content(app-G): 位置 CRB 补传播时延通道列
承 sec6 把 η_pos 扩为 [p,τ_ref,ν_ref]∈R^5：新增差分时延对 位置的 Jacobian ∂τ_ℓ/∂p=(u_ℓ−u_ref)^T/(cT_s)、时延模板 q_ℓ^del=∂q_ℓ/∂τ_ℓ（与 q^te 共用包络导数 ṡ）；D_ℓ^pos 扩为 ×5、位置列含角度/时延/Doppler 三贡献、加 τ_ref 列；EFIM 改 R^5、按 (p,φ) 分块 Schur 消去 φ=(τ_ref,ν_ref) 两自由标量 得 CRB(p)。远场退化补 ∂τ_ℓ/∂p→0 的径向同源；DoA-融合基线 说明舍弃 TDOA、距离维退回纯视差。
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@@ -38,49 +38,70 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
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\label{eq:H_dnudp}
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\end{equation}
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其中 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——\gls{aoa} 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。时间模板导数沿用 \eqref{eq:A6_qdot}，即 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\,\left(\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial p_i}\right)$、$\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}$。
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其中 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——\gls{aoa} 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。传播时延通道同理：由 $\tau_\ell=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与 \eqref{eq:sec7_tau_pos}，
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\begin{equation}
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\frac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
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=\frac{\partial\Delta\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
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=\frac{1}{c\,T_{\mathrm s}}\big(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran\in\mathbb R^{1\times3},
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\qquad
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\frac{\partial\tau_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=1,
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\label{eq:H_dtaudp}
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\end{equation}
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即差分时延对位置的灵敏度是两条视线\emph{单位向量之差}，远场 $\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$ 时同样趋零，与角度、Doppler 共享同一径向退化。导频包络对时延的导数记为时延模板 $[\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}]_t\triangleq\dfrac{\partial[\mathbf q_\ell]_t}{\partial\tau_\ell}=-\dot s(t-\tau_\ell)\,e^{j\nu_\ell t}$（$\dot s$ 为导频时间导数，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 的 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$ 共用同一包络导数）。时间模板现同时依赖时延与 Doppler，链式导数为
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\begin{equation}
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\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}
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=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\,\frac{\partial\tau_\ell}{\partial p_i}
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+\left(\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\frac{\partial\nu_\ell}{\partial p_i},
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\qquad
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\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}},
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\qquad
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\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}.
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\end{equation}
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\subsection{位置 EFIM 与 CRB}
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按 Kronecker 求导法则（同 \eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian
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按 Kronecker 求导法则（同 \eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian
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\begin{equation}
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\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}
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=\left[\,
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\frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_x},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_y},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_z},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}
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\,\right]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4},
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\frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_x},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_y},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_z},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}
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\,\right]\in\mathbb C^{M_\ell T\times5},
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\end{equation}
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其中位置列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_i}=\mathbf q_\ell\otimes\left(\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}\right)+\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}\right)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\otimes\mathbf a_\ell$，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形：
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其中位置列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_i}=\mathbf q_\ell\otimes\left(\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}\right)+\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}\right)\otimes\mathbf a_\ell$ 现含角度、时延、Doppler 三项贡献（$\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}$ 见上式）、时延列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\otimes\mathbf a_\ell$，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形：
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
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=2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
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\Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{4\times4}.
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\Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{5\times5}.
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\label{eq:H_efim}
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\end{equation}
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将 \eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
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将 \eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\boldsymbol\phi)$ 分块（$\boldsymbol\phi=[\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 为吸收绝对发射时刻与绝对 Doppler 的两个自由标量）
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
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=\begin{bmatrix}
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\mathcal I_{\mathrm{pp}} & \mathcal I_{\mathrm p\nu}\\
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\mathcal I_{\nu\mathrm p} & \mathcal I_{\nu\nu}
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\mathcal I_{\mathrm{pp}} & \mathcal I_{\mathrm p\phi}\\
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\mathcal I_{\phi\mathrm p} & \mathcal I_{\phi\phi}
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\end{bmatrix},
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\end{equation}
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则把参考 Doppler 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb}
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则把 $\boldsymbol\phi$ 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb}
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\begin{equation}
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\operatorname{CRB}(\mathbf p)
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=\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}.
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=\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\phi}\,\mathcal I_{\phi\phi}^{-1}\,\mathcal I_{\phi\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}.
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\end{equation}
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几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。
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\begin{mdquote}
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\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp}，当所有 $\|\mathbf r_\ell\|_2\to\infty$ 时 $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的三列位置导数趋于线性相关（径向列退化），$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
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\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp} 与 \eqref{eq:H_dtaudp}，当所有 $\|\mathbf r_\ell\|_2\to\infty$ 时 $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$ 且 $\dfrac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$（$\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$），角度、Doppler 与时延三条通道对位置的灵敏度同时径向退化，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的三列位置导数趋于线性相关，$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}（两个自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作绝对量被 Schur 消去）。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
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\end{mdquote}
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\subsection{DoA-融合基线的位置 CRB}
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@@ -115,18 +136,18 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
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即正文 \eqref{eq:sec7_doafusion}。
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\paragraph{与集中式的序关系}
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DoA-融合只保留各星本地角这一压缩统计量、丢弃差分 Doppler 与跨星联合约束；由数据处理不等式，其位置 Fisher 信息不超过集中式 \eqref{eq:H_efim} 消去 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 后的位置块，故
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DoA-融合只保留各星本地角这一压缩统计量、丢弃差分时延与差分 Doppler 等跨星联合约束；由数据处理不等式，其位置 Fisher 信息不超过集中式 \eqref{eq:H_efim} 消去 $\boldsymbol\phi=(\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})$ 后的位置块，故
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\begin{equation}
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\label{eq:H4_ordering}
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\mathcal I_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)
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\preceq
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\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\mathrm p},
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\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\phi}\mathcal I_{\phi\phi}^{-1}\mathcal I_{\phi\mathrm p},
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\qquad
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\operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)\succeq\operatorname{CRB}(\mathbf p).
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\end{equation}
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两者之差即跨星采样级信息（主要是差分 Doppler）的价值；单观测块内 Doppler 近常数时该差很小，DoA-融合接近集中式而回传量大幅降低。多用户情形把各星本地角与 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 按用户分别给出、逐用户相交即可，结构不变。
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两者之差即跨星采样级信息（差分时延与差分 Doppler）的价值：差分 Doppler 一项在 Doppler 近常数时很小，但差分时延（\gls{tdoa}）携带的距离约束被一并舍弃，故 DoA-融合在角度维接近集中式、在距离维退回纯视差几何，回传量则大幅降低。多用户情形把各星本地角与 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 按用户分别给出、逐用户相交即可，结构不变。
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\subsection{多用户}
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Reference in New Issue
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