fix(equation): 与正文连续的公式补 % 隔行占位
按新约定,给紧贴正文(无空行)的 \begin{equation}/\end{equation} 两侧各
插入一行 % 占位,全文共 675 处,覆盖 14 个文件。自成段落(前后留空行)的
公式不加。% 占位不影响渲染,diff 纯为新增 % 行,编译两遍输出不变。
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@@ -9,6 +9,7 @@
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\label{subsec:single_arr_doa_doppler_est}
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本节默认 $\nu_k$ 表示第 $k$ 个信源的\emph{归一化角 Doppler},单位为 rad/sample;若需要物理 Hz 单位,应显式写作 $\nu_k^{\mathrm{Hz}}$,二者通过采样周期 $T_{\mathrm{s}}$ 一次性换算。Doppler 向量记为
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\begin{equation}
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\boldsymbol\nu
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\triangleq
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@@ -16,6 +17,7 @@
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\end{equation}
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将每个信源的导频 $s_k(t)$ 视为已知,复增益 $\zeta_k\in\mathbb C$ 与归一化 Doppler $\nu_k$ 视为待估。第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为
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\begin{equation}
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\mathbf q_k(\nu_k)
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\triangleq
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@@ -27,7 +29,9 @@
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\end{bmatrix}^\Tran
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\in\mathbb C^{T\times1}.
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\end{equation}
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所有快拍写成矩阵形式
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\begin{equation}
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\mathbf Y
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=
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@@ -37,6 +41,7 @@
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\end{equation}
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进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向向量与整体空时字典
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\begin{equation}
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\mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)
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\triangleq
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@@ -50,7 +55,9 @@
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\right]
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\in\mathbb C^{MT\times K},
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\end{equation}
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并记复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$。则向量化观测模型为
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\begin{equation}
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\label{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}
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\tilde{\mathbf y}
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@@ -63,11 +70,13 @@
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\qquad
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\tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}).
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\end{equation}
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$\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 与时间维度的 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 解耦在两个因子上,是本节相比于第~\ref{sec:det_doa_est} 节的核心新结构。
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\subsection{对数似然}
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由于 $\tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT})$,对数似然为
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\begin{equation}
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\label{eq:singlelog_likelihood}
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\ln\mathcal L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta)
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@@ -77,7 +86,9 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b
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-\frac{1}{\sigma}
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\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2.
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\end{equation}
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对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为(确定信号叠加模型的精确 \gls{mle} 处理可参见~\cite{breslerExactMaximumLikelihood1986})
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\begin{equation}
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\label{eq:det_ml_doa_doppler_opt}
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\minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma}
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@@ -90,6 +101,7 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b
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\subsection{集中似然与联合 DoA--Doppler 准则}
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待估主参数为 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$,干扰参数为 $(\boldsymbol\zeta,\sigma)$。在 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩的假设下,沿用与第~\ref{sec:det_doa_est} 节相同的投影模板消元,可得集中似然准则
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\begin{equation}
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\label{eq:con_det_ml_doa_doppler_opt}
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\big(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\big)
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@@ -99,10 +111,12 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b
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\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)}\right)
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\tilde{\mathbf y},
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\end{equation}
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%
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其中 $\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\triangleq\mathbf B_{\mathrm{st}}\!\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm$ 为空时字典列空间的投影算子。
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对 $\boldsymbol\zeta$ 与 $\sigma$ 的闭式消元过程与第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列 \gls{doa} 完全平行,详细矩阵代入见附录~\ref{sec:det_doa_doppler_crb}。
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若 Doppler 本身不感兴趣、仅作为干扰参数,可先做 profile 处理:
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%
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\begin{equation}
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\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}}
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=
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