fix(equation): 与正文连续的公式补 % 隔行占位
按新约定，给紧贴正文（无空行）的 \begin{equation}/\end{equation} 两侧各
插入一行 % 占位，全文共 675 处，覆盖 14 个文件。自成段落（前后留空行）的
公式不加。% 占位不影响渲染，diff 纯为新增 % 行，编译两遍输出不变。
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@@ -13,6 +13,7 @@
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\item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位模型，即保留连续相位模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。
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\end{enumerate}
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||||
主参数统一定义为
|
||||
%
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\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}
|
||||
=
|
||||
@@ -24,11 +25,13 @@
|
||||
\qquad
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/EFIM 结构。
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\subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号}
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沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义连续相位模板
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||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
|
||||
=
|
||||
@@ -38,13 +41,17 @@
|
||||
\qquad
|
||||
t=0,\ldots,T-1,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
|
||||
\qquad
|
||||
\dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
按时间堆叠后定义
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -56,7 +63,9 @@
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb C^{T\times 1},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
以及向量化后的空时模板
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -65,12 +74,15 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记导向矢量导数为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf a_{\ell,x}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
由链式法则可得时间模板导数
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x}
|
||||
=
|
||||
@@ -85,7 +97,9 @@
|
||||
\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p},
|
||||
\label{eq:A7_qx_cp}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并且
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
|
||||
=
|
||||
@@ -98,9 +112,11 @@
|
||||
\frac{j}{2}\operatorname{diag}(t_{p,0}^2,\ldots,t_{p,T-1}^2)\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p},
|
||||
\label{eq:A7_qgamma_cp}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中已利用正文中的几何参数化：$\partial \nu_\ell/\partial \nu_{\mathrm{ref}}=1$，$\partial \dot\nu_\ell/\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
|
||||
|
||||
于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -133,7 +149,9 @@
|
||||
=
|
||||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
记
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -144,7 +162,9 @@
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
以及
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -153,13 +173,16 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
将所有 $(\ell,p)$ 的向量化观测按任意固定顺序堆叠为 $\tilde{\mathbf y}$。为避免块顺序引起歧义，记
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal B
|
||||
\triangleq
|
||||
\{(\ell,p):\ell=0,\ldots,L-1,
|
||||
\ p=0,\ldots,P-1\},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
则对应噪声协方差为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf R_n
|
||||
=
|
||||
@@ -169,8 +192,10 @@
|
||||
\Big),
|
||||
\label{eq:A7_Rn_cp_stack}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_{n,\ell}^2$。
|
||||
由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
|
||||
=
|
||||
@@ -185,6 +210,7 @@
|
||||
\subsubsection{连续相位模型下的 CRB}
|
||||
|
||||
连续相位模型写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||||
=
|
||||
@@ -194,12 +220,16 @@
|
||||
\qquad
|
||||
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
记
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 EFIM。
|
||||
则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||||
=
|
||||
@@ -207,6 +237,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
定义连续相位模型的干扰参数向量为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}
|
||||
=
|
||||
@@ -216,7 +247,9 @@
|
||||
\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}
|
||||
\Big]^{\Tran},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并令总参数向量为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{cp}}
|
||||
=
|
||||
@@ -226,6 +259,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
对单个观测块，有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}}
|
||||
=
|
||||
@@ -238,7 +272,9 @@
|
||||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p},
|
||||
\label{eq:A7_Jgamma_cp_block}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
以及对任意 $m\in\{0,\ldots,L-1\}$ 与任意 $(m,n)$，
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \chi_m}
|
||||
=
|
||||
@@ -259,6 +295,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
将所有观测块联合堆叠后，记相应 Jacobian 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -268,7 +305,9 @@
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，连续相位模型的 FIM 分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}}
|
||||
=
|
||||
@@ -296,7 +335,9 @@
|
||||
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
|
||||
\right\}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 在连续相位模型下的 \gls{efim} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
=
|
||||
@@ -307,8 +348,10 @@
|
||||
\mathcal I_{\psi\eta}^{\mathrm{cp}},
|
||||
\label{eq:A7_Ieff_cp}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中上式默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 EFIM。
|
||||
从而其 CRB 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
=
|
||||
@@ -323,6 +366,7 @@
|
||||
|
||||
为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 \gls{doa} bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。
|
||||
记
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}
|
||||
=
|
||||
@@ -331,8 +375,10 @@
|
||||
\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}
|
||||
\Big]^\Tran
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。
|
||||
若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 known-rate EFIM 可写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}}
|
||||
=
|
||||
@@ -343,8 +389,10 @@
|
||||
\mathcal I_{\psi_0\eta}^{(0)},
|
||||
\label{eq:A7_CP_K_EFIM}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 FIM 分块。
|
||||
若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 EFIM 按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}}
|
||||
=
|
||||
@@ -354,7 +402,9 @@
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\label{eq:A7_CP_ext_EFIM_partition}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是 unknown-rate EFIM 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,U}}
|
||||
=
|
||||
@@ -365,10 +415,12 @@
|
||||
\mathbf i_{\dot\nu\eta}.
|
||||
\label{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。
|
||||
若该残差耦合很弱，则 known-rate 与 unknown-rate bound 可以非常接近。
|
||||
|
||||
进一步将 known-rate EFIM 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K}
|
||||
=
|
||||
@@ -385,17 +437,21 @@
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\label{eq:A7_CP_K_partition_xi_nu_rate}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
如果
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf i_{\xi\dot\nu}=\mathbf 0,
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}=\mathbf 0,
|
||||
\label{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 CRB 子块。
|
||||
换言之，\gls{doa} 的 known-rate 与 unknown-rate CRB 完全一致。
|
||||
|
||||
在 single-satellite multi-frame case 中，若唯一卫星即 reference satellite，则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
=
|
||||
@@ -406,6 +462,7 @@
|
||||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}.
|
||||
\label{eq:A7_ref_link_mapping_no_xi}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此 $\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 且 $\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
|
||||
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
|
||||
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
|
||||
@@ -413,6 +470,7 @@
|
||||
这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的严格重合。
|
||||
|
||||
在 multi-satellite case 中，非参考星通常满足
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\nu_\ell
|
||||
=
|
||||
@@ -424,6 +482,7 @@
|
||||
\qquad
|
||||
\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
此时 \gls{doa} 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。
|
||||
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的完全相等性也不应被作为一般结论。
|
||||
若数值上 multi-satellite \gls{doa} bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，\gls{doa} residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
|
||||
@@ -432,6 +491,7 @@
|
||||
\subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB}
|
||||
|
||||
沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||||
=
|
||||
@@ -441,9 +501,11 @@
|
||||
\qquad
|
||||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧连续相位模板。
|
||||
|
||||
令扩展参数向量为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -459,7 +521,9 @@
|
||||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并记
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -471,13 +535,17 @@
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
则单个观测块均值
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p}
|
||||
=
|
||||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 Jacobian 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -485,7 +553,9 @@
|
||||
=
|
||||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
对块复干扰系数的实部与虚部的 Jacobian 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\zeta,\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -500,6 +570,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
由此构造对应的 FIM 分块，并对所有块复系数执行 Schur 补，可得扩展参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 \gls{efim}
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||||
=
|
||||
@@ -512,7 +583,9 @@
|
||||
\right\},
|
||||
\label{eq:A7_Ieff_rel_ext}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -527,6 +600,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 CRB，则直接有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||||
=
|
||||
@@ -535,6 +609,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
若进一步仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 视为感兴趣参数，而将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 按
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||||
=
|
||||
@@ -543,7 +618,9 @@
|
||||
\mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}} & \mathcal I_{\dot\nu\dot\nu}^{\mathrm{rel}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
分块，则对应的主参数 \gls{efim} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
=
|
||||
@@ -554,7 +631,9 @@
|
||||
\mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}},
|
||||
\label{eq:A7_Ieff_rel_eta}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
=
|
||||
@@ -575,6 +654,7 @@
|
||||
变大的原因。
|
||||
|
||||
将所有观测块堆叠后的均值 Jacobian 写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf J
|
||||
=
|
||||
@@ -590,8 +670,10 @@
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\psi_\mu}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这里 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数子集；噪声方差参数若并入完整参数，
|
||||
由于与均值参数 Fisher 块解耦，不影响下面的投影解释。令
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -601,7 +683,9 @@
|
||||
\triangleq
|
||||
\mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\psi}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
为白化 Jacobian。则 Schur 补可写成
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||||
=
|
||||
@@ -619,7 +703,9 @@
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}.
|
||||
\label{eq:A7_efim_projection_interpret}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，对任意实扰动 $\delta\boldsymbol\eta$，有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\delta\boldsymbol\eta^\Tran
|
||||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||||
@@ -631,7 +717,9 @@
|
||||
\right\|_2^2.
|
||||
\label{eq:A7_efim_quadratic_projection}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
由此得到如下判据：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm{e}}\ \text{奇异}
|
||||
\quad\Longleftrightarrow\quad
|
||||
@@ -643,23 +731,29 @@
|
||||
\mathbf 0,
|
||||
\label{eq:A7_exact_absorbed_direction}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
也即
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\in
|
||||
\operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}).
|
||||
\label{eq:A7_range_absorbed_direction}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
近奇异情形对应于
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\approx
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi,
|
||||
\label{eq:A7_near_nuisance_absorption}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由干扰参数扰动近似表示。
|
||||
|
||||
为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\sin^2\theta_{\min}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -676,6 +770,7 @@
|
||||
}.
|
||||
\label{eq:A7_min_projection_angle}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，EFIM 在某个方向上的有效信息正比于该方向
|
||||
score 在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时，
|
||||
$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
|
||||
@@ -683,6 +778,7 @@ $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他
|
||||
|
||||
接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 EFIM 按
|
||||
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||||
=
|
||||
@@ -692,14 +788,18 @@ $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\label{eq:A7_efim_xi_nu_partition}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则参考 Doppler 的 scalar bound 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
C_{\nu}^{\mathrm{sc}}
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}.
|
||||
\label{eq:A7_nu_scalar_bound}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
若 $\boldsymbol\xi$ 未知，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 Fisher 信息为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\nu|\xi}
|
||||
=
|
||||
@@ -710,15 +810,19 @@ $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$
|
||||
\mathcal I_{\xi\nu},
|
||||
\label{eq:A7_nu_given_xi_schur}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
对应边际 CRB 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
C_{\nu}^{\mathrm{mar}}
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\nu|\xi}^{-1}.
|
||||
\label{eq:A7_nu_marginal_bound}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
为遵守第~\ref{sec:assumptionsAndNotation} 节中 $\rho$ 只表示幅度的约定，这里不用 $\rho$ 表示相关系数，
|
||||
而定义局部 \gls{doa}--Doppler 耦合比例
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\gamma_{\xi,\nu}^{2}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -731,8 +835,10 @@ $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$
|
||||
}.
|
||||
\label{eq:A7_xi_nu_coupling_fraction}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
在 $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 半正定且 $\mathcal I_{\nu\nu}>0$ 的正则情形下，
|
||||
$0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\nu|\xi}
|
||||
=
|
||||
@@ -743,7 +849,9 @@ $0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且
|
||||
\frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}.
|
||||
\label{eq:A7_nu_info_after_coupling}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是边际化 \gls{doa} 所造成的 Doppler 标准差放大量为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}}
|
||||
{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}}
|
||||
@@ -751,11 +859,13 @@ $0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且
|
||||
\frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}.
|
||||
\label{eq:A7_nu_std_inflation}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这说明即使多星使 $\mathcal I_{\nu\nu}$ 增大，只要
|
||||
$\mathcal I_{\nu\xi}\mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}\mathcal I_{\xi\nu}$ 同时较大，
|
||||
Schur 补后的 $\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然可能增长缓慢。
|
||||
|
||||
若用上标 $(L)$ 表示 $L$ 颗协作卫星下的量，则参考 Doppler 的多星边际增益可写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
G_{\nu}(L)
|
||||
=
|
||||
@@ -773,6 +883,7 @@ Schur 补后的 $\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然可能增长缓慢。
|
||||
}.
|
||||
\label{eq:A7_multisat_nu_gain}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益由两个因子共同决定：一个是 scalar 信息
|
||||
$\mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}$ 的能量叠加，另一个是耦合惩罚
|
||||
$1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$。这解释了为什么两星或少数多星情形中，角度 CRB 可能因
|
||||
@@ -805,6 +916,7 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较
|
||||
为了描述全局 profile likelihood 的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。
|
||||
按照表~\ref{tab:indexDimensionNotation} 的约定，$\tau_p$ 表示第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移，
|
||||
归一化角 Doppler 偏移记为 $\Delta\nu$。若只保留由帧起始时刻造成的公共相位项，则跨帧相干项可写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -812,8 +924,10 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较
|
||||
\qquad w_p\geq0.
|
||||
\label{eq:A7_frame_window_general}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这里 $w_p$ 可以看作在局部线性化和幅度消元后，第 $p$ 帧对 Doppler 匹配统计量的等效权重。
|
||||
对于周期帧，$\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$。若 $w_p$ 在短窗口内近似常数，则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
|
||||
\propto
|
||||
@@ -827,7 +941,9 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较
|
||||
}.
|
||||
\label{eq:A7_frame_window_dirichlet}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此所有满足
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\Delta\nu
|
||||
=
|
||||
@@ -839,18 +955,22 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较
|
||||
\qquad k\in\mathbb Z,
|
||||
\label{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
的 Doppler 偏移在帧起始点上具有相同相位。换算到物理 Doppler，利用
|
||||
$\nu=2\pi\nu^{\mathrm{Hz}}T_{\mathrm s}$，可得
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}
|
||||
=
|
||||
\frac{1}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s}}.
|
||||
\label{eq:A7_tooth_spacing_hz}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这解释了为什么周期多帧目标函数会出现以 $1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$ 为间隔的
|
||||
Doppler comb branches。
|
||||
|
||||
有限长度的 pilot block 破坏了这种完全等价性。令每帧保留 $T$ 个采样点，块内相关因子为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
R_T(\Delta\nu)
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -860,7 +980,9 @@ Doppler comb branches。
|
||||
\frac{\sin(T\Delta\nu/2)}{\sin(\Delta\nu/2)}.
|
||||
\label{eq:A7_block_dirichlet_corr}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是相邻 tooth 的可分离性可由
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
D_{\mathrm{blk}}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -868,7 +990,9 @@ Doppler comb branches。
|
||||
\left|R_T(\Delta\nu_{\mathrm{tooth}})\right|^2
|
||||
\label{eq:A7_block_tooth_separation}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
度量。若 $T/\Delta\tau_{\mathrm{f}}\ll1$，则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
D_{\mathrm{blk}}
|
||||
\approx
|
||||
@@ -880,17 +1004,20 @@ Doppler comb branches。
|
||||
\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.
|
||||
\label{eq:A7_block_small_ratio_approx}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler tooth 的块内区分度，而不是必然依赖
|
||||
$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 在单块内部产生可观测的二次相位曲率。
|
||||
|
||||
该分析也解释了周期窗口与非周期 subset 的不同作用。若采用非周期子集
|
||||
$\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
W_{\mathrm{sub}}(\Delta\nu)
|
||||
=
|
||||
\sum_{q=1}^{Q}w_q\exp\{j\Delta\nu\tau_{p_q}\}.
|
||||
\label{eq:A7_subset_frame_window}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 不再满足严格等间隔结构时，式~\eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
|
||||
给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期 comb 的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题：
|
||||
非周期 subset 更适合执行 tooth acquisition，完整周期窗口则更适合在 tooth 已选对时执行同 tooth 内相干 refine。
|
||||
@@ -900,6 +1027,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\subsubsection{数值实现中的一致性检查}
|
||||
|
||||
为了直接指导后续仿真，建议在实现 A7 的 CRB 时按如下顺序检查：首先按照式~\eqref{eq:A7_qx_cp}--\eqref{eq:A7_qgamma_cp} 构造每个 $(\ell,p)$ 块的解析 Jacobian，并用中心差分验证
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x}
|
||||
\approx
|
||||
@@ -907,22 +1035,27 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\qquad
|
||||
x\in\{\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell,\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其次，先由完整实参数 Jacobian 构造
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}
|
||||
=
|
||||
2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
再按 $[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 FIM 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
|
||||
|
||||
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
|
||||
|
||||
上面的推导默认 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
=
|
||||
\frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 FIM 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
|
||||
|
||||
因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \S\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。
|
||||
@@ -932,6 +1065,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 CRB}，而不再引入 hybrid CRB。
|
||||
|
||||
主参数统一定义为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}
|
||||
=
|
||||
@@ -943,25 +1077,31 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\qquad
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 EFIM 结构。
|
||||
|
||||
\subsubsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号}
|
||||
|
||||
沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的块级独立相位建模。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义局部归一化 Doppler 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\bar\nu_{\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
\nu_\ell + \dot\nu_\ell\tau_p,
|
||||
\label{eq:A8_IP_baromega}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
|
||||
\qquad
|
||||
\dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}).
|
||||
\label{eq:A8_IP_omegagamma_map}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是独立相位模板写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t)
|
||||
=
|
||||
@@ -970,7 +1110,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
t=0,\ldots,T-1.
|
||||
\label{eq:A8_IP_phase_template}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
对应的时间模板与空时模板分别定义为
|
||||
%
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||||
\begin{equation}
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||||
\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -990,7 +1132,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
|
||||
\label{eq:A8_IP_gdef}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是向量化观测模型为
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||||
%
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||||
\begin{equation}
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||||
\tilde{\mathbf y}^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
|
||||
=
|
||||
@@ -999,14 +1143,18 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
+ \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
|
||||
\label{eq:A8_IP_model}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中
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||||
%
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||||
\begin{equation}
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||||
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}),
|
||||
\qquad
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||||
\ell=0,\ldots,L-1,\qquad
|
||||
p=0,\ldots,P-1.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
正文 MLE 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 Fisher 信息矩阵，将其写作极坐标形式
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%
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||||
\begin{equation}
|
||||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
|
||||
=
|
||||
@@ -1014,15 +1162,19 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\qquad
|
||||
\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这里的 $\vartheta_{\ell,p}$ 是第 $(\ell,p)$ 个观测块的独立未知初始相位；与连续相位模型相比，跨帧绝对相位连续性已经被这些块级相位参数吸收。
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||||
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||||
对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记
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||||
%
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||||
\begin{equation}
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||||
\mathbf a_{\ell,x}
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||||
\triangleq
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||||
\frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
由链式法则可得
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||||
%
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||||
\begin{equation}
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||||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial x}
|
||||
=
|
||||
@@ -1041,14 +1193,18 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
|
||||
\label{eq:A8_IP_qx}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
又由于
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||||
%
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||||
\begin{equation}
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||||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1,
|
||||
\qquad
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||||
\frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这里同样采用正文中的加性参考星参数化；若改用一般映射，则 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 与 $\partial\dot\nu_\ell/\partial\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 应替换为对应的链式法则结果。
|
||||
因此
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||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
|
||||
=
|
||||
@@ -1068,6 +1224,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
于是模板导数可统一写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -1100,7 +1257,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
=
|
||||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
为后续紧凑书写，定义
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -1117,6 +1276,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\subsubsection{完整参数的 Fisher 信息矩阵}
|
||||
|
||||
定义独立相位模型的干扰参数向量为
|
||||
%
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||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}
|
||||
=
|
||||
@@ -1126,7 +1286,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}
|
||||
\Big]^{\Tran},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并令总参数向量为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}}
|
||||
=
|
||||
@@ -1134,9 +1296,11 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran}
|
||||
\end{bmatrix}^{\Tran}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。
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||||
|
||||
对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})]_{ij}
|
||||
=
|
||||
@@ -1147,15 +1311,19 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\right\},
|
||||
\label{eq:A8_IP_FIM_general}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。
|
||||
|
||||
对单个观测块 $(\ell,p)$，其均值为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
|
||||
=
|
||||
\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
@@ -1180,12 +1348,15 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
注意到式~\eqref{eq:A8_IP_Jphase_block} 与式~\eqref{eq:A8_IP_Jamp_block} 在实参数意义下所张成的干扰子空间，等价于复向量 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 所张成的一维复子空间。因此，对每个观测块的 $(\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})$ 执行 Schur 补后，可直接得到关于联合参数
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}}
|
||||
\end{bmatrix}^{\Tran}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
的块级 \gls{efim}：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
|
||||
=
|
||||
@@ -1197,7 +1368,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\right\},
|
||||
\label{eq:A8_IP_FIM_block_eff}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -1212,6 +1385,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
对全部卫星与全部帧求和，可得
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}
|
||||
=
|
||||
@@ -1231,6 +1405,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 与 CRB}{主参数 eta-dyn 的 EFIM 与 CRB}}
|
||||
|
||||
若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
=
|
||||
@@ -1240,6 +1415,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
|
||||
若仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将
|
||||
\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 按如下方式分块：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}
|
||||
=
|
||||
@@ -1249,7 +1425,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\label{eq:A8_IP_FIM_partition}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
=
|
||||
@@ -1260,7 +1438,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta},
|
||||
\label{eq:A8_IP_EFIM_eta}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
从而
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
=
|
||||
@@ -1280,6 +1460,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``连续相位 vs.~独立相位''对比的统计本质。
|
||||
|
||||
从 EFIM 病态的角度看，独立相位模型与 relaxed 连续相位模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -1291,7 +1472,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\mathbf R_n^{-1/2}
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}}
|
||||
=
|
||||
@@ -1302,6 +1485,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\right\}.
|
||||
\label{eq:A8_IP_EFIM_projection}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，独立相位模型下的弱可辨识方向仍由
|
||||
$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$
|
||||
的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed 连续相位模型相比，二者的主要区别不在
|
||||
@@ -1313,11 +1497,13 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
|
||||
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
|
||||
|
||||
若进一步将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
=
|
||||
\frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。
|
||||
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||||
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
|
||||
Reference in New Issue
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