fix(equation): 与正文连续的公式补 % 隔行占位
按新约定,给紧贴正文(无空行)的 \begin{equation}/\end{equation} 两侧各
插入一行 % 占位,全文共 675 处,覆盖 14 个文件。自成段落(前后留空行)的
公式不加。% 占位不影响渲染,diff 纯为新增 % 行,编译两遍输出不变。
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\subsection{位置对视线与本地角的链式导数}
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单位视线 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\mathbf r_\ell/\|\mathbf r_\ell\|_2$($\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$)对位置的 Jacobian 为
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\begin{equation}
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\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
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=\frac{1}{\|\mathbf r_\ell\|_2}\big(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran\big)\in\mathbb R^{3\times3}.
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\label{eq:H_dudp}
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\end{equation}
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两点结构性读法:因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源;投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$(秩 $2$)表明沿视线方向(径向)平移不改变该星方向,只有横向平移可观测,故单星无法定距,必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。
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本地视线 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$ 给出 $\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$,再按与\eqref{eq:A6_local_angle_chain} 同样的 atan2/arcsin 链式法则得到行向量 $\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p$、$\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p\in\mathbb R^{1\times3}$,从而
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\begin{equation}
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\frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}
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=\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}\frac{\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
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@@ -20,8 +23,10 @@
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\in\mathbb C^{M_\ell\times3},
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\label{eq:H_dadp}
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\end{equation}
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其中 $\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha},\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}$ 同\eqref{eq:A6_da_chain}。
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Doppler 部分,由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分\eqref{eq:sec7_dnu_pos},有
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\begin{equation}
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\frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
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=\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
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@@ -32,25 +37,31 @@ Doppler 部分,由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
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\frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
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\label{eq:H_dnudp}
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\end{equation}
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其中 $\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$ 正是\eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——AoA 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源,且同样随距离增大而衰减。时间模板导数沿用\eqref{eq:A6_qdot},即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i=\dot{\mathbf q}_\ell\,(\partial\nu_\ell/\partial p_i)$、$\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell$。
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\subsection{位置 EFIM 与 CRB}
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按 Kronecker 求导法则(同\eqref{eq:A6_Dl})组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian
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\begin{equation}
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\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}
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=\big[\,
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\partial\mathbf g_\ell/\partial p_x,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_y,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_z,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}
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\,\big]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4},
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\end{equation}
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其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell\otimes\mathbf a_\ell$,$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取\eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 EFIM 与\eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形:
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
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=2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
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\Re\!\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{4\times4}.
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\label{eq:H_efim}
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\end{equation}
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将\eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
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=\begin{bmatrix}
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@@ -58,11 +69,14 @@ Doppler 部分,由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
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\mathcal I_{\nu\mathrm p} & \mathcal I_{\nu\nu}
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\end{bmatrix},
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\end{equation}
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则把参考 Doppler 视为干扰参数、对其取 Schur 补,得位置 \gls{crb}
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\begin{equation}
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\operatorname{CRB}(\mathbf p)
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=\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}.
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\end{equation}
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几何精度因子(GDOP)即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。
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\begin{mdquote}
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