josh
30daad5c4f
集中似然只经 G_ℓ 列空间投影进入目标，故 (G_ℓ^H ỹ_ℓ, ‖ỹ_ℓ‖²)
为该星似然贡献的充分统计量；空时导向趋正交时逐用户解耦，
per-user 匹配输出 ĥ_{ℓ,k} 成为该星主参数充分统计量，作
分布式"只回传逐用户复响应"的信息论依据。写明两点限定：
充分性条件于时间模板已知（依赖 Doppler）；ĥ 不含匹配峰
位置，跨星测距/测速所需时延差与 Doppler 差须另留峰位标量。
符号索引 A 登记 ĥ_{ℓ,k}。
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\section{多用户扩展}
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\label{sec:multiSatMultiUser}
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第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星看到的来向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节沿\emph{参数空间}维度推进一步：把用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，其余维度（单帧静态、各星完全相干、已知导频）保持最简。
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数学上这只是把每个用户的参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 独立堆叠；但物理上引入了第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节不存在的新问题——\emph{用户分离的可辨识性}。当两个用户的 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 在所有 $L$ 条链路上同时接近时，集中似然曲面会出现伪极值，这一退化结构也是后续数据驱动 nuisance 补偿方法的自然接入位置。本节用几何直觉指出这一现象，不展开严格证明；详细 \gls{crb} 与多用户 \gls{fim} 分块推导见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
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\subsection{多用户信号模型}
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\label{subsec:multiUserSignalModel}
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设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出
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%
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\begin{equation}
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\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
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||
\triangleq
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||
\nu_{\mathrm{ref},k}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi_k),
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\qquad
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||
\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi_k)\equiv 0.
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||
\end{equation}
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%
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注意 $\Delta\nu_\ell(\cdot)$ 由卫星几何决定，不依赖用户索引 $k$；$k$ 只通过 $\boldsymbol\xi_k$ 与 $\nu_{\mathrm{ref},k}$ 进入。
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每个用户对每颗卫星都有一个未知复干扰系数 $\zeta_{\ell,k}\in\mathbb C$。第 $\ell$ 颗卫星在采样点 $t$ 的接收向量为各用户贡献的叠加：
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\begin{equation}
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\mathbf y_\ell(t)
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||
=
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||
\sum_{k=1}^{K}
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||
\zeta_{\ell,k}
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
|
||
s_k(t)
|
||
e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})t}
|
||
+
|
||
\mathbf n_\ell(t),
|
||
\qquad
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||
\mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}).
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||
\end{equation}
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%
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其中 $s_k(t)$ 为第 $k$ 个用户的已知导频，可逐用户彼此不同；噪声仍假设星间异方差、星内同方差。
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定义第 $(\ell,k)$ 对的时间模板与空时导向向量
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\begin{equation}
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||
\mathbf q_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
s_k(0)e^{j\nu_{\ell,k}\cdot 0},
|
||
\cdots,
|
||
s_k(T-1)e^{j\nu_{\ell,k}(T-1)}
|
||
\end{bmatrix}^\Tran
|
||
\in\mathbb C^{T\times 1},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf g_{\ell,k}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
|
||
\end{equation}
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||
%
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||
将第 $\ell$ 颗卫星观测按列向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell=\vect(\mathbf Y_\ell)$，则
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%
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\begin{equation}
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||
\label{eq:sec4_vec_model}
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||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
=
|
||
\sum_{k=1}^{K}
|
||
\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}
|
||
+
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell
|
||
=
|
||
\mathbf G_\ell\boldsymbol\zeta_\ell
|
||
+
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中
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||
%
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\begin{equation}
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||
\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
\triangleq
|
||
\big[
|
||
\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}
|
||
\big]
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times K},
|
||
\qquad
|
||
\boldsymbol\zeta_\ell
|
||
\triangleq
|
||
\big[\zeta_{\ell,1},\ldots,\zeta_{\ell,K}\big]^\Tran,
|
||
\end{equation}
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||
%
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||
$\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq[\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran$。
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\subsection{多用户主参数与干扰参数}
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||
主参数堆叠为
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%
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\begin{equation}
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||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
|
||
\triangleq
|
||
\big[
|
||
\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
|
||
\ldots,
|
||
\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
|
||
\big]^\Tran
|
||
\in\mathbb R^{3K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
干扰参数为各星各用户的复增益与噪声方差
|
||
%
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\begin{equation}
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||
\boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\Big[
|
||
\{\zeta_{\ell,k}\}_{\ell,k},
|
||
\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\Big]^\Tran.
|
||
\end{equation}
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||
%
|
||
当 $K=1$ 时 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 退化为静态主参数 $\boldsymbol\eta$（式~\eqref{eq:eta_main}），对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节。
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\subsection{联合似然与集中似然}
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各星条件独立，圆对称复高斯，多用户联合负对数似然为
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%
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\begin{equation}
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||
\mathcal L_{\mathrm{mu}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}})
|
||
=
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\left[
|
||
M_\ell T\log\sigma_\ell
|
||
+
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\left\|
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
-
|
||
\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
|
||
\right\|_2^2
|
||
\right].
|
||
\end{equation}
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||
%
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||
在 $\mathbf G_\ell$ 列满秩的假设下（要求 $K\le M_\ell T$ 且各列方向充分分离），对 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 的闭式消元给出
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%
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\begin{equation}
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||
\widehat{\boldsymbol\zeta}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
=
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||
\big(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell\big)^{-1}
|
||
\mathbf G_\ell^\Herm
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell.
|
||
\end{equation}
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||
%
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||
代回并再对 $\sigma_\ell$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则
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%
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\begin{equation}
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||
\label{eq:sec4_concentrated}
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||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\argmin_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
M_\ell T
|
||
\log
|
||
\left[
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
\right],
|
||
\end{equation}
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||
%
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||
其中 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\triangleq\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm$，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}=\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$。详细矩阵代入见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
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||
若噪声方差已知，可退化为加权空时匹配形式
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%
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\begin{equation}
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||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\argmax_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell.
|
||
\end{equation}
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||
%
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||
与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的单用户加权融合相比，差别在于每颗卫星的匹配子空间从一维 $\mathbf g_\ell$ 升级为 $K$ 维 $\mathbf G_\ell$ 列空间；多用户的耦合\emph{在每颗卫星内部}通过 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的非对角元体现。
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\subsection{逐星充分统计量与匹配滤波压缩}
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\label{subsec:perSatSufficientStat}
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集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 还隐含一个对分布式处理至关重要的结构：第 $\ell$ 颗卫星的原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell\in\mathbb C^{M_\ell T}$ 只通过它在 $\mathbf G_\ell$ 列空间上的投影进入目标函数，即只通过匹配输出 $\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell$ 与总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$ 进入。给定字典 $\mathbf G_\ell$（由主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 决定），二元组 $(\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell,\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2)$ 即该星似然贡献的充分统计量：高维采样可压缩到这一低维匹配统计量而不损失关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的信息。
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||
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||
当各用户空时导向向量趋于正交时，这一压缩可进一步\emph{逐用户}解耦。沿第 $k$ 个用户的时间模板 $\mathbf q_{\ell,k}$ 压缩时间维、保留空间维，得第 $(\ell,k)$ 对的空间匹配输出
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||
%
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\begin{equation}
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\label{eq:sec4_matched_channel}
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||
\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}
|
||
\triangleq
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||
\frac{\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell},
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||
\end{equation}
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||
%
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||
即上行等效信道向量 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的匹配滤波估计，其均值为 $\mathbf h_{\ell,k}$。利用 $\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell=\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*=\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\,\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$，当 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 趋于对角时，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的每星投影项分解为各用户的独立贡献之和
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||
%
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\begin{equation}
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\label{eq:sec4_decoupled}
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||
\tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
\;\longrightarrow\;
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||
\sum_{k=1}^{K}
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||
\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\,
|
||
\frac{\big|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\big|^2}
|
||
{\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|_2^2},
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||
\end{equation}
|
||
%
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||
即每个用户的贡献退化为对其空间匹配输出 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的本地 \gls{doa} 匹配。集合 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}_{k=1}^{K}$ 于是成为第 $\ell$ 颗卫星对各用户主参数的充分统计量：各星无须回传原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell$，只回传 $M_\ell$ 维的逐用户复信道响应 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$，即足以在融合端重建本星贡献的角度信息。这是``逐星本地处理、只回传逐用户复响应''这一分布式接口的信息论依据。
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||
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||
这一压缩有两点限定，决定了它在后续跨星融合中的可用边界：
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\begin{enumerate}
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||
\item \emph{充分性条件于时间模板已知}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖链路 Doppler $\nu_{\ell,k}$，故形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 前须先给定或本地估计 Doppler；真正无条件充分的是匹配输出在 Doppler（后续含时延）假设网格上的整张曲面，将其塌缩为单个 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 仅在观测块内 Doppler 近常数时近似无损。
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\item \emph{$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 不含匹配峰的位置}。它编码本星本地 \gls{doa}（$\mathbf a_\ell$ 的方向）与复增益（幅度与相位），但匹配峰在 Doppler（及后续时延）网格上的\emph{位置}是形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 时所匹配的模板取值，须作为独立标量另行保留。故仅由 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 可重建各星本地 \gls{doa} 与相位，而跨星测距、测速所需的时延差与 Doppler 差还需保留这些峰位标量。这一区分在第~\ref{sec:userPositioning}--\ref{sec:timestampError} 节引入传播时延后，成为跨星差分能否干净取出到达时间差的关键。
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||
\end{enumerate}
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\subsection{用户分离的可辨识性}
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\label{subsec:userSeparability}
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\eqref{eq:sec4_concentrated} 的目标函数依赖于矩阵 $\mathbf G_\ell$ 是否列满秩。考虑两个用户 $(k,k')$，其空时导向向量在第 $\ell$ 颗卫星上的内积
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%
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\begin{equation}
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\rho_{\ell,kk'}
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\triangleq
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||
\frac{\big|\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\mathbf g_{\ell,k'}\big|}
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{\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2}
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\end{equation}
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%
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描述了二者在该卫星空时维度上的相干度。$\rho_{\ell,kk'}$ 由三个因素共同决定：
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\begin{enumerate}
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\item 局部导向矢量相干 $\dfrac{|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})|}{\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\|}$，反映两个用户在该星本地角度域的分离；
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||
\item 时间模板相干 $\dfrac{|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|}$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定；
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||
\item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。
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\end{enumerate}
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当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向趋于奇异，集中似然曲面在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立、对应 \gls{crb} 发散），用户分离的可辨识性丧失。
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多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内距离小于一个 beamwidth），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。
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严格可辨识性可写成对所有用户对 $(k,k')$ 的多星联合分离条件，其与 \gls{efim} 非奇异性的等价关系由\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 中多用户 \gls{fim} 分块给出。本节只用上述几何直觉刻画用户分离失效的结构来源，为后续数据驱动 nuisance 补偿方法留出接口；具体方法、输入输出与训练设置不在本笔记范围内。
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本节完成了多用户主线静态基线：用户索引 $k$ 进入 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$、$\zeta_{\ell,k}$、$s_k(t)$，集中似然仍可写为对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影的加权和，但矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的良态性约束了用户分离的可辨识性。
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下一节将沿\emph{观测窗口}维度推进，把单帧推广为多帧观测窗口，引入跨帧绝对相位连续性。
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