fix(equation): 与正文连续的公式补 % 隔行占位
按新约定,给紧贴正文(无空行)的 \begin{equation}/\end{equation} 两侧各
插入一行 % 占位,全文共 675 处,覆盖 14 个文件。自成段落(前后留空行)的
公式不加。% 占位不影响渲染,diff 纯为新增 % 行,编译两遍输出不变。
This commit is contained in:
@@ -9,12 +9,15 @@
|
||||
\label{subsec:perturbedSignalModel}
|
||||
|
||||
把\emph{时间戳误差}定义为``某颗卫星实际采样时刻相对其名义采样时刻的偏移''。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准并令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$,其余卫星的时间戳误差以采样点数为单位记为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\delta_\ell\in\mathbb R,
|
||||
\qquad
|
||||
\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
对应的物理时间误差为 $\delta\tau_\ell=\delta_\ell T_{\mathrm{s}}$(秒)。$\delta_\ell$ 可正可负,不要求为整数采样。所有非参考星时间戳误差堆叠为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\delta
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -23,6 +26,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
在第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的多用户基线上引入 $\delta_\ell$,第 $\ell$ 颗卫星接收到的连续时间基带信号被替换为``在偏移 $\delta_\ell$ 后的瞬时上采样'':
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec5_signal_model}
|
||||
\mathbf y_\ell(t)
|
||||
@@ -35,12 +39,14 @@
|
||||
+
|
||||
\mathbf n_\ell(t).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
即采样网格保持 $t=0,1,\ldots,T-1$,但被采样的连续时间标记从 $t$ 变为 $t-\delta_\ell$。
|
||||
窄带阵列假设下 $\mathbf a_\ell$ 与瞬时时间无关,故 $\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量;它只通过\emph{导频时间偏移}与\emph{Doppler 相位偏移}两条途径出现在均值向量中。
|
||||
|
||||
\subsection{相位偏移耦合与导频时间偏移}
|
||||
|
||||
将\eqref{eq:sec5_signal_model} 中复指数项展开
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec5_phase_decomp}
|
||||
e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}
|
||||
@@ -49,14 +55,18 @@
|
||||
\cdot
|
||||
e^{j\nu_{\ell,k}t},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
可见 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 以乘积形式产生一个与时间无关的相位常数 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$。
|
||||
若把该常数吸入复增益,定义\emph{等效复增益}
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde\zeta_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
|
||||
\triangleq
|
||||
\zeta_{\ell,k}e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
则模型可改写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec5_absorbed_model}
|
||||
\mathbf y_\ell(t)
|
||||
@@ -69,6 +79,7 @@
|
||||
+
|
||||
\mathbf n_\ell(t).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这是部分相干模型的核心结构。两点观察:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \emph{相位耦合}已被 $\tilde\zeta_{\ell,k}$ 吸收,但代价是:原本各星独立的 $\{\zeta_{\ell,k}\}$ 与几何参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ \emph{解耦}的良好性质消失。$\tilde\zeta_{\ell,k}$ 显式依赖 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$,把 $\delta_\ell$ 的不确定性以 ``$|\nu_{\ell,k}|\cdot\mathrm{Var}(\delta_\ell)$'' 的形式注入主参数;这是部分相干观测对 Doppler 估计精度的主要恶化来源。
|
||||
@@ -90,6 +101,7 @@
|
||||
\subsection{联合似然与 EFIM 结构概览}
|
||||
|
||||
把第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的主参数与干扰参数集合扩展为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\eta
|
||||
=
|
||||
@@ -104,7 +116,9 @@
|
||||
\big\{\sigma_{n,\ell}^2\big\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\Big]^\Tran,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中下标 $\mathrm{te}$ 表示 timestamp-error。需要强调:本节\emph{不}把 $\delta_\ell$ 升格为主参数——任务目标仍是估计 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$,$\delta_\ell$ 只是因星间时钟不可信而引入的干扰参数。各星条件独立的圆对称复高斯负对数似然
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal L_{\mathrm{te}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{te}})
|
||||
=
|
||||
@@ -121,9 +135,11 @@
|
||||
\right\|_2^2
|
||||
\right]
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_{n,\ell}^2)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行,差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。
|
||||
|
||||
记完整实参数向量
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}}
|
||||
=
|
||||
@@ -133,7 +149,9 @@
|
||||
\boldsymbol\psi_{\zeta}^\Tran
|
||||
\big]^\Tran,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 为各 $\zeta_{\ell,k}$ 的实部/虚部堆叠(噪声方差仅进入协方差、与均值参数解耦,下同第~\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 节)。Fisher 信息矩阵按 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})
|
||||
=
|
||||
@@ -143,7 +161,9 @@
|
||||
\mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi}
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去,得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 EFIM
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec5_efim}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||||
@@ -154,6 +174,7 @@
|
||||
(\mathcal I_{\delta\delta}')^{-1}\,
|
||||
\mathcal I_{\delta\eta}',
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathcal I'_{\cdot\cdot}$ 表示在复增益块消去后剩余的中间 Fisher 块。
|
||||
\eqref{eq:sec5_efim} 的解析形式只在小误差区可写完整闭式;大误差区下右端各项需逐 $\delta_\ell$ 取值数值评估。详细分块表达、数值评估流程与 $K=1, L=2$ 最简情形的闭式结果见\ref{sec:timestampErrCrb}。
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user