content(sec5): 多帧节英文行话中文化、补现象解释
系统中文化雷达模糊文献借词:comb→梳状(首现括注)、tooth→ 梳齿、tooth ambiguity→齿间模糊、frame-time spectral window→帧时谱窗、in-tooth→单峰内/齿内、basin→吸引域、 profile likelihood→轮廓似然(并补"对其余参数取最优后只 保留 Doppler 维"的释义)、outlier→离群误差;score→得分 (补"对数似然梯度"释义);relaxed→放松、CP-str/CP-rel/ CP-K/CP-U 补中文、single-satellite multi-frame→单星多 帧、DoA bound→DoA CRB、Schur complement→Schur 补。 数学下标(tooth/pro 等)不动。
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前面四节都在单帧（静态）框架内沿不同维度推进问题。另一个独立的维度扩展是将单观测块推广为\emph{多帧观测窗口}，由此带来跨帧绝对相位连续性这一新信息。
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本节在第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节单用户多星静态模型的基础上引入多帧索引、Doppler rate 与跨帧连续相位结构，但\emph{不}叠加第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError} 节的多用户与时间戳误差扩展，以保持 ``一节一维度'' 的推进风格。
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主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$（与静态主线式~\eqref{eq:eta_main} 相同），而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。
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本节以\gls{cp} 作为多帧主模型，并以\gls{ip} 作为 phase-relaxed deterministic 基线进行对照——二者不是并列的两套物理模型，而是``主模型 vs.\ 放弃跨帧绝对相位约束的基线''——以此量化跨帧相位连续性携带的信息量；详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\appref{sec:multiFrameCrb}。
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本节以\gls{cp} 作为多帧主模型，并以\gls{ip} 作为放弃跨帧绝对相位约束的确定信号基线进行对照——二者不是并列的两套物理模型，而是``主模型''与``放弃跨帧绝对相位约束的基线''的关系——以此量化跨帧相位连续性携带的信息量；详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\appref{sec:multiFrameCrb}。
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\subsection{时间索引与参考星 Doppler rate}
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@@ -183,10 +183,10 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
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其中 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在结构化幅度消元后聚合而成的每星残差，详细矩阵代入与正部投影的闭式表达见\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb}。
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\subsection{relaxed 连续相位与 IP 集中准则}
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\subsection{放松连续相位与 IP 集中准则}
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\label{subsec:dynamicRelaxedModel}
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实际搜索时，可进一步把同星跨帧公共相位约束放松为每块自由复系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$（仅放松块复系数结构，相位模板仍为 \gls{cp}），得到 \emph{relaxed} concentrated \gls{mle}：
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实际搜索时，可进一步把同星跨帧公共相位约束放松为每块自由复系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$（仅放松块复系数结构，相位模板仍为 \gls{cp}），得到\emph{放松}连续相位集中 \gls{mle}：
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,rel}}
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@@ -196,7 +196,7 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
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\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell.
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\end{equation}
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相应地，\gls{ip} 基线的 concentrated \gls{mle} 直接对自由复增益 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 做闭式消元后得到
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相应地，\gls{ip} 基线的集中 \gls{mle} 直接对自由复增益 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 做闭式消元后得到
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,ip}}
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@@ -206,23 +206,23 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
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\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell.
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\end{equation}
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三种准则的差别在于复增益处理方式：CP-str 保留跨帧公共相位约束；CP-rel 放松为每块自由复系数（仍用 \gls{cp} 相位模板）；\gls{ip} 则放弃跨帧绝对相位、采用块独立相位模板。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\appref{sec:multiFrameCrb}。
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三种准则的差别在于复增益处理方式：结构化 \gls{cp}（CP-str）保留跨帧公共相位约束；放松 \gls{cp}（CP-rel）放松为每块自由复系数（仍用 \gls{cp} 相位模板）；\gls{ip} 则放弃跨帧绝对相位、采用块独立相位模板。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\appref{sec:multiFrameCrb}。
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\subsection{Doppler rate 处理：CP-K 与 CP-U}
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按 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 是否已知，\gls{cp} 模型派生两种设置：
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\begin{itemize}
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\item \textbf{CP-K}（known rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。
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\item \textbf{CP-U}（unknown rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数 Schur complement 消去，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。
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\item \textbf{CP-K}（Doppler rate 已知）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。
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\item \textbf{CP-U}（Doppler rate 未知）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数经 Schur 补消去，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。
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\end{itemize}
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一个值得指出的结构性现象：在 single-satellite multi-frame 情形中，若该卫星即参考星，则参考链路上 $\Delta\nu(\boldsymbol\xi)\equiv\Delta\dot\nu(\boldsymbol\xi)\equiv 0$，几何映射不通过 $\boldsymbol\xi$ 引入额外时间相位导数。在标准窄带阵列模型下，\gls{doa} 导数与 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数在 Fisher 内积意义下正交，因此 single-satellite multi-frame 的 \gls{doa} bound 在 known-rate 与 unknown-rate 设置下完全一致；在 multi-satellite 情形中这一严格正交性一般不再成立。详细证明见\appref{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}。
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一个值得指出的结构性现象：在\emph{单星多帧}情形中，若该卫星即参考星，则参考链路上 $\Delta\nu(\boldsymbol\xi)\equiv\Delta\dot\nu(\boldsymbol\xi)\equiv 0$，几何映射不通过 $\boldsymbol\xi$ 引入额外时间相位导数。在标准窄带阵列模型下，\gls{doa} 导数与 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数在 Fisher 内积意义下正交，因此单星多帧的 \gls{doa} \gls{crb} 在 Doppler rate 已知与未知两种设置下完全一致；在多星情形中这一严格正交性一般不再成立。详细证明见\appref{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}。
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\subsection{EFIM 投影解释与多星 Doppler 增益}
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\label{subsec:multiSatGainFdIdentifiability}
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多星协作带来的增益并不是对 $\boldsymbol\xi$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的等比例放大。
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新增观测只增加主参数 score 在干扰参数 score 正交补上的投影长度。
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记参数的\emph{得分}为对数似然对该参数的梯度；新增观测只增加主参数得分向量在干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影长度。
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若令 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数（包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位与幅度），白化均值 Jacobian 分别记为 $\bar{\mathbf J}_\eta,\bar{\mathbf J}_\psi$，则消去干扰参数后的 \gls{efim} 写为投影 Gram 矩阵
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\begin{equation}
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@@ -253,14 +253,14 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
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因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler \gls{crb} 仍受限。
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$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。
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\subsection{周期多帧观测下的 Doppler comb 与 tooth ambiguity}
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\subsection{周期多帧观测下的 Doppler 梳状多峰与齿间模糊}
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\label{subsec:fdCombToothAmbiguity}
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上一小节的 \gls{efim} 描述的是已落入正确局部 basin 后的 in-tooth 曲率，刻画不了周期多帧 profile likelihood 沿 Doppler 方向的\emph{全局离散多峰}（comb）结构——其谱窗口与 tooth 间隔的完整推导见\appref{subsec:A7_frameTimeCombTooth}；该多峰属于局部 \gls{crb} 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。
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上一小节的 \gls{efim} 描述的是估计已落入正确局部吸引域之后的\emph{单峰内}曲率，刻画不了周期多帧\emph{轮廓似然}（profile likelihood，即对其余参数取最优后只保留 Doppler 维的目标函数）沿 Doppler 方向的\emph{全局离散多峰}结构——该多峰形如一排等距排列的尖峰，下文称之为\emph{梳状}（comb）结构，其谱窗口与峰间隔的完整推导见\appref{subsec:A7_frameTimeCombTooth}；它属于局部 \gls{crb} 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。
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直观上，这一多峰结构来自\emph{周期帧定时}本身。各帧在慢时间维度上以近似等间隔 $\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 排列时，跨帧相干合并相当于以采样间隔 $\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 对参考链路 Doppler 相位采样；这与等间隔稀疏阵列出现栅瓣、时间欠采样产生频率混叠是同一机理——相差 $2\pi/\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 的两个 Doppler 值在\emph{每一帧}上给出完全相同的相位增量，相干匹配无从分辨。于是沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的集中目标不再是单峰，而是一排等间隔的峰，即 comb 的各 tooth：真值只落在其中一个 tooth 上，但仅凭周期数据无法判定是哪一个（tooth ambiguity），选错会造成约一个 tooth 间隔的整周 Doppler 大误差，正是门限区里典型的 outlier。下面用 frame-time spectral window 把这一周期结构定量化。
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直观上，这一多峰结构来自\emph{周期帧定时}本身。各帧在慢时间维度上以近似等间隔 $\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 排列时，跨帧相干合并相当于以采样间隔 $\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 对参考链路 Doppler 相位采样；这与等间隔稀疏阵列出现栅瓣、时间欠采样产生频率混叠是同一机理——相差 $2\pi/\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 的两个 Doppler 值在\emph{每一帧}上给出完全相同的相位增量，相干匹配无从分辨。于是沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的集中目标不再是单峰，而是一排等间隔的峰，即梳状结构的各\emph{梳齿}（tooth）：真值只落在其中一个梳齿上，但仅凭周期数据无法判定是哪一个，此即\emph{齿间模糊}（tooth ambiguity）；选错相邻梳齿会造成约一个齿间隔的整周 Doppler 大误差，正是门限区里典型的离群误差（outlier）。下面用\emph{帧时谱窗}（frame-time spectral window）把这一周期结构定量化。
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若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含 frame-time spectral window
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若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含如下帧时谱窗
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\begin{equation}
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W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
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@@ -277,14 +277,14 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
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\qquad k\in\mathbb Z
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\end{equation}
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处每帧相位增量 $\Delta\nu\,\tau_p=2\pi kp$ 恰为 $2\pi$ 的整数倍、所有帧同相叠加，产生间隔为 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的 comb-like objective branches。
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处每帧相位增量 $\Delta\nu\,\tau_p=2\pi kp$ 恰为 $2\pi$ 的整数倍、所有帧同相叠加，产生间隔为 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的梳状目标分支。
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换算到物理 Hz 即 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}=1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$。
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该 comb 是全局 profile likelihood 的周期窗口效应，与 \gls{efim} 局部曲率并不矛盾——\gls{efim} 只刻画某一个 tooth 内的二阶曲率，并不保证全局唯一 tooth。
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该梳状结构是全局轮廓似然的周期窗口效应，与 \gls{efim} 局部曲率并不矛盾——\gls{efim} 只刻画某一个梳齿内的二阶曲率，并不保证全局只有唯一梳齿。
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相邻 tooth 是否容易区分由两层因素共同决定：单帧 pilot block 的长度 $T$（控制块内 Doppler 相干带宽）与非周期 subset 的窗口形状（控制 comb 旁瓣压制）。
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当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻 tooth 的块内相干损失约为 $\dfrac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻 tooth 的分离度。
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非周期 subset 打破 comb 的严格周期性，使本来等高的假 tooth 退化为受压制的旁瓣、真峰凸显，因而更适合 tooth acquisition；完整周期数据在 tooth 选对之后由于保留更多相干能量，更适合同 tooth 内 refine。
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若定义 tooth 可分离性为不同 $k$ 下 profile optimum 之间的目标差
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相邻梳齿是否容易区分由两层因素共同决定：单帧导频块的长度 $T$（控制块内 Doppler 相干带宽）与非周期帧子集的窗口形状（控制梳状旁瓣的压制）。
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当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻梳齿的块内相干损失约为 $\dfrac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻梳齿的分离度。
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非周期帧子集打破梳状结构的严格周期性，使本来等高的假梳齿退化为受压制的旁瓣、真峰凸显，因而更适合\emph{捕获}正确的梳齿；完整周期数据在梳齿选对之后由于保留更多相干能量，更适合在同一梳齿内\emph{精化}估计。
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若定义梳齿可分离性为不同 $k$ 下轮廓最优之间的目标差
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\begin{equation}
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D_{\mathrm{tooth}}
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@@ -295,6 +295,6 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
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\mathcal L^{\mathrm{cp,pro}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}),
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\end{equation}
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则 \gls{efim}/\gls{crb} 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、tooth 选对后才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与 tooth 可分离性的数值刻画均见\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。
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则 \gls{efim}/\gls{crb} 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、梳齿选对后才能作为同一梳齿内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与梳齿可分离性的数值刻画均见\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。
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本节完成了多帧动态主线：\gls{cp} 模型通过同星公共相位 $\chi_\ell$ 显式利用跨帧绝对时间信息，\gls{ip} 模型作为对照基线放弃跨帧绝对相位；二者的 \gls{efim} 差异量化了跨帧连续相位携带的信息量。
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