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\section{从全局方向到用户三维位置估计\texorpdfstring{~\cite{liFastAccurateLEO2022}}{}}
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\label{sec:userPositioning}
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前五节的主估计目标始终是全局方向 $\boldsymbol\xi$（外加参考星 Doppler）。但 $\boldsymbol\xi$ 只有两个自由度，描述的是``用户在哪个方向''，而多星协作定位真正要回答的是``用户在哪个点''——三维位置 $\mathbf p$。
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本节以有限距离下的用户位置 $\mathbf p$ 为几何参数，先建立逐星视线与差分 Doppler 映射，再引入传播时延。基线采用单观测块、单用户和已知导频，各星采样时间基对齐，复增益独立未知；多用户推广在节末给出，时间戳误差与多帧扩展分别见第~\ref{sec:timestampError}、\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节。
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关键观察是：第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型，正是位置模型在\emph{远场极限}下的退化——各星共享同一方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；一旦用户与星座的距离有限，各星看到的视线方向不再相同，这一\emph{视差}差异连同差分 Doppler 与差分时延，正是把方向（2 维）补足为位置（3 维）的信息来源。这类``以位置为主参数、由原始观测直接估计''的方法即直接定位（Direct Position Determination，DPD）\cite{liFastAccurateLEO2022,haoInterferenceGeolocationSatellite2021}。
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详细位置 \gls{crb} 推导见\appref{sec:userPositionCrb}。
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\subsection{位置参数化与逐星视线映射}
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\label{subsec:positionLosMap}
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设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（\gls{eci} 坐标系）。本节主模型限定为在地固坐标系中静止的用户；将该状态写入 \gls{eci} 后，其参考时刻的瞬时速度为 $\mathbf v_u(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p=\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\times\mathbf p$。单观测块内冻结的是参考时刻的几何状态与该局部速度，而不是将 \gls{eci} 用户速度置零；模型不另行估计用户速度、加速度或移动用户状态。
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第 $\ell$ 颗卫星（参考时刻位置 $\mathbf s_\ell$，沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节）到用户的视线向量与单位视线方向为
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\begin{equation}
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\mathbf r_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf p-\mathbf s_\ell,
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\qquad
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\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\frac{\mathbf r_\ell(\mathbf p)}{\|\mathbf r_\ell(\mathbf p)\|_2}\in\mathbb R^3.
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\end{equation}
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位置 $\mathbf p$ 经各星视线诱导出不同的方向，视差由各星位置 $\mathbf s_\ell$ 决定。这里 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 指向卫星到用户，与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}~小节中源到接收端的传播方向相反。为沿用相同的阵列导向模板，本地角统一按传播方向计算：先将 $-\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 旋转到阵列坐标系，再求本地方位角与俯仰角，即
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\begin{equation}
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\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p),
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\qquad
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\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}=\operatorname{atan2}\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1}\big),
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\qquad
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\beta_\ell^{\mathrm{loc}}=\arcsin\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big),
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\end{equation}
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并据此代入与第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节完全相同的 \gls{ula}/\gls{upa} 阵列导向模板，得到本地导向矢量
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\begin{equation}
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\mathbf a_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf a_\ell\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\beta_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)\big)\in\mathbb C^{M_\ell\times1}.
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\end{equation}
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也即\emph{每阵列内部仍是平面波模型，阵列导向 $\mathbf a_\ell$ 的形式一字不改}；变的只是``本地角由 $\mathbf p$ 而非 $\boldsymbol\xi$ 诱导''。
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\begin{mdquote}
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\textbf{远场方向极限。} 当各星视线趋于共同方向 $\mathbf u_0$ 时，阵列所用的公共传播方向为 $-\mathbf u_0$。公共用户速度投影在差分 Doppler 中抵消，角度与差分 Doppler 部分与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节一致。完整位置模型还包含传播时延；对齐导频并不利用时延信息后，才得到该节的公共方向观测模型。有限距离下，逐星视线的差异提供视差信息。
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\end{mdquote}
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\subsection{链路 Doppler 的位置诱导}
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沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，各链路归一化 Doppler 仍写为
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\begin{equation}
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\nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p),
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\qquad \Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0.
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\end{equation}
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与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节由方向 $\boldsymbol\xi$ 诱导不同，几何差分现在由\emph{用户位置}与已知星历诱导。先用物理 Hz 表示卫星相对于用户的径向速度差分，定义第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的 FDOA 为
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\begin{equation}
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\label{eq:sec7_df_pos}
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\Delta f_\ell(\mathbf p)
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=\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}
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\left[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)
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-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)\right],
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\qquad \Delta f_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0,
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\end{equation}
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其中 $\Delta f_\ell$ 的单位为 Hz。正文统一使用 rad/sample 的归一化 Doppler，故
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\begin{equation}
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\label{eq:sec7_dnu_pos}
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\Delta\nu_\ell(\mathbf p)
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=2\pi T_{\mathrm s}\Delta f_\ell(\mathbf p)
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=\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
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\left[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)
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-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)\right],
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\end{equation}
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这里采用卫星指向用户的视线与正号 Doppler 投影；换用相反的传播方向时，投影前取负号，与第~\ref{subsec:refSatParameterization}~小节一致。方向定义、阵列相位和 Doppler 符号须配套使用。$\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 与 $\mathbf v_u(\mathbf p)$ 均由参考时刻位置决定，故 $\Delta\nu_\ell$ 同时包含方向和距离信息。参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为自由标量，吸收参考链路的绝对 Doppler 与公共载频偏差；用户速度的跨链路差分投影保留在 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 中。
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\subsection{传播时延的位置诱导与到达时间差}
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\label{subsec:delayPositionInduced}
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前两小节中，位置 $\mathbf p$ 只通过\emph{角度}（逐星视线 $\mathbf a_\ell(\mathbf p)$）与\emph{差分 Doppler} $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 进入观测，导频包络本身默认对齐到采样栅格、不携带距离。本小节沿同一几何反演思路再补一条通道：用户在\emph{未知时刻}发射上行导频，信号经各链路传播后落到各星采样栅格上，逐星传播时延之差携带距离。
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第 $\ell$ 条链路的单向传播时延（以采样点数计）由用户与卫星的距离决定
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\begin{equation}
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\tau_\ell^{\mathrm{prop}}(\mathbf p)
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=\frac{\|\mathbf p-\mathbf s_\ell\|_2}{c\,T_{\mathrm s}},
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\end{equation}
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其中 $c$ 为光速。沿用参考星参数化，把参考链路上的\emph{总时延}——用户发射时刻与参考链路传播时延之和——记为自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}}$，其余链路的总时延通过几何映射写为
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\begin{equation}
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\label{eq:sec7_tau_pos}
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\tau_\ell(\mathbf p,\tau_{\mathrm{ref}})
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=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p),
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\qquad
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\Delta\tau_\ell(\mathbf p)
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=\frac{\|\mathbf p-\mathbf s_\ell\|_2-\|\mathbf p-\mathbf s_{\ell_{\mathrm{ref}}}\|_2}{c\,T_{\mathrm s}},
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\qquad
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\Delta\tau_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0.
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\end{equation}
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这与参考链路 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 吸收绝对 range-rate 与用户钟偏的方式完全平行：用户发射时刻不可观测，但它对所有卫星\emph{公共}，被 $\tau_{\mathrm{ref}}$ 吸收后，剩余的差分时延 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 即\gls{tdoa}，只由几何决定、与发射时刻无关。$\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 经 $\|\mathbf p-\mathbf s_\ell\|_2$ 依赖完整距离，是补足位置距离维的第三类信息：与视差、差分 Doppler 间接的角度/频率依赖不同，它\emph{直接}测量到各星的距离差。
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\subsection{信号模型、主参数与集中似然}
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第 $\ell$ 颗卫星接收向量在第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节基础上把全局方向 $\boldsymbol\xi$ 替换为位置 $\mathbf p$，并在导频包络引入位置诱导时延 $\tau_\ell(\mathbf p,\tau_{\mathrm{ref}})$：
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\begin{equation}
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\mathbf y_\ell(t)=\zeta_\ell\,\mathbf a_\ell(\mathbf p)\,s\big(t-\tau_\ell(\mathbf p,\tau_{\mathrm{ref}})\big)\,e^{j\nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})t}+\mathbf n_\ell(t),
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\qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}).
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\end{equation}
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其中 $\tau_\ell$ 不要求为整数采样，按带限插值理解；时延引入的载波相位常数 $e^{-j\nu_\ell\tau_\ell}$ 与各星独立复增益不可分、已吸入 $\zeta_\ell$，故跨星增益取自导频\emph{群时延}而非载波相位（亚波长载波相干是另一档增益，本节不展开）。时间模板 $\mathbf q_\ell(\mathbf p,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})$ 与空时模板 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$ 按相同方式定义，但现在同时依赖角度、时延与 Doppler。主参数为
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\begin{equation}
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\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}
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=\begin{bmatrix}\mathbf p\\\tau_{\mathrm{ref}}\\\nu_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}\in\mathbb R^5,
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\end{equation}
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其中 $\tau_{\mathrm{ref}}$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为分别吸收绝对发射时刻与绝对 Doppler 的两个自由标量，位置信息只经几何差分 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$、$\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与逐星视线进入。干扰参数仍为各星复增益与噪声方差 $\{\zeta_\ell,\sigma_\ell\}$。由于似然以及对 $\zeta_\ell$、$\sigma_\ell$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节逐字平行（只是 $\mathbf g_\ell$ 现在依赖 $\mathbf p$、$\tau_{\mathrm{ref}}$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$），集中似然准则直接写为
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{pos}}
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=\argmin_{\mathbf p,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}}
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\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell T\log\mathcal E_{\tau,\ell}(\mathbf p,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}),
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\qquad
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\mathcal E_{\tau,\ell}\triangleq\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2-\frac{\big|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\big|^2}{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
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\end{equation}
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形式与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的集中似然完全一致，仍是``在统一的 $(\mathbf p,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各星空时匹配输出按几何与噪声水平加权融合''，只是匹配模板 $\mathbf g_\ell$ 现由位置经角度、时延、Doppler 三条通道参数化。
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\subsection{可辨识性与几何精度}
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\label{subsec:positionIdentifiability}
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位置三维可辨识性来自三条互补信息：（i）跨星 \gls{aoa} 视差——位置沿某颗星视线方向的平移不改变该星本地角，却改变其他星的本地角；（ii）差分 Doppler $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 对距离的依赖；（iii）差分时延（\gls{tdoa}）$\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 对距离的直接约束（最直接地补强通常最弱的距离维）。三者都要求 $L\ge2$ 且几何充分：单星时各采样仅约束单一方向、距离不可辨识，正好落回第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的纯方向情形。
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量化上，沿用消去干扰参数后的 \gls{efim} 投影--Gram 结构（见\appref{sec:userPositionCrb}），$\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}$ 的 \gls{efim} 的最弱本征方向通常对应\emph{距离}维，其条件数（几何精度因子，GDOP）由星座基线/视差角与各链路信噪比共同决定。两星或少数多星时，横向位置因视差好而精度高、距离维因视差角小而恶化，是该模型最典型的几何各向异性\cite{weiIntegratedDopplerPositioning2024,xvJointBeamScheduling2024}。这与第~\ref{subsec:multiSatGainFdIdentifiability} 小节用同一套投影--Gram/条件数语言刻画的多星 Doppler 增益是同源的。
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\subsection{DoA-融合基线}
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\label{subsec:doaFusionBaseline}
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本节集中似然把 $L$ 颗星的\emph{原始采样}联合进同一准则，需将各星采样级数据回传融合中心。降低回传与中心化处理量的对照基线是：每颗星\emph{仅用本星数据}估计本地来向 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$（本星复增益、链路 Doppler、噪声均作本地干扰参数），融合中心只接收 $L$ 个本地 \gls{doa} 估计及其协方差，再按逐星视线几何相交得到位置 $\mathbf p$。
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由于每条链路复增益未知（作干扰参数），各星本地 \gls{doa} 是其对位置\emph{角度}贡献的近充分统计量，故``只回传 \gls{doa}''相对``回传原始采样''的损失来自被舍弃的差分时延（\gls{tdoa}）、差分 Doppler 与跨星联合约束；单观测块内 Doppler 近常数时差分 Doppler 一项损失通常很小，但差分时延携带的距离约束被一并舍弃，该基线因而保住角度精度、在距离维退回纯视差几何。位置 \gls{crb} 写为各星本地 \gls{doa} 协方差经视线--位置 Jacobian 传播的相交形式
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\begin{equation}
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\label{eq:sec7_doafusion}
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\operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)
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=\left(\sum_{\ell=0}^{L-1}\mathbf H_\ell^\Tran\,\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}^{-1}\,\mathbf H_\ell\right)^{-1},
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\qquad
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\mathbf H_\ell=\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}\in\mathbb R^{2\times3},
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\end{equation}
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其中 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 为第 $\ell$ 颗星本地 \gls{doa} 的单阵列 \gls{crb}。该基线放弃跨星数据级融合，故 $\operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)\succeq\operatorname{CRB}(\mathbf p)$（集中式为更紧下界）；它作为分布式/低回传处理的精度地板，与集中式构成``精度--回传''对照。推导见\appref{subsec:H4_doaFusion}。
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\subsection{多用户堆叠}
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推广到 $K$ 个单天线用户，只需把每个用户的位置、参考时延与参考 Doppler 独立堆叠：
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\begin{equation}
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\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}}
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=[\mathbf p_1^\Tran,\tau_{\mathrm{ref},1},\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\mathbf p_K^\Tran,\tau_{\mathrm{ref},K},\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{5K}.
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\end{equation}
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其中 $\tau_{\mathrm{ref},k}$ 吸收第 $k$ 个用户的未知发射时刻，逐用户独立。第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$、集中似然对各星 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 列空间的投影、以及用户分离可辨识性，全部与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节及\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 逐字平行，只把 $\boldsymbol\xi_k$ 换成 $\mathbf p_k$、并在时间模板中加入位置诱导时延。
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本节建立了有限距离下的三维位置模型，位置通过逐星角度、差分 Doppler 和差分时延进入观测。集中似然与干扰参数消元沿用多星静态模型的方法，几何映射和新增的时延参数则按本节定义。下一节引入时间戳误差：它与传播时延共同决定导频包络的位置，因此会影响时延通道提供的几何信息。
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