josh/doa_doppler_est
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fix(symbol): cp/ip 模型标记统一为上标

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按符号索引 A:525 与规则 #10（cp/ip/cp,rel 用上标）约定，把出现在下标的
cp/ip 改为上标，共 29 处。纯下标 \psi_{cp}/\kappa_{cp}/\mathcal L_{cp}/
\operatorname{CRB}_{cp} 直接提上标；复合 \psi_{cp,\mu}/\psi_{cp,0}/
\psi_{ip,\mu} 的 cp/ip 提上标、索引 \mu/0 留下标（\psi^{cp}_{\mu}）；
上标位被占的冲突——\psi_{cp,\mu}^{\Tran}->(\psi^{cp}_{\mu})^{\Tran}、
\mathcal L_{cp}^{\mathrm{pro}}/\mathcal L^{\mathrm{pro}}_{cp}->
\mathcal L^{\mathrm{cp,pro}}。两遍编译无双上标错误。
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josh
2026-06-16 17:39:43 +08:00
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parts/G-multiFrameCrb.tex
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@@ -239,7 +239,7 @@
定义连续相位模型的干扰参数向量为
%
\begin{equation}
\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}
\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu}
=
\Big[
\dot\nu_{\mathrm{ref}},
@@ -251,10 +251,10 @@
并令总参数向量为
%
\begin{equation}
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{cp}}
\boldsymbol\kappa^{\mathrm{cp}}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}
\boldsymbol\eta^{\Tran} & (\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}
\end{bmatrix}^{\Tran}.
\end{equation}
@@ -303,7 +303,7 @@
\qquad
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
\triangleq
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}}.
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu}}.
\end{equation}
%
于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，连续相位模型的 \gls{fim} 分块为
@@ -353,7 +353,7 @@
从而其 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
\operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)
\operatorname{CRB}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)
=
\big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}.
\label{eq:A7_CRB_cp}
@@ -368,7 +368,7 @@
记
%
\begin{equation}
\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}
\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}
=
\Big[
\{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
@@ -377,7 +377,7 @@
\end{equation}
%
为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。
若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为
若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为
%
\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}}
@@ -390,8 +390,8 @@
\label{eq:A7_CP_K_EFIM}
\end{equation}
%
其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。
若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。
若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
%
\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}}
@@ -1044,7 +1044,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\},
\end{equation}
%
再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
@@ -1278,7 +1278,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
定义独立相位模型的干扰参数向量为
%
\begin{equation}
\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}
\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}
=
\Big[
\dot\nu_{\mathrm{ref}},
@@ -1290,10 +1290,10 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
并令总参数向量为
%
\begin{equation}
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}}
\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran}
\boldsymbol\eta^{\Tran} & (\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu})^{\Tran}
\end{bmatrix}^{\Tran}.
\end{equation}
%
@@ -1302,17 +1302,17 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
%
\begin{equation}
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})]_{ij}
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})]_{ij}
=
2\Re\left\{
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_i}
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_i}
\mathbf R_n^{-1}
\frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_j}
\frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_j}
\right\},
\label{eq:A8_IP_FIM_general}
\end{equation}
%
其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。
其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。
对单个观测块 $(\ell,p)$，其均值为
%
@@ -1407,7 +1407,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则
%
\begin{equation}
\operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})
\operatorname{CRB}^{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})
=
\big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}\big)^{-1}.
\label{eq:A8_IP_CRB_etadotnu}
@@ -1442,7 +1442,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
从而
%
\begin{equation}
\operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta)
\operatorname{CRB}^{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta)
=
\big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}.
\label{eq:A8_IP_CRB_eta}
@@ -1470,7 +1470,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}
\triangleq
\mathbf R_n^{-1/2}
\frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}},
\frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}},
\end{equation}
%
则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于