josh
5d9a652b77
按 agent_instruction.md 阶段 4 的命名约定： - detDoaEst → sec1_singleArrayDoa - detDoaDopplerEst → sec2_singleArrayDoaDoppler - multiArrayStatDetDoaDopplerEst → sec3_multiSatSingleUser - multiArrayDynDetDoaDopplerEst → sec6_multiFrameCp 不进入主线的内容归档到 archive/： - stoDoaEst（空文件）、stoDoaDopplerEst（仅注释） - multiArrayStoDoaEst（随机信号模型不进入主线） - multiArrayDetDoaDopplerDelayEst（与新论文方向不符） - 98-future work、99-literature（前言已并入"后续方向"段） 主文件 \input 顺序对齐新命名，并为 sec4/sec5/sec7 留出注释占位。 abstract 同步更新以反映学习笔记定位与新章节结构。 本提交仅做结构搬迁，内容改写见后续 content commit。
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\section{确定信号 DoA 估计\texorpdfstring{~\cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989}}{}}
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\label{sec:det_doa_est}
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本节是单阵列基线层的第一个似然推导：在第~\ref{subsec:single_arr_doa_est} 小节的观测模型基础上，将源信号在每个快拍处的取值视为确定性未知量，从而得到条件/确定最大似然问题。该推导的重点不在多星几何，而在建立投影矩阵、集中似然和干扰参数消元的基本模板；对应的 \gls{crb} 推导放在 \ref{sec:det_doa_crb} 中。
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\subsection{似然函数求取}
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本节沿用式~\eqref{eq:single_arr_doa_model} 的单阵列 DoA 观测模型，并采用全文统一的快拍索引 $t=0,1,\ldots,T-1$。为简化本节公式，记
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\begin{equation}
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\sigma \triangleq \sigma_n^2.
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\end{equation}
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由于噪声 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$，且 $\mathbf x_t$ 为确定性未知信号快拍，有
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\begin{equation}
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\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}\big(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M\big).
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\end{equation}
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因此，根据式~\eqref{eq:independent_complex_gaussian_pdf}，所有快拍的似然函数为
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\begin{equation}
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L(\sigma,\{\mathbf x_t\}_{t=0}^{T-1},\bm\Theta\mid \{\mathbf y_t\}_{t=0}^{T-1})
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=
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(\pi\sigma)^{-MT}
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\exp\left[
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-\frac{1}{\sigma}
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\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2
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\right].
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\end{equation}
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对应的对数似然函数为
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\begin{equation}
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\label{eq:det_ml_log_likelihood}
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\ln \mathcal L
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=
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\mathrm{Const}
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-MT\ln\sigma
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-\frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2.
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\end{equation}
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其中待估计参数包括噪声方差 $\sigma$，确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=0}^{T-1}$ 的实部和虚部，以及多源来向集合 $\bm\Theta$。
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\subsection{确定/条件最大似然估计}
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\subsubsection{原始问题建模}
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\Gls{dml}/\gls{cml} 优化问题可以表述为
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\begin{alignat}{2}
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\label{eq:det_ml_doa_opt}
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&\minimize_{\bm\Theta,\{\mathbf x_t\},\sigma} \quad &&
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MT\ln\sigma
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+
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\frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2
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\nonumber\\
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&\text{subject to} && \bm\Theta\in\varTheta,
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\end{alignat}
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其中 $\varTheta$ 为 $\bm\Theta$ 的可行域。
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\subsubsection{集中似然表达}
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我们关心的是信号的来向 $\bm\Theta$，因此将对数似然函数中的其他参量，包括噪声方差 $\sigma$ 与信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=0}^{T-1}$，均用 $\bm\Theta$ 和观测 $\{\mathbf y_t\}_{t=0}^{T-1}$ 表示。
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对固定的 $\bm\Theta$，令 $\partial\ln\mathcal L/\partial\mathbf x_t=0$，可得
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\begin{equation}
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\widehat{\mathbf x}_t(\bm\Theta)
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=
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\left[\mathbf A^\Herm\mathbf A\right]^{-1}\mathbf A^\Herm\mathbf y_t.
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\end{equation}
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令 $\partial\ln\mathcal L/\partial\sigma=0$，并代入 $\widehat{\mathbf x}_t$，可得
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\begin{align}
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\widehat\sigma(\bm\Theta)
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&=
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\frac{1}{MT}\sum_{t=0}^{T-1}
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\left\|\mathbf y_t-\mathbf A\widehat{\mathbf x}_t\right\|_2^2 \nonumber\\
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|
&=
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\frac{1}{MT}\sum_{t=0}^{T-1}
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|
\mathbf y_t^\Herm
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\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A}\right)
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\mathbf y_t,
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\end{align}
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其中
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\begin{equation}
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\mathcal P_{\mathbf A}
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\triangleq
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\mathbf A(\mathbf A^\Herm\mathbf A)^{-1}\mathbf A^\Herm
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\end{equation}
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为导向矩阵列空间的投影算子。进一步定义样本协方差矩阵
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\begin{equation}
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\widehat{\mathbf R}
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\triangleq
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\frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf y_t\mathbf y_t^\Herm,
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\end{equation}
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则
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\begin{equation}
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\widehat\sigma(\bm\Theta)
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=
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\frac{1}{M}\tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A}\right)\widehat{\mathbf R}\right].
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\end{equation}
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代入式~\eqref{eq:det_ml_log_likelihood} 并忽略与 $\bm\Theta$ 无关的项后，$\bm\Theta$ 的 \gls{cdml} 可写为
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\begin{equation}
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\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}}
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=
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\argmin_{\bm\Theta}
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\tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A(\bm\Theta)}\right)\widehat{\mathbf R}\right].
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\end{equation}
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也即 $\bm\Theta$ 的 \gls{cdml} 可以通过最小化
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\begin{equation}
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\mathcal J(\bm\Theta)
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\triangleq
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\tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A(\bm\Theta)}\right)\widehat{\mathbf R}\right]
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\end{equation}
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得到。
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本节得到的形式说明：当信号快拍被视为确定性干扰参数时，DoA 信息通过阵列导向子空间的投影残差体现。下一节的随机信号模型将改变信源统计假设，但仍沿用同一个单阵列几何入口。
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