doa_doppler_est/parts/sec1_singleArrayDoa.tex

\section{多快拍确定信号 DoA 估计\texorpdfstring{~\cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989}}{}}
\label{sec:det_doa_est}

本节是整份笔记的实质起点。
起点直接取多快拍：单快拍下 \gls{mle} 退化平凡，承载不了后续要复用的投影、集中似然与干扰参数消元等基本工具，多快拍是这些工具的最小载体。设 $K$ 个信源从远场入射到 $M$ 元阵列，在 $T$ 个快拍内连续观测，目标是估计来向 $\bm\Theta$。
本节先建立信号模型与对数似然函数，再以集中似然消去信号快拍与噪声方差后得到的 \gls{cdml} 准则收尾；详细矩阵代入与 \gls{crb} 推导见\appref{sec:det_doa_crb}。

\subsection{信号模型}
\label{subsec:single_arr_doa_est}

假设 $K$ 个信源的来向参数收集为
%
\begin{equation}
  \bm{\Theta}
  \triangleq
  \left[\bm{\theta}_1,\ldots,\bm{\theta}_K\right],
\end{equation}
%
$M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为
%
\begin{equation}
  \label{eq:single_arr_doa_model}
  \mathbf y_t
  =
  \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf x_t + \mathbf n_t,
  \qquad t=0,1,\ldots,T-1,
\end{equation}
%
其中：
\begin{itemize}
  \item 观测向量 $\mathbf y_t \in \mathbb C^{M\times 1}$；
  \item 导向矩阵
  $
    \mathbf A(\bm{\Theta})
    \triangleq
    \left[\mathbf a(\bm{\theta}_1),\ldots,\mathbf a(\bm{\theta}_K)\right]
    \in \mathbb C^{M\times K}
  $，其中 $\mathbf a(\bm{\theta}_k)$ 为第 $k$ 个信源对应的导向矢量；
  \item 信源快拍 $\mathbf x_t=[x_1(t),\ldots,x_K(t)]^\Tran\in\mathbb C^{K\times 1}$，作为确定性未知量；
  \item 噪声向量 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$，$\sigma$ 为噪声方差。
\end{itemize}

将所有快拍按列堆叠得到矩阵形式
%
\begin{equation}
  \mathbf Y = \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf X + \mathbf N,
\end{equation}
%
其中 $\mathbf Y\in\mathbb C^{M\times T}$、$\mathbf X\in\mathbb C^{K\times T}$、$\mathbf N\in\mathbb C^{M\times T}$ 为相应的堆叠矩阵。
本节待估主参数为
%
\begin{equation*}
  \boldsymbol\eta
  \triangleq
  \vect(\bm\Theta)
  =
  \left[\bm\theta_1^\Tran,\ldots,\bm\theta_K^\Tran\right]^\Tran,
\end{equation*}
%
干扰参数为信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma$。

\subsection{阵列模型：ULA 与 UPA}
\label{subsec:single_arr_array_model}

为完整闭合 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 的形式，下面给出两种最常用阵列的导向矢量。

\subsubsection{ULA}
\label{subsubsec:single_arr_ula_model}

对于 \gls{ula}，阵元间距为 $d$，工作波长为 $\lambda_{\mathrm{c}}$，第 $k$ 个信源的到达角为标量 $\theta_k$。导向矢量为
%
\begin{equation}
  \mathbf a_{\mathrm{ULA}}(\theta_k)
  =
  \begin{bmatrix}
    1,
    e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}d\sin\theta_k},
    \ldots,
    e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M-1)d\sin\theta_k}
  \end{bmatrix}^\Tran
  \in\mathbb C^{M\times 1}.
\end{equation}

\subsubsection{UPA}
\label{subsubsec:single_arr_upa_model}

对于 \gls{upa}，阵列位于 $xOy$ 平面内，沿 $x$ 轴和 $y$ 轴分别等间距排布，阵元数为 $M_x$ 与 $M_y$，间距为 $d_x$ 与 $d_y$，总阵元数 $M=M_xM_y$。统一采用与全局方向一致的二维角度
%
\begin{equation}
  \bm\theta_k
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \alpha_k\\
    \beta_k
  \end{bmatrix},
  \qquad
  u_{x,k}\triangleq\cos\beta_k\cos\alpha_k,
  \qquad
  u_{y,k}\triangleq\cos\beta_k\sin\alpha_k,
\end{equation}
%
则两个方向的一维导向矢量分别为
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \mathbf a_x(\bm\theta_k)
    &=
    \begin{bmatrix}
      1,
      e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}d_xu_{x,k}},
      \ldots,
      e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M_x-1)d_xu_{x,k}}
    \end{bmatrix}^\Tran,\\
    \mathbf a_y(\bm\theta_k)
    &=
    \begin{bmatrix}
      1,
      e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}d_yu_{y,k}},
      \ldots,
      e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M_y-1)d_yu_{y,k}}
    \end{bmatrix}^\Tran.
  \end{align}
\end{subequations}
\gls{upa} 总导向矢量为 $\mathbf a_{\mathrm{UPA}}(\bm\theta_k)=\mathbf a_y(\bm\theta_k)\otimes\mathbf a_x(\bm\theta_k)\in\mathbb C^{M\times 1}$。

\subsection{对数似然与确定最大似然准则}

由 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$ 及 $\mathbf x_t$ 的确定性假设，有 $\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M)$。各快拍独立，对数似然为
%
\begin{equation}
  \label{eq:det_ml_log_likelihood}
  \ln \mathcal L(\sigma,\{\mathbf x_t\},\bm\Theta)
  =
  \mathrm{Const}
  -MT\ln\sigma
  -\frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2.
\end{equation}
%
对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为
\begin{alignat}{2}
  \label{eq:det_ml_doa_opt}
  &\minimize_{\bm\Theta,\{\mathbf x_t\},\sigma} \quad &&
  MT\ln\sigma
  +
  \frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2.
\end{alignat}

\subsection{集中似然与投影残差准则}

这里关心的是 $\bm\Theta$，因此把信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma$ 视为干扰参数集中消去。对固定的 $\bm\Theta$，逐一最小化得到的闭式解为
%
\begin{equation}
  \widehat{\mathbf x}_t(\bm\Theta)
  =
  \left(\mathbf A^\Herm\mathbf A\right)^{-1}\mathbf A^\Herm\mathbf y_t,
  \qquad
  \widehat\sigma(\bm\Theta)
  =
  \frac{1}{M}\tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A}\right)\widehat{\mathbf R}\right],
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf A}
  \triangleq
  \mathbf A(\mathbf A^\Herm\mathbf A)^{-1}\mathbf A^\Herm,
  \qquad
  \widehat{\mathbf R}
  \triangleq
  \frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf y_t\mathbf y_t^\Herm.
\end{equation}
%
$\mathcal P_{\mathbf A}$ 是导向矩阵列空间的正交投影算子，用于消去信号快拍干扰参数；$\widehat{\mathbf R}$ 为样本协方差矩阵。代回式~\eqref{eq:det_ml_log_likelihood} 并忽略与 $\bm\Theta$ 无关的项后，$\bm\Theta$ 的 \gls{cdml} 化为
%
\begin{equation}
  \widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}}
  =
  \argmin_{\bm\Theta}
  \tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A(\bm\Theta)}\right)\widehat{\mathbf R}\right].
\end{equation}
%
也即把 $\bm\Theta$ 的来向估计等价为最小化投影残差能量。集中似然的逐步矩阵代入与对应的 \gls{crb}/\gls{fim} 推导见\appref{sec:det_doa_crb}。

本节得到的结构性结论是：当信源快拍被视为确定性干扰参数时，\gls{doa} 信息体现为阵列导向子空间的投影残差能量；上述投影模板与集中似然将在后续每一节中复用。

\subsection{随机信号模型的对比与取舍}
\label{subsec:sml_contrast}

经典文献中另一条主线是随机信号模型，即把 $\mathbf x_t$ 视为零均值复高斯过程 $\mathbf x_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_x)$。此时观测协方差为 $\mathbf R(\bm\Theta)=\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf R_x\mathbf A^\Herm(\bm\Theta)+\sigma\mathbf I_M$，\gls{sml} 似然只通过 $\mathbf R(\bm\Theta)$ 依赖参数，从而只能识别信号子空间而非信号波形。
一旦引入 Doppler，时间相位项 $e^{j\nu_k t}$ 会被随机信号波形的统计平均吸收，\gls{doa} 与 Doppler 不可分离；这是本笔记后续主线选择确定信号假设（已知训练序列/导频）的根本原因。
随机信号 \gls{doa} 估计与其 \gls{crb} 仅作为对照保留在\appref{sec:sto_doa_crb} 中供查阅，不再进入第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节及之后的主线。