doa_doppler_est/archive/multiArrayDetDoaDopplerDelayEst.tex

\section{基于参考星链路参数化的多阵列确定信号 DoA--Doppler--时延估计扩展}
\label{sec:multiArrayDetDoaDopplerDelayEst}

本节在静态多星 DoA--Doppler 主线的基础上进一步加入参考星链路时延 $\tau_{\mathrm{ref}}$。因此，本节不是重新定义一套几何模型，而是在第~\ref{subsec:multiArrayCommonNotation} 小节的全局方向 $\boldsymbol\xi$、局部导向矢量 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 和参考星 Doppler 参数化基础上，额外引入各星链路时延映射。

\subsection{信号模型}

与前述静态 DoA--Doppler 模型一致，固定选择参考卫星 $\ell_{\mathrm{ref}}$。在加入时延后，DoA--Doppler--delay 扩展模型的主参数统一写为
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\tau}
  =
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\xi\\
    \tau_{\mathrm{ref}}\\
    \nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
其中 $\tau_{\mathrm{ref}}$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 分别为参考卫星链路上的时延和归一化 Doppler。

第 $\ell$ 颗卫星的链路时延与归一化 Doppler 分别由参考星参数化写为
\begin{equation}
  \tau_\ell
  =
  f_{\tau,\ell}(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \nu_\ell
  =
  f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \ell=0,1,\ldots,L-1,
\end{equation}
并满足参考星约束
\begin{equation}
  f_{\tau,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}})
  =
  \tau_{\mathrm{ref}},
  \qquad
  f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \nu_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
对 $\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}$，上述映射由已知卫星位置、速度、姿态以及参考星链路参数诱导得到。

考虑已知训练序列 $s(t)$。加入链路时延后，第 $\ell$ 颗卫星在第 $t$ 个采样点的接收向量写为
\begin{equation}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \zeta_\ell
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  s\!\bigl(t-\tau_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}})\bigr)
  e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t}
  +
  \mathbf n_\ell(t),
  \qquad t=0,1,\ldots,T-1,
\end{equation}
当 $\tau_\ell$ 非整数时，$s(t-\tau_\ell)$ 表示连续基带训练波形经过分数时延后在第 $t$ 个采样时刻的取值，等价地可由插值或分数时延滤波实现；若仅考虑整数采样时延，则应额外约束 $\tau_\ell\in\mathbb Z$。
其中为书写紧凑记
\begin{equation}
  \tau_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  f_{\tau,\ell}(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}).
\end{equation}
这里 $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为未知复干扰系数，噪声满足
\begin{equation}
  \mathbf n_\ell(t)
  \sim
  \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}).
\end{equation}

定义包含时延和 Doppler 的时间模板
\begin{equation}
  \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s\!\bigl(0-\tau_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}})\bigr)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\cdot0}\\
    s\!\bigl(1-\tau_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}})\bigr)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\cdot1}\\
    \vdots\\
    s\!\bigl(T-1-\tau_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}})\bigr)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})(T-1)}
  \end{bmatrix}.
\end{equation}
相应地，矩阵观测模型为
\begin{equation}
  \mathbf Y_\ell
  =
  \zeta_\ell
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \mathbf q_\ell^\Tran(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})
  +
  \mathbf N_\ell.
\end{equation}
向量化后，定义
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}_\ell
  \triangleq
  \vect(\mathbf Y_\ell),
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}_\ell
  \triangleq
  \vect(\mathbf N_\ell),
  \qquad
  \mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})
  \otimes
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi),
\end{equation}
可得
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}_\ell
  =
  \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})
  +
  \tilde{\mathbf n}_\ell.
\end{equation}
本节中的干扰参数可写为
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi_{\tau}
  =
  \Big[
    \{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
    \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran.
\end{equation}

\subsection{联合似然与集中式估计}

在星间噪声独立、且第 $\ell$ 颗卫星噪声方差为 $\sigma_{n,\ell}^2$ 的条件下，省略与参数无关的常数项后，联合负对数似然为
\begin{equation}
  \mathcal L_{\tau}(\boldsymbol\eta_{\tau},\boldsymbol\psi_{\tau})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \left[
    M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
    +
    \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
    \left\|
      \tilde{\mathbf y}_\ell
      -
      \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})
    \right\|_2^2
  \right].
\end{equation}

对于固定的 $(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})$ 和 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，$\zeta_\ell$ 的最小二乘解为
\begin{equation}
  \hat\zeta_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \frac{
    \mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell
  }{
    \|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2
  }.
\end{equation}
代回后，第 $\ell$ 颗卫星的集中残差为
\begin{equation}
  \mathcal E_{\tau,\ell}(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2
  -
  \frac{
    \left|
      \mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell
    \right|^2
  }{
    \|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2
  }.
\end{equation}
若进一步对噪声方差进行轮廓化，则在星间异方差假设下，DoA--Doppler--delay 扩展模型的集中估计问题为
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\tau}
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  M_\ell T
  \log \mathcal E_{\tau,\ell}(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}).
\end{equation}
若各星噪声方差已知，则也可采用加权集中似然形式
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\tau}
  =
  \arg\max_{\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
  \frac{
    \left|
      \mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell
    \right|^2
  }{
    \|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2
  }.
\end{equation}

该扩展模型与静态 DoA--Doppler 模型的区别在于：$\boldsymbol\eta_{\tau}$ 在 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的基础上显式加入 $\tau_{\mathrm{ref}}$，并通过 $f_{\tau,\ell}(\boldsymbol\xi,\tau_{\mathrm{ref}})$ 将各星时延耦合在同一个参考星参数化框架中。因此，delay 扩展不会改变多星 DoA--Doppler 主线的符号体系，只是在同一层级上增加一类可观测链路参数。

因此，阅读顺序上应先理解静态 DoA--Doppler 和动态连续相位主线，再把本节视为在同一参考星参数化框架下增加时延观测的一种横向扩展。若后续继续推导该模型的 CRB，也应沿用 $\boldsymbol\eta_{\tau}$ 与干扰参数分组，而不要重新引入一套独立的几何符号。