fix(equation): 与正文连续的公式补 % 隔行占位

按新约定，给紧贴正文（无空行）的 \begin{equation}/\end{equation} 两侧各
插入一行 % 占位，全文共 675 处，覆盖 14 个文件。自成段落（前后留空行）的
公式不加。% 占位不影响渲染，diff 纯为新增 % 行，编译两遍输出不变。

parts/sec6_multiFrameCp.tex

@@ -11,6 +11,7 @@
 设观测窗口含 $P$ 帧，帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，单帧采样点数为 $T$，帧内局部索引 $t=0,\ldots,T-1$，第 $p$ 帧起始点的离散偏移记为 $\tau_p$，约定 $\tau_0=0$，全局时间索引 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$（沿用 \S\ref{subsec:dopplerNormalization} 约定）。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 的全局/局部映射 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$，并将其视为在整个短观测窗口内保持不变。
 
 参考链路上的归一化 Doppler 与 Doppler rate 分别定义为 $\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$。其余卫星按
+%
 \begin{equation}
   \nu_\ell
   =
@@ -20,12 +21,14 @@
   =
   \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
 \end{equation}
+%
 由已知几何唯一诱导，沿用 \S\ref{subsec:refSatParameterization} 的参考星参数化。
 
 \subsection{连续相位多帧信号模型（CP）}
 \label{subsec:dynamicCpModel}
 
 短观测窗口下，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似：
+%
 \begin{equation}
   \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
   =
@@ -35,7 +38,9 @@
   \qquad
   t_{p,t}=\tau_p+t.
 \end{equation}
+%
 若第 $p$ 帧训练序列为 $s_p(t)$，并定义结构化连续相位复增益
+%
 \begin{equation}
   \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
   \triangleq
@@ -43,7 +48,9 @@
   \qquad
   \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0},
 \end{equation}
+%
 则 CP 模型接收向量为
+%
 \begin{equation}
   \mathbf y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
   =
@@ -54,10 +61,12 @@
   +
   \mathbf n_{\ell,p}(t),
 \end{equation}
+%
 其中 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。
 $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由同一颗卫星的不同帧共享——这是 CP 模型相比静态模型的核心新结构：它把 $L\times P$ 个块复增益的自由度从 ``$LP$ 个独立复数'' 压回为 ``$L$ 个公共相位 + $LP$ 个非负实幅度''，从而显式利用跨帧绝对时间信息。
 
 定义 CP 模板与空时模板
+%
 \begin{equation}
   \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
   \triangleq
@@ -73,7 +82,9 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
   \otimes
   \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi),
 \end{equation}
+%
 则向量化模型为
+%
 \begin{equation}
   \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
   =
@@ -87,6 +98,7 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
 \label{subsec:independentPhaseModel}
 
 为量化跨帧绝对相位连续性的收益，引入独立相位基线模型作为对照。将 CP 相位项分解：
+%
 \begin{equation}
   \nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2
   =
@@ -94,7 +106,9 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
   +
   \underbrace{(\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p)t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2}_{\text{帧内局部相位演化}}.
 \end{equation}
+%
 若允许每一帧具有独立未知相位 $\vartheta_{\ell,p}$，则帧间常相位项可被块相位吸收。令第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复干扰系数记为
+%
 \begin{equation}
   \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
   =
@@ -103,7 +117,9 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
   \qquad
   \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge 0},
 \end{equation}
+%
 对应的局部归一化 Doppler $\bar\nu_{\ell,p}\triangleq\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p$，则 IP 模型可写为
+%
 \begin{equation}
   \mathbf y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t)
   =
@@ -118,12 +134,14 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
   +
   \mathbf n_{\ell,p}(t).
 \end{equation}
+%
 相应的 IP 模板与空时模板 $\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$、$\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 按相同方式定义。
 CP 与 IP 的差别集中在块复增益的自由度：CP 保留 $L$ 个跨帧公共相位 $\{\chi_\ell\}$，IP 则放弃跨帧绝对相位关系。后续 \gls{fim}/\gls{crb} 对比将量化保留公共相位 $\chi_\ell$ 带来的信息差异。
 
 \subsection{联合似然与集中似然}
 
 CP 模型的干扰参数向量为
+%
 \begin{equation}
   \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}
   =
@@ -134,7 +152,9 @@ CP 模型的干扰参数向量为
     \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
   \Big]^\Tran.
 \end{equation}
+%
 在 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设下，联合负对数似然为
+%
 \begin{equation}
   \mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}})
   =
@@ -152,6 +172,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
 \end{equation}
 
 依次对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为
+%
 \begin{equation}
   \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}}
   =
@@ -159,12 +180,14 @@ CP 模型的干扰参数向量为
   \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\}}
   \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell.
 \end{equation}
+%
 其中 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在结构化幅度消元后聚合而成的每星残差，详细矩阵代入与正部投影的闭式表达见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb}。
 
 \subsection{relaxed 连续相位与 IP 集中准则}
 \label{subsec:dynamicRelaxedModel}
 
 实际搜索时，可进一步把同星跨帧公共相位约束放松为每块自由复系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$（仅放松块复系数结构，相位模板仍为 CP），得到 \emph{relaxed} concentrated MLE：
+%
 \begin{equation}
   \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,rel}}
   =
@@ -172,7 +195,9 @@ CP 模型的干扰参数向量为
   \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}}
   \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell.
 \end{equation}
+%
 相应地，IP 基线的 concentrated MLE 直接对自由复增益 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 做闭式消元后得到
+%
 \begin{equation}
   \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,ip}}
   =
@@ -180,6 +205,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
   \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}}
   \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell.
 \end{equation}
+%
 三种准则的差别在于复增益处理方式：CP-str 保留跨帧公共相位约束；CP-rel 放松为每块自由复系数（仍用 CP 相位模板）；IP 则放弃跨帧绝对相位、采用块独立相位模板。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\ref{sec:multiFrameCrb}。
 
 \subsection{Doppler rate 处理：CP-K 与 CP-U}
@@ -198,6 +224,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
 多星协作带来的增益并不是对 $\boldsymbol\xi$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的等比例放大。
 新增观测只增加主参数 score 在干扰参数 score 正交补上的投影长度。
 若令 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数（包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位与幅度），白化均值 Jacobian 分别记为 $\bar{\mathbf J}_\eta,\bar{\mathbf J}_\psi$，则消去干扰参数后的 EFIM 写为投影 Gram 矩阵
+%
 \begin{equation}
   \mathcal I_{\mathrm{e}}
   =
@@ -207,9 +234,11 @@ CP 模型的干扰参数向量为
     \bar{\mathbf J}_{\eta}
   \right\},
 \end{equation}
+%
 其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见附录~\ref{subsec:A7_efimIllConditioning}。
 
 将 EFIM 按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足
+%
 \begin{equation}
   \operatorname{CRB}_{\nu}
   =
@@ -220,6 +249,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
   =
   \frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}.
 \end{equation}
+%
 因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler CRB 仍受限。
 $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。
 
@@ -228,18 +258,22 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
 
 上一小节的 EFIM 描述的是已落入正确局部 basin 后的 in-tooth 曲率；它不能解释 profile likelihood 在 Doppler 方向上的全局离散多峰结构——后者属于局部 CRB 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。
 若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含 frame-time spectral window
+%
 \begin{equation}
   W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
   \triangleq
   \sum_{p\in\mathcal P} w_p\exp\{j\Delta\nu\tau_p\}.
 \end{equation}
+%
 等间隔 $\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 且 $w_p$ 近似一致时，$W_{\mathcal P}$ 退化为离散 Dirichlet 窗口，在
+%
 \begin{equation}
   \Delta\nu=k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}},
   \qquad
   \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}\triangleq\frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}},
   \qquad k\in\mathbb Z
 \end{equation}
+%
 处所有帧相位同时对齐，产生间隔为 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的 comb-like objective branches。
 换算到物理 Hz 即 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}=1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$。
 该 comb 是全局 profile likelihood 的周期窗口效应，与 EFIM 局部曲率并不矛盾——EFIM 只刻画某一个 tooth 内的二阶曲率，并不保证全局唯一 tooth。
@@ -248,6 +282,7 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
 当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻 tooth 的块内相干损失约为 $\frac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻 tooth 的分离度。
 非周期 subset 更适合用于 tooth acquisition；完整周期数据在 tooth 选对之后由于保留更多相干能量，更适合同 tooth 内 refine。
 若定义 tooth 可分离性为不同 $k$ 下 profile optimum 之间的目标差
+%
 \begin{equation}
   D_{\mathrm{tooth}}
   \triangleq
@@ -256,6 +291,7 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
   -
   \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}),
 \end{equation}
+%
 则 EFIM/CRB 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、tooth 选对后才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与 tooth 可分离性的数值刻画均见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。
 
 本节完成了多帧动态主线：CP 模型通过同星公共相位 $\chi_\ell$ 显式利用跨帧绝对时间信息，IP 模型作为对照基线放弃跨帧绝对相位；二者的 EFIM 差异量化了跨帧连续相位携带的信息量。