content(symbol): MCRB 真值改用上标 star、伪真值改用上标 pt
按 Josh 偏好统一 MCRB 记号:真值 η_0→η^star、伪真值
η^star→η^{pt},两者皆上标(原一上标一下标不对称),且 star
合"真值/最优"的通用直觉。成对替换 sec7 MCRB 小节 + 附录
H F5:真值 η_0/δ_0/δ_{0,ℓ}/μ_ℓ^0/ζ_{0,ℓ}→η^star/δ^star/
δ_ℓ^star/μ_ℓ^star/ζ_ℓ^star;伪真值 η^star/ζ^star/θ^star/
r^star→^{pt}。符号索引 A 补"上标 star=真值、上标 pt=伪
真值(MML 的 KL 投影点,与 star 区分)"两行。注:此约定与
Richmond 等误指定文献(star=伪真值)相反,已在索引钉明。
仅记号,公式与结论不变;δ_{0,ℓ}^2 特判为 (δ_ℓ^star)^2 避
免双上标。
This commit is contained in:
+25
-25
@@ -265,10 +265,10 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
\subsection{忽略时间戳误差的 MCRB}
|
||||
\label{subsec:F5_mcrb}
|
||||
|
||||
\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形：估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型，真值却含 $\boldsymbol\delta_0\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定，其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号，记 $\boldsymbol\eta_0$、$\boldsymbol\eta^\star$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值；噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 在真值与假设模型中相同、仅进入协方差，按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 与均值参数解耦，下文固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。
|
||||
\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形：估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型，真值却含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定，其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号，记 $\boldsymbol\eta^\star$、$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值；噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 在真值与假设模型中相同、仅进入协方差，按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 与均值参数解耦，下文固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。
|
||||
|
||||
\paragraph{误指定模型与伪真值}
|
||||
真实观测均值记为 $\boldsymbol\mu_\ell^0\triangleq\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_0,\delta_{0,\ell},\boldsymbol\zeta_{0,\ell})$；假设模型族把均值限制在 $\delta_\ell=0$ 流形上，$\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},0,\boldsymbol\zeta_\ell)=\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell$（$\mathbf G_\ell$ 在 $\delta=0$ 处求值）。两模型协方差相同，\gls{kl} 散度退化为白化均值失配
|
||||
真实观测均值记为 $\boldsymbol\mu_\ell^\star\triangleq\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta^\star,\delta_\ell^\star,\boldsymbol\zeta_\ell^\star)$；假设模型族把均值限制在 $\delta_\ell=0$ 流形上，$\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},0,\boldsymbol\zeta_\ell)=\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell$（$\mathbf G_\ell$ 在 $\delta=0$ 处求值）。两模型协方差相同，\gls{kl} 散度退化为白化均值失配
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F5_kl}
|
||||
@@ -276,39 +276,39 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\big\|
|
||||
\boldsymbol\mu_\ell^0-\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell
|
||||
\boldsymbol\mu_\ell^\star-\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell
|
||||
\big\|_2^2
|
||||
+\mathrm{const}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
\gls{mml} 估计器收敛到使 \eqref{eq:F5_kl} 最小的伪真值 $(\boldsymbol\eta^\star,\boldsymbol\zeta^\star)$。对每颗星按 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 闭式消元得 $\boldsymbol\zeta_\ell^\star=(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm\boldsymbol\mu_\ell^0$，代回得\emph{误指定集中准则}
|
||||
\gls{mml} 估计器收敛到使 \eqref{eq:F5_kl} 最小的伪真值 $(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}},\boldsymbol\zeta^{\mathrm{pt}})$。对每颗星按 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 闭式消元得 $\boldsymbol\zeta_\ell^{\mathrm{pt}}=(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm\boldsymbol\mu_\ell^\star$，代回得\emph{误指定集中准则}
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F5_pseudotrue}
|
||||
\boldsymbol\eta^\star
|
||||
\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}
|
||||
=
|
||||
\argmin_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}}
|
||||
\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\big\|\mathcal P_{\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})}^\perp\boldsymbol\mu_\ell^0\big\|_2^2.
|
||||
\big\|\mathcal P_{\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})}^\perp\boldsymbol\mu_\ell^\star\big\|_2^2.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
它与正文集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 同形，只是以确定的真实均值 $\boldsymbol\mu_\ell^0$ 取代了随机观测 $\tilde{\mathbf y}_\ell$；$\boldsymbol\eta^\star\neq\boldsymbol\eta_0$ 之差完全由 $\boldsymbol\delta_0$ 经 $\boldsymbol\mu_\ell^0$ 注入。
|
||||
它与正文集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 同形，只是以确定的真实均值 $\boldsymbol\mu_\ell^\star$ 取代了随机观测 $\tilde{\mathbf y}_\ell$；$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}\neq\boldsymbol\eta^\star$ 之差完全由 $\boldsymbol\delta^\star$ 经 $\boldsymbol\mu_\ell^\star$ 注入。
|
||||
|
||||
\paragraph{偏置的一阶表达}
|
||||
小误差区把真实均值在 $\delta=0$ 处展开
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F5_mean_expand}
|
||||
\boldsymbol\mu_\ell^0
|
||||
\boldsymbol\mu_\ell^\star
|
||||
=
|
||||
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_0,0,\boldsymbol\zeta_{0,\ell})
|
||||
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta^\star,0,\boldsymbol\zeta_\ell^\star)
|
||||
+
|
||||
\delta_{0,\ell}\,\mathbf j_{\delta,\ell}
|
||||
\delta_\ell^\star\,\mathbf j_{\delta,\ell}
|
||||
+
|
||||
O(\delta_{0,\ell}^2),
|
||||
O((\delta_\ell^\star)^2),
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{0,\ell,k}\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$ 同 \eqref{eq:F2_jdelta}。零阶项在 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta_0$ 处被 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 精确拟合（残差为零），故偏置 $\mathbf b\triangleq\boldsymbol\eta^\star-\boldsymbol\eta_0$ 由 $\delta_{0,\ell}\mathbf j_{\delta,\ell}$ 驱动。对 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 取一阶最优性条件（法方程）得
|
||||
其中 $\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}^\star\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$ 同 \eqref{eq:F2_jdelta}。零阶项在 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta^\star$ 处被 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 精确拟合（残差为零），故偏置 $\mathbf b\triangleq\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star$ 由 $\delta_\ell^\star\mathbf j_{\delta,\ell}$ 驱动。对 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 取一阶最优性条件（法方程）得
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F5_bias}
|
||||
@@ -316,14 +316,14 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
=
|
||||
(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}
|
||||
\sum_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
|
||||
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\,\delta_{0,\ell}
|
||||
+O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2),
|
||||
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\,\delta_\ell^\star
|
||||
+O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2),
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 与 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 即 \eqref{eq:F2_after_psi} 中的同步基线 \gls{efim} 与 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息列。即偏置复用了 \gls{efim} 推导里的同一批分块：它沿 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 方向、正比于真值时间戳 $\delta_{0,\ell}$。
|
||||
其中 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 与 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 即 \eqref{eq:F2_after_psi} 中的同步基线 \gls{efim} 与 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息列。即偏置复用了 \gls{efim} 推导里的同一批分块：它沿 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 方向、正比于真值时间戳 $\delta_\ell^\star$。
|
||||
|
||||
\paragraph{MCRB 的 sandwich 矩阵}
|
||||
将均值参数堆叠为 $\boldsymbol\theta\triangleq[\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}^\Tran,\boldsymbol\psi_\zeta^\Tran]^\Tran$、其堆叠均值为 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta)$。圆对称复高斯下误指定对数似然的两个 sandwich 矩阵在伪真值 $\boldsymbol\theta^\star$ 处为
|
||||
将均值参数堆叠为 $\boldsymbol\theta\triangleq[\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}^\Tran,\boldsymbol\psi_\zeta^\Tran]^\Tran$、其堆叠均值为 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta)$。圆对称复高斯下误指定对数似然的两个 sandwich 矩阵在伪真值 $\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}$ 处为
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:F5_B}
|
||||
@@ -333,9 +333,9 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
(\partial_{\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)^\Herm
|
||||
\mathbf R^{-1}
|
||||
(\partial_{\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)
|
||||
\big\}\big|_{\boldsymbol\theta^\star}
|
||||
\big\}\big|_{\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}}
|
||||
=
|
||||
\mathcal I(\boldsymbol\theta^\star),\\
|
||||
\mathcal I(\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}),\\
|
||||
\label{eq:F5_A}
|
||||
\mathbf A
|
||||
&=
|
||||
@@ -344,20 +344,20 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
2\,\Re\big\{
|
||||
(\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)^\Herm
|
||||
\mathbf R^{-1}\,
|
||||
\mathbf r^\star
|
||||
\big\}\big|_{\boldsymbol\theta^\star},
|
||||
\mathbf r^{\mathrm{pt}}
|
||||
\big\}\big|_{\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}},
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf r^\star
|
||||
\mathbf r^{\mathrm{pt}}
|
||||
\triangleq
|
||||
\boldsymbol\mu^0-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta^\star).
|
||||
\boldsymbol\mu^\star-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}).
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^\star$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta_0$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。
|
||||
$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta^\star$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。
|
||||
|
||||
\paragraph{一致性与稳健性}
|
||||
当 $\boldsymbol\delta_0\to\mathbf 0$：残差 $\mathbf r^\star\to\mathbf 0$ 故 $\mathbf A\to\mathbf B=\mathcal I$、偏置 $\mathbf b\to\mathbf 0$，\eqref{eq:sec5_mcrb} 退回同步基线 \gls{crb} $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}$，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 在 $\delta=0$ 处的结果一致。小误差区 $\mathbf r^\star=O(\boldsymbol\delta_0)$，故方差项 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}=(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}+O(\boldsymbol\delta_0)$、主导误差是偏置外积 $\mathbf b\mathbf b^\Tran=O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2)$。两条路线由此对照清晰：估计 $\boldsymbol\delta$（\appref{subsec:F2_schurDelta}）以\emph{方差}为代价——\gls{efim} 被秩一项 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran}/[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}$ 扣减；忽略 $\boldsymbol\delta$（本小节）以\emph{偏置}为代价——方差几乎不变但叠加 $\mathbf b\mathbf b^\Tran$。
|
||||
当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$：残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}\to\mathbf 0$ 故 $\mathbf A\to\mathbf B=\mathcal I$、偏置 $\mathbf b\to\mathbf 0$，\eqref{eq:sec5_mcrb} 退回同步基线 \gls{crb} $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}$，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 在 $\delta=0$ 处的结果一致。小误差区 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}=O(\boldsymbol\delta^\star)$，故方差项 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}=(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}+O(\boldsymbol\delta^\star)$、主导误差是偏置外积 $\mathbf b\mathbf b^\Tran=O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2)$。两条路线由此对照清晰：估计 $\boldsymbol\delta$（\appref{subsec:F2_schurDelta}）以\emph{方差}为代价——\gls{efim} 被秩一项 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran}/[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}$ 扣减；忽略 $\boldsymbol\delta$（本小节）以\emph{偏置}为代价——方差几乎不变但叠加 $\mathbf b\mathbf b^\Tran$。
|
||||
|
||||
偏置方向 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 与\appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''的退化同源：当导频为单音常包络（$\dot s\equiv 0$）时 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 落入增益子空间、被 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影为零，故 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\to\mathbf 0$、偏置消失——此模型对忽略时间戳误差\emph{稳健}，偏置仅经导频带宽 $\dot s\not\equiv 0$ 进入、且为 $O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2)$ 小量。换言之，本模型的 \gls{mcrb} 主要说明``忽略小钟差近乎无损''；唯当某个主参数与 $\delta_\ell$ 的得分在 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影后强耦合（不再被复增益吸收）时，\eqref{eq:F5_bias} 的偏置才显著放大。
|
||||
偏置方向 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 与\appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''的退化同源：当导频为单音常包络（$\dot s\equiv 0$）时 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 落入增益子空间、被 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影为零，故 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\to\mathbf 0$、偏置消失——此模型对忽略时间戳误差\emph{稳健}，偏置仅经导频带宽 $\dot s\not\equiv 0$ 进入、且为 $O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2)$ 小量。换言之，本模型的 \gls{mcrb} 主要说明``忽略小钟差近乎无损''；唯当某个主参数与 $\delta_\ell$ 的得分在 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影后强耦合（不再被复增益吸收）时，\eqref{eq:F5_bias} 的偏置才显著放大。
|
||||
|
||||
\subsection{位置模型下的时延--时间戳同轴混淆}
|
||||
\label{subsec:F6_tauDeltaConfound}
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user