定项是将其他用户参数视为未知量所付出的信息损失。若投影后的用户交叉信息块为零，该项消失。这里的比较基准是其他用户参数已知时的 $\mathcal I_{kk}$；要进一步等同于单用户界，还需检查其他用户增益消元的影响。
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\paragraph{信息损失与估计误差}
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\eqref{eq:E3_effFim} 给出常规正则条件下的局部无偏估计界。用户间耦合可抬高该界，但在固定、可辨识的模型中，降低噪声仍可使界下降，因此非正交本身不意味着不可消除的误差地板。实测误差与界的差距还需结合偏差、全局模糊及优化误差解释，不能仅凭码互相关大小归因于估计器次优。
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\paragraph{SINR 型有效 CRB（闭式替代）}
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高负载下满 \gls{fim} 可能病态、\eqref{eq:E3_effFim} 难得紧解；此时可退到一个干净可算的替代——线性解相关前端。解相关器以 $\mathbf R_\ell^{-1}$ 分离用户、代价是噪声放大 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}\ge 1$，用户 $k$ 在星 $\ell$ 上的有效信噪比降为
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\begin{equation}
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\mathrm{SNR}_{\ell,k}^{\mathrm{eff}}
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=\frac{\mathrm{SNR}_{\ell,k}}{[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}},
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\qquad
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\mathrm{SNR}_{\ell,k}=\frac{|\zeta_{\ell,k}|^2}{\sigma_\ell},
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\label{eq:E3_effSnr}
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\end{equation}
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把单用户 \gls{efim} \eqref{eq:A6_Ieff_final} 在 $\mathrm{SNR}_{\ell,k}^{\mathrm{eff}}$ 处求值即得每用户的标量替代界。它刻画一个线性解相关接收机的有效信噪比（承有效干扰／有效带宽分析~\cite{tseLinearMultiuserReceivers1999}），恒可算，是 \eqref{eq:E3_effFim} 的一个便捷、一般偏松的读数（只用码域 $\mathbf R_\ell$、未计阵列的额外分离，故保守）；码正交时 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}=1$、无退化。
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\paragraph{位置与时间戳版本}
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上述结构只改变 \gls{efim} 的\emph{用户--用户块}，其余机制不变：把主参数 Jacobian 换成位置 Jacobian（\appref{sec:userPositionCrb}）即得含 \gls{mai} 的位置界，再按\appref{sec:timestampErrCrb} 对共享 $\delta_\ell$ 取 Schur 补即得时间戳误差下的 \gls{mai}-aware 位置界。码 Gram 与共享 $\delta$ 是两条独立的耦合来源，分别落在用户--用户块与跨星共享干扰块上。
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\medskip
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\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 给出了多星静态单用户与多用户模型的 \gls{crb}。时间戳误差下的 \gls{efim} 见\appref{sec:timestampErrCrb}，多帧 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的比较见\appref{sec:multiFrameCrb}。
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