fix(symbol): 修正模型约定与有效信息解释
区分传播方向与反向视线，统一阵列映射及其导数符号。 区分时间同步与载波相干，按增益消元修正时间戳导数和退化结论。同步单快拍、条件压缩、实秩判据与梳齿分辨表述。
This commit is contained in:
@@ -177,7 +177,7 @@
|
||||
$\mathbf v_u(\mathbf p)\in\mathbb R^3$ & 地固静止用户在参考时刻的 ECI 瞬时速度，定义为 $\mathbf v_u(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$；静态位置模型不将其作为独立待估参数。\\
|
||||
$\mathbf e_{1,\ell}$、$\mathbf e_{2,\ell}$、$\mathbf e_{3,\ell}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的本地阵列坐标基。\\
|
||||
$\boldsymbol{\Omega}_\ell\in\mathbb R^{3\times3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星从本地坐标系到全局坐标系的旋转矩阵。因此 $\boldsymbol{\Omega}_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi)$ 给出全局方向在该卫星本地坐标系下的表达。（注：原符号 $\mathbf{Q}_\ell$ 已改为 $\boldsymbol{\Omega}_\ell$，$\mathbf{Q}$ 保留给波束成形章节的人工噪声协方差矩阵。）\\
|
||||
$\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}\in\mathbb R^{3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的单位来向向量。\\
|
||||
$\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}\in\mathbb R^{3}$ & 本地阵列坐标系下的单位传播方向。公共方向模型中为 $\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；位置模型中为 $-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p)$，后者的 $\mathbf u_\ell$ 指向卫星到用户。\\
|
||||
$\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}$ 和 $\beta_\ell^{\mathrm{loc}}$ & 第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的方位角与俯仰角。\\
|
||||
$\mathbf a(\bm\theta_k)\in\mathbb C^{M}$ & 单阵列中第 $k$ 个信源方向对应的导向矢量。\\
|
||||
$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 多星主线中第 $\ell$ 颗卫星的本地阵列导向矢量。 该符号只表示阵列响应，不表示动力学加速度。\\
|
||||
@@ -189,7 +189,7 @@
|
||||
$\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ & 空时导向矩阵或空时 steering/dictionary matrix，由各信源的空时导向列向量组成；该符号避免与 \gls{crb} 协方差矩阵 $\mathbf C$ 冲突。\\
|
||||
$\mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)$ & 第 $k$ 个信源的空时导向列向量，通常由空间导向矢量与 Doppler 时间导向矢量 Kronecker 组合得到。此处下标 $\mathrm{st}$ 表示 space--time。\\
|
||||
$\mathbf h_{\ell,k}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 第 $k$ 个用户（单天线）到第 $\ell$ 颗卫星的上行等效信道向量；远场窄带假设下 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。参数估计侧使用 $\mathbf a_\ell$ 与 $\zeta_{\ell,k}$；波束成形侧合并为 $\mathbf h_{\ell,k}$。\\
|
||||
$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 第 $(\ell,k)$ 对沿时间模板 $\mathbf q_{\ell,k}$ 的空间匹配输出 $\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*/\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2$，即上行等效信道 $\mathbf h_{\ell,k}$ 的匹配滤波估计；空时导向趋于正交的码分下为该星对用户 $k$ 主参数的充分统计量。见第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节。\\
|
||||
$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 空间匹配输出 $\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*/\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2$。时间模板已知且两两正交时，其均值为 $\mathbf h_{\ell,k}$；关于条件压缩的说明见第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节。\\
|
||||
$\mathbf H_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times K}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的上行信道矩阵，第 $k$ 列为 $\mathbf h_{\ell,k}$。\\
|
||||
\end{longtable}
|
||||
\endgroup
|
||||
@@ -241,7 +241,7 @@
|
||||
$t_{\mathrm{ref}}$ & 多帧观测首帧首采样点的物理参考时刻。\\
|
||||
$\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 \gls{doa}--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\
|
||||
$\tau_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路上的离散时延。 若它由参考星时延诱导得到，应在参考星参数化中说明其映射。\\
|
||||
$\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差，单位为采样点数；参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，其余作为部分相干观测模型中的干扰参数。\\
|
||||
$\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差，单位为采样点数；参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，其余作为时间戳误差模型中的干扰参数。\\
|
||||
$\delta\tau_\ell$ & 与 $\delta_\ell$ 对应的物理时间误差（秒），$\delta_\ell=\delta\tau_\ell/T_{\mathrm{s}}$。\\
|
||||
\end{longtable}
|
||||
\endgroup
|
||||
@@ -302,7 +302,7 @@
|
||||
$\nu_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户场景中第 $k$ 个用户的参考星归一化 Doppler；$K=1$ 时退化为 $\nu_{\mathrm{ref}}$。\\
|
||||
$\tau_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户位置模型中第 $k$ 个用户的参考链路总时延自由标量，吸收该用户未知发射时刻；$K=1$ 时退化为 $\tau_{\mathrm{ref}}$。\\
|
||||
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ & 多用户多星静态主参数，定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=[\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{3K}$；$K=1$ 时退化为 $\boldsymbol\eta$。下标 $\mathrm{mu}$ 表示 multi-user。\\
|
||||
$\boldsymbol\delta$ & 部分相干观测模型中非参考星的时间戳误差堆叠向量，$\boldsymbol\delta=[\delta_\ell]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}\in\mathbb R^{L-1}$；作为干扰参数处理。\\
|
||||
$\boldsymbol\delta$ & 时间戳误差模型中非参考星的时间戳误差堆叠向量，$\boldsymbol\delta=[\delta_\ell]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}\in\mathbb R^{L-1}$；作为干扰参数处理。\\
|
||||
$\boldsymbol\kappa$ & 完整实参数向量，专用于把主参数 $\boldsymbol\eta$ 与干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 一起堆叠的场合，例如 $\boldsymbol\kappa=[\boldsymbol\eta^\Tran,\boldsymbol\psi^\Tran]^\Tran$。全文不再用 $\boldsymbol\eta$ 表示完整参数向量。\\
|
||||
\end{longtable}
|
||||
\endgroup
|
||||
|
||||
@@ -877,7 +877,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
若每个 $\mathbf G_\ell$ 满列秩，这一条件至少要求
|
||||
$3K\le 2\sum_\ell(M_\ell T-K)$；该维数不等式只是必要条件，不能替代实化 Jacobian 的秩检验。
|
||||
|
||||
正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——需要区分模板退化与主参数退化。若某对 $(k,k')$ 满足
|
||||
模板相干度描述空时响应的接近程度，应与主参数可辨识性区分。若某对 $(k,k')$ 满足
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\rho_{\ell,kk'}
|
||||
@@ -921,7 +921,7 @@ $3K\le 2\sum_\ell(M_\ell T-K)$；该维数不等式只是必要条件，不能
|
||||
\subsection{非正交码分下的多用户 CRB（多址干扰）}
|
||||
\label{subsec:E3_maiCrb}
|
||||
|
||||
E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非对角块 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 里的投影空时交叠 $\mathbf D_{\ell,k}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf D_{\ell,k'}$（$k\neq k'$）正是用户间的 \gls{mai}。正文第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 建立在``近正交码分''之上；本小节放开这一理想化，把码互相关显式代入，给出边缘化其余用户后的单用户有效界及其闭式替代。含码 Gram 的多用户参数 \gls{crb} 是标准的码分多用户估计理论~\cite{verduMultiuserDetection1998}（其空时模板 $\mathbf q\otimes\mathbf a$ 即联合角--延时估计，移不变解法见~\cite{vanderveenJointAngleDelay1998}）；此处不引入新界，只把 E.2 中隐含的耦合拎明。
|
||||
多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已包含用户间耦合，其非对角块由投影后的空时导数内积决定。本小节在这一联合模型下消去其他用户参数，得到单用户有效界，并介绍基于线性解相关前端的近似读数。相关多用户估计框架见~\cite{verduMultiuserDetection1998}，联合角度--时延估计见~\cite{vanderveenJointAngleDelay1998}。
|
||||
|
||||
\paragraph{码 Gram 与耦合的因子结构}
|
||||
空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的用户间内积按 Kronecker 分解为``码''与``空间''两因子
|
||||
@@ -935,7 +935,7 @@ E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非
|
||||
\label{eq:E3_gram_factor}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $r_{\ell,kk'}$ 为码互相关，其排成的 $K\times K$ 码 Gram 记 $\mathbf R_\ell$（$[\mathbf R_\ell]_{kk'}=r_{\ell,kk'}$，与噪声协方差 $\mathbf R_n$ 无关）。两个用户只要\emph{码}或\emph{空间}之一充分正交即可分离。码正交（$\mathbf R_\ell=\mathbf I$，$r_{\ell,kk'}=0$，$k\neq k'$）时 $\{\mathbf g_{\ell,k}\}$ 逐用户正交，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 逐用户作用、\eqref{eq:E2_Ieff_block} 的非对角块消失，多用户 \gls{efim} 块对角，退回第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户界。短通信导频下 $K$ 个码不可能两两正交，$r_{\ell,kk'}\neq 0$、非对角块非零，留下正比于码互相关的 \gls{mai} 耦合项。但对峰值互相关低的码（如长度 $L_c$ 的 Zadoff--Chu 码不同根，峰值互相关 $\sim 1/\sqrt{L_c}$），$\mathbf R_\ell\approx\mathbf I$，该耦合很小、界的抬升按互相关平方量级、通常可忽略——故\emph{码正交假设下的干净界即准确主线}，本小节只界定放开该假设后界的（很小的）抬升，并给出高负载病态时的替代读数。
|
||||
其中 $r_{\ell,kk'}$ 为归一化时间模板互相关，组成 $K\times K$ Gram 矩阵 $\mathbf R_\ell$。时间模板或空间导向正交可使空时模板正交，但主参数 \gls{efim} 还涉及模板导数的内积。例如，Doppler 导数引入采样时刻权重，未加权的码正交不保证导数也正交。只有投影后的相关导数满足相应正交条件时，用户信息块才解耦。近似正交的精度应由实际模板及导数评估。
|
||||
|
||||
\paragraph{边缘化其余用户的单用户有效界}
|
||||
把 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的 $\mathcal I_{\mathrm e}$ 按``用户 $k$''与``其余 $K-1$ 个用户''两组行列分块，记对角块 $\mathcal I_{kk}\in\mathbb R^{3\times 3}$、$\mathcal I_{\bar k\bar k}$ 与交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}$；对其余用户取 Schur 补得用户 $k$ 的有效 \gls{efim}
|
||||
@@ -949,10 +949,10 @@ E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非
|
||||
\label{eq:E3_effFim}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
被扣的 $\mathcal I_{k\bar k}\mathcal I_{\bar k\bar k}^{-1}\mathcal I_{\bar k k}\succeq\mathbf 0$ 即\emph{\gls{mai} 惩罚}：把其余用户当未知参数一并估计所付的信息损失。码正交时交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}=\mathbf 0$、惩罚为零，\eqref{eq:E3_effFim} 退回单用户界；码互相关越强、$K$ 越大，惩罚越重。
|
||||
被扣的半正定项是将其他用户参数视为未知量所付出的信息损失。若投影后的用户交叉信息块为零，该项消失。这里的比较基准是其他用户参数已知时的 $\mathcal I_{kk}$；要进一步等同于单用户界，还需检查其他用户增益消元的影响。
|
||||
|
||||
\paragraph{可达地板与估计器次优}
|
||||
\eqref{eq:E3_effFim} 是任何估计器都无法回避的\emph{基本极限}：\gls{mai} 惩罚源于码非正交这一物理事实、与算法无关。据此把估计器的实测误差分成两部分：(a) 界本身随码 Gram 抬升的部分（地板），(b) 估计器超出该界的部分（次优）。对上述低互相关码，(a) 很小（干净界与含 Gram 界相差在可忽略量级），故实测的估计器--界差距几乎全部归 (b)——联合分离器（如\appref{sec:dictSeparationAmp} 的 AMP/SBL 不动点）在残余 MAI 下的次优，可经更强分离缩小，而非界侧的 \gls{mai} 地板。
|
||||
\paragraph{信息损失与估计误差}
|
||||
\eqref{eq:E3_effFim} 给出常规正则条件下的局部无偏估计界。用户间耦合可抬高该界，但在固定、可辨识的模型中，降低噪声仍可使界下降，因此非正交本身不意味着不可消除的误差地板。实测误差与界的差距还需结合偏差、全局模糊及优化误差解释，不能仅凭码互相关大小归因于估计器次优。
|
||||
|
||||
\paragraph{SINR 型有效 CRB（闭式替代）}
|
||||
高负载下满 \gls{fim} 可能病态、\eqref{eq:E3_effFim} 难得紧解；此时可退到一个干净可算的替代——线性解相关前端。解相关器以 $\mathbf R_\ell^{-1}$ 分离用户、代价是噪声放大 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}\ge 1$，用户 $k$ 在星 $\ell$ 上的有效信噪比降为
|
||||
@@ -972,4 +972,4 @@ E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完成了多星静态模型从单用户、多用户到非正交码分（多址干扰）的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\appref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的 \gls{cp} 和 \gls{ip} \gls{crb} 在\appref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
|
||||
\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 给出了多星静态单用户与多用户模型的 \gls{crb}。时间戳误差下的 \gls{efim} 见\appref{sec:timestampErrCrb}，多帧 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的比较见\appref{sec:multiFrameCrb}。
|
||||
|
||||
@@ -1109,7 +1109,7 @@ Doppler 梳状分支（comb）。
|
||||
因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler 梳齿的块内区分度，而不是必然依赖
|
||||
$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 在单块内部产生可观测的二次相位曲率。
|
||||
|
||||
该分析也解释了周期窗口与非周期子集的不同作用。若采用非周期子集
|
||||
不同帧时刻集合的作用可直接由谱窗判断。对所选帧集合
|
||||
$\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@@ -1119,9 +1119,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\label{eq:A7_subset_frame_window}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 不再满足严格等间隔结构时，式~\eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
|
||||
给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期梳状结构的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题：
|
||||
非周期子集更适合执行梳齿捕获，完整周期窗口则更适合在梳齿已选对时执行同一梳齿内的相干精化。
|
||||
若所有 $\tau_{p_q}$ 仍是同一间隔 $\Delta\tau_{\mathrm f}$ 的整数倍，则 \eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
|
||||
给出的偏移仍使所有帧起始相位对齐，即使相邻所选帧的间隔不相等也如此。打破这些同相条件需要改变采样格点，或利用帧内相位与其他观测约束。
|
||||
非等间隔设计的旁瓣与捕获性能应结合谱窗和能量比较，不能仅凭帧集合不连续便断定其优于完整观测。
|
||||
这也说明，选错梳齿的误差是全局轮廓似然的分支选择问题；而
|
||||
式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定分支内的局部可辨识性。
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -21,7 +21,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。
|
||||
本地视线 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$ 给出 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$，再按与 \eqref{eq:A6_local_angle_chain} 同样的 atan2/arcsin 链式法则得到本地角对位置的 Jacobian $\dfrac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}\in\mathbb R^{2\times3}$，从而阵列导向矢量对位置的 Jacobian 为
|
||||
本地传播方向为 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$，因此 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$。在该传播方向处应用 \eqref{eq:A6_local_angle_chain} 的 atan2/arcsin 链式法则，得到本地角对位置的 Jacobian，从而阵列导向矢量对位置的 Jacobian 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}
|
||||
|
||||
+31
-20
@@ -2,7 +2,7 @@
|
||||
\label{sec:timestampErrCrb}
|
||||
|
||||
\begin{mdquote}
|
||||
\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的部分相干观测模型。
|
||||
\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的时间戳误差模型。
|
||||
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
|
||||
\item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$（$K$ 个用户的 \gls{doa}--Doppler）；\emph{干扰参数} 每星时间戳偏移 $\delta_\ell$（参考星取 $\delta=0$）、复增益与噪声方差 $\boldsymbol\zeta_\ell$。
|
||||
\item \emph{本附录给出} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur 补消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架、$K{=}1,\,L{=}2$ 最简情形的解析推导，以及忽略 $\boldsymbol\delta$ 的 \gls{mcrb}；门限以下的大误差与模糊地板见\appref{sec:thresholdBounds}。
|
||||
@@ -152,10 +152,21 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
|
||||
\qquad
|
||||
\big[\mathbf q_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}\big]_t
|
||||
=
|
||||
\big[\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
|
||||
\big[-\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\dot s_k(t)\triangleq -\dfrac{\partial s_k(t-\delta_\ell)}{\partial\delta_\ell}\big|_{\delta_\ell=0}$ 为导频的时间导数（离散场景下取差分近似）。$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$。
|
||||
其中 $\dot s_k(t)$ 为导频对时间的导数，应按实际连续时间波形或其带限插值计算，$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$。相位项 $-j\nu_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}$ 落在 $\mathbf G_\ell$ 的列空间中，投影后为零。因此
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}\mathbf j_{\delta,\ell}
|
||||
=-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
|
||||
\sum_k\zeta_{\ell,k}
|
||||
\left(\left[\dot s_k(t)e^{j\nu_{\ell,k}t}\right]_{t=0}^{T-1}
|
||||
\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\right).
|
||||
\label{eq:F2_projected_timestamp}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
时间戳的有效信息来自包络导数在增益子空间之外的分量。
|
||||
|
||||
由于 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 对角，对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 消去逐星可写
|
||||
%
|
||||
@@ -171,9 +182,9 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
|
||||
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 中第 $\ell$ 列。这就是``逐星扣除 $\delta_\ell$ 引入的信息损失''的解析形式。
|
||||
其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 的对应列，求和限于 $[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}>0$ 的可辨识方向。若该对角元为零，相应有效导数及交叉列也为零，应删去冗余参数或作子空间投影，不作零除法。
|
||||
|
||||
特别地，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 不贡献 $\delta$ 自由度，对 \gls{efim} 的贡献保持与完全相干情形相同；信息损失完全来自其余 $L-1$ 颗带时间戳误差的卫星。
|
||||
参考星没有时间戳自由度。与在同一真值处将时间戳视为已知的模型相比，Schur 补的信息扣减来自非参考星。
|
||||
|
||||
\subsection{数值 EFIM 评估框架}
|
||||
\label{subsec:F3_numericalEfim}
|
||||
@@ -185,7 +196,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
|
||||
\item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按\appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
|
||||
\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性会让 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 显著偏离对角形式（不同 $\ell$ 之间通过导频互相关项耦合），此时 \eqref{eq:F2_efim_final} 的``逐星扣除''形式不再适用，需要对 $\boldsymbol\delta$ 块整体求逆。
|
||||
在本模型中，各星噪声独立，时间戳和复增益均为逐星参数。因此，先消去复增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'$ 在任意时间戳真值处都保持对角，逐星 Schur 形式仍成立。大偏移要求在实际真值处重新计算导数，而不会自行产生星间信息块。
|
||||
|
||||
% TODO: 实际数值评估的离散化精度（差分步长选取、导频上采样系数）与后续仿真结果对齐后补充
|
||||
|
||||
@@ -209,7 +220,7 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性
|
||||
\Re\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义，$\delta_1=0$ 处求值即得到完全相干情形的 \gls{efim}。
|
||||
其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义。这里 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 对应时间戳已知为零的同步基线；将未知时间戳的真值取零，仍需进一步扣除相应的 Schur 项。
|
||||
|
||||
\paragraph{$\delta_1$ 块}
|
||||
$\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
@@ -217,7 +228,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t
|
||||
=
|
||||
\big[\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
|
||||
\big[-\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf j_{\delta,1}
|
||||
=
|
||||
@@ -265,7 +276,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的得分重叠决定。
|
||||
|
||||
\paragraph{特例：导频为单音常包络}
|
||||
若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\dfrac{\partial}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}$ 完全共线（同为 $\dfrac{\partial\mathbf q_1}{\partial\nu_1}$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——\gls{efim} 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
|
||||
若 $s(t)\equiv1$，则 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，时间戳导数完全落在复增益子空间中。消去增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'=0$ 且 $\mathbf v'_{\eta\delta,1}=\mathbf0$。此时不可辨识的是时间戳与增益相位的分解；删除这一冗余时间戳参数即可。Doppler 导数含随采样时刻变化的因子 $t$，只要保留的采样时刻具有非零时间方差，仍可提供局部频率信息。
|
||||
|
||||
% TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理（仍对角，但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1)）；后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化，闭式较繁。本附录暂留为数值评估。
|
||||
|
||||
@@ -362,9 +373,9 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta^\star$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。
|
||||
|
||||
\paragraph{一致性与稳健性}
|
||||
当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$：残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}\to\mathbf 0$ 故 $\mathbf A\to\mathbf B=\mathcal I$、偏置 $\mathbf b\to\mathbf 0$，\eqref{eq:sec5_mcrb} 退回同步基线 \gls{crb} $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}$，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 在 $\delta=0$ 处的结果一致。小误差区 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}=O(\boldsymbol\delta^\star)$，故方差项 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}=(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}+O(\boldsymbol\delta^\star)$、主导误差是偏置外积 $\mathbf b\mathbf b^\Tran=O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2)$。两条路线由此对照清晰：估计 $\boldsymbol\delta$（\appref{subsec:F2_schurDelta}）以\emph{方差}为代价——\gls{efim} 被秩一项 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran}/[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}$ 扣减；忽略 $\boldsymbol\delta$（本小节）以\emph{偏置}为代价——方差几乎不变但叠加 $\mathbf b\mathbf b^\Tran$。
|
||||
当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf0$ 时，残差和伪真值偏置趋于零，误指定界退回时间戳已知为零的同步基线。它一般不同于将时间戳作为未知干扰参数时的界，即使后者也在零偏移处求值。小偏移下，方差变化与偏置外积应分别评估，不能仅由偏置是二阶均方误差项就断定它占主导。
|
||||
|
||||
偏置方向 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 与\appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''的退化同源：当导频为单音常包络（$\dot s\equiv 0$）时 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 落入增益子空间、被 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影为零，故 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\to\mathbf 0$、偏置消失——此模型对忽略时间戳误差\emph{稳健}，偏置仅经导频带宽 $\dot s\not\equiv 0$ 进入、且为 $O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2)$ 小量。换言之，本模型的 \gls{mcrb} 主要说明``忽略小钟差近乎无损''；唯当某个主参数与 $\delta_\ell$ 的得分在 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影后强耦合（不再被复增益吸收）时，\eqref{eq:F5_bias} 的偏置才显著放大。
|
||||
当导频为单音且时移仅改变复增益时，时间戳导数经投影为零，假设同步的模型仍可用等效复增益表示真实均值，因此不会由这一时移产生主参数失配偏置。一般包络下，一阶偏置由 \eqref{eq:F5_bias} 给出，量级通常为 $O(\|\boldsymbol\delta^\star\|)$，偏置外积才是二阶量；其大小取决于投影后交叉信息与主参数信息矩阵的条件数。
|
||||
|
||||
\subsection{位置模型下的时延--时间戳同轴混淆}
|
||||
\label{subsec:F6_tauDeltaConfound}
|
||||
@@ -376,24 +387,24 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F6_jdelta}
|
||||
\frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}
|
||||
\frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
|
||||
=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k),
|
||||
\qquad
|
||||
\big[\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\big]_t=-\dot s_k\big(t-\tau_{\ell,k}\big)e^{j\nu_{\ell,k}t},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
它与\appref{sec:userPositionCrb} 的时延列 $\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\tau_{\mathrm{ref},k}=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 相同，并与位置列的时延贡献 $\big(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k\big)\otimes\mathbf a_\ell$ 共线。即 $\delta_\ell$ 的均值导数落在该星时延通道所张子空间内。对照 \eqref{eq:F2_jdelta}：\gls{doa} 基线上 $\delta_\ell$ 还经相位 $-j\nu s$ 进入、与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 纠缠；位置模型把相位常数并入 $\zeta_\ell$ 后，$\delta_\ell$ 纯经包络、转而与时延/距离纠缠。
|
||||
在零时间戳处，\eqref{eq:F6_jdelta} 与参考时延导数同形，并与位置导数的时延分量共线。方向模型与位置模型中，恒定相位都可由自由复增益吸收；位置模型的新增混淆来自包络中传播时延与时间戳的相加。
|
||||
|
||||
\paragraph{单用户退化}
|
||||
单用户（略去 $k$）下每颗非参考星贡献一个时延方向 $\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$；位置经 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 的距离信息恰沿这 $L-1$ 个方向进入 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置列。对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 边缘化 \eqref{eq:F2_efim_final} 在每颗星上正交投影掉 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell$ 方向，恰好把位置列的时延贡献整条消去，$\boldsymbol\delta$-边缘化后的位置 \gls{efim} 只剩角度与差分 Doppler 两通道
|
||||
单用户下，每颗非参考星的时间戳导数可吸收该星位置导数中的包络时移分量。参考星的包络位移由自由参考时延吸收。因此，在同时消去复增益、参考时延和时间戳后，位置有效导数只保留角度与 Doppler 导数经同一干扰参数投影后的分量，可记为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F6_singleuser}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})\big|_{\boldsymbol\delta\text{ marg.}}
|
||||
=\mathcal I_{\mathrm e}^{\,\mathrm{ang+dop}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}),
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\mathbf p)\big|_{\tau_{\mathrm{ref}},\boldsymbol\delta\text{ marg.}}
|
||||
=\mathcal I_{\mathrm e}^{\,\mathrm{ang+dop,proj}}(\mathbf p),
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
时延/\gls{tdoa} 通道净贡献为零。这是 \appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\dot s\equiv0$ 时 $\delta$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''退化的对偶：那里 $\delta$ 无包络信息、并入 Doppler；这里 $\delta$ 有包络信息、却与 $\tau_{\mathrm{ref}}$/距离共线，吃掉测距增益。
|
||||
这里右端仍包含未知时延的投影损失，不等同于已知时延的角度--Doppler 基线。位置的时延导数被消去，并不意味着总位置矩阵必然奇异；剩余角度与 Doppler 信息是否满秩由卫星几何决定。
|
||||
|
||||
\paragraph{多用户恢复}
|
||||
多用户下 $\delta_\ell$ 是逐星参数、被该星 $K$ 个用户共享，其对均值的导数为单一合成方向
|
||||
@@ -403,7 +414,7 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
|
||||
=\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\,\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k);
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
而 $K$ 个用户的时延贡献 $\big\{(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k)\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)\big\}_{k=1}^{K}$ 因几何 $\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k$ 与空间签名 $\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$ 互异，张成至多 $K$ 个不同方向。Schur 边缘化每星只投影掉这一个合成方向，故 $K-1$ 个时延方向存活，时延通道随用户数恢复。等价地，同星不同用户的观测到达时间差相减
|
||||
若消去复增益后，$K$ 个用户的时延导数在实参数意义下独立，则消去一个共享时间戳可保留 $K-1$ 个相对时延方向。导数相关时，保留的维数可能更少。对相对于参考星的观测时延再作用户间差分，有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell\big]
|
||||
@@ -411,10 +422,10 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
|
||||
=\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)-\Delta\tau_{\ell,k'}(\mathbf p_{k'})
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
消去共享 $\delta_\ell$，把它从混淆中超定地分离。故\emph{多用户共享结构是 $\delta_\ell$ 可辨识、\gls{tdoa} 通道净增益的必要条件}。
|
||||
这样可消去共享时间戳，但不自动得到位置或时间戳的唯一解。还需消去各用户的参考时延，并检查剩余位置 Jacobian 的实秩；角度与 Doppler 的几何信息也参与这一判断。
|
||||
|
||||
\paragraph{一般情形}
|
||||
一般 $L$、大误差区按 \appref{subsec:F3_numericalEfim} 数值评估：把含 $\tau_{\mathrm{ref}}$ 列的 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$（\appref{sec:userPositionCrb}）与 $\boldsymbol\delta$ 块按先复增益、后 $\boldsymbol\delta$ 的顺序 Schur；$\mathbf q^{\mathrm{del}}$ 在导频自相关半宽处的非线性同样使逐星扣除失效、需整体求逆。
|
||||
一般 $L$ 和任意时间戳真值可按\appref{subsec:F3_numericalEfim} 评估。先消复增益、再消逐星时间戳时，时间戳信息块仍为对角；若先消去跨星共享的参考时延或其他主参数，则剩余时间戳块可能耦合。计算形式由消元顺序决定，与偏移是否超过导频自相关宽度无关。
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -5,7 +5,7 @@
|
||||
\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节多用户分离的低复杂度等价路径——把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离化为对\emph{已知}字典的行稀疏恢复。
|
||||
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
|
||||
\item \emph{估计问题} 每星多测量向量（MMV）观测 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$ 的行稀疏恢复（码已知、全活跃 $\Rightarrow$ 组内一选一）；支撑给延时--Doppler、行值给空间信道。
|
||||
\item \emph{本附录给出} 近似消息传递（AMP）与稀疏贝叶斯学习（SBL）不动点、利用组结构的去噪，与正文逐用户充分统计量口径一致。
|
||||
\item \emph{本附录给出} 近似消息传递（AMP）与稀疏贝叶斯学习（SBL）不动点、利用组结构的去噪，输出为逐用户参数与空间信道估计。
|
||||
\item \emph{本附录局部符号} $\mathbf Q_\ell$：延时--Doppler 字典；$\mathbf X_\ell$：行稀疏系数；$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$：用户空间信道。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mdquote}
|
||||
@@ -103,4 +103,4 @@
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
本附录给出的字典化模型与 AMP/SBL 不动点，是 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然之外的低复杂度求解路径，与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量口径一致。其逐层均方误差与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节 \gls{crb}/\gls{efim} 的挂钩、以及达界所需的字典互相干条件，是自然的后续分析方向；确定性结构字典下其分析工具（state-evolution 递推、向量 AMP 或互相干恢复保证）按字典性质另择。
|
||||
本附录给出的字典化模型与 AMP/SBL 不动点，是 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然之外的低复杂度求解路径，输出对应第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的逐用户参数与空间信道估计。其逐层均方误差与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节 \gls{crb}/\gls{efim} 的挂钩、以及达界所需的字典互相干条件，是自然的后续分析方向；确定性结构字典下其分析工具（state-evolution 递推、向量 AMP 或互相干恢复保证）按字典性质另择。
|
||||
|
||||
@@ -2,7 +2,7 @@
|
||||
\label{sec:det_doa_est}
|
||||
|
||||
本节是整份笔记的实质起点。
|
||||
这里直接从多快拍场景出发：单快拍（$T=1$）下确定信号 \gls{mle} 退化为平凡情形——待估的信源快拍与观测等量，似然总能被无残差地拟合、来向无从分辨；同时也不足以支撑后续各节反复使用的子空间投影、集中似然与干扰参数消元等工具。多快拍因而是这些工具得以成立的最小场景。设 $K$ 个信源从远场入射到 $M$ 元阵列，在 $T$ 个快拍内连续观测，目标是估计来向 $\bm\Theta$。
|
||||
设 $K$ 个信源从远场入射到 $M$ 元阵列，在 $T$ 个快拍内连续观测，目标是估计来向 $\bm\Theta$。采用多快拍形式，便于统一描述重复观测及其信息积累。后续的投影消元与集中似然也适用于 $T=1$；单快拍能否辨识来向取决于阵列结构、信源数及参数范围。例如，单信源的阵元间相位差已包含方向信息，不能仅凭快拍数判定来向不可辨识。
|
||||
本节先建立信号模型与对数似然函数，再以集中似然消去信号快拍与噪声方差后得到的 \gls{cdml} 准则收尾；详细矩阵代入与 \gls{crb} 推导见\appref{sec:det_doa_crb}。
|
||||
|
||||
\subsection{信号模型}
|
||||
@@ -187,5 +187,5 @@ $\mathcal P_{\mathbf A}$ 是导向矩阵列空间的正交投影算子，用于
|
||||
\label{subsec:sml_contrast}
|
||||
|
||||
经典文献中另一条主线是随机信号模型，即把 $\mathbf x_t$ 视为零均值复高斯过程 $\mathbf x_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_x)$。此时观测协方差为 $\mathbf R(\bm\Theta)=\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf R_x\mathbf A^\Herm(\bm\Theta)+\sigma\mathbf I_M$，\gls{sml} 似然只通过 $\mathbf R(\bm\Theta)$ 依赖参数，从而只能识别信号子空间而非信号波形。
|
||||
正因只保留二阶统计量，一旦引入 Doppler，其时间相位 $e^{j\nu_k t}$ 会在对随机波形求统计平均时被一并抹去，无法在协方差 $\mathbf R(\bm\Theta)$ 中留下可分辨的印记，\gls{doa} 与 Doppler 由此耦合而不可分。这正是本笔记后续主线选择确定信号假设（已知训练序列/导频）的根本原因。
|
||||
Doppler 能否辨识取决于波形的时间结构。对于时间独立、用户间不相关的圆对称高斯信号，逐用户的 Doppler 相位不改变其分布，单时刻协方差不能识别 Doppler；具有已知时间相关结构的随机信号则需另行分析。后续采用已知导频乘以未知复增益，使 Doppler 的时间相位与未知波形明确区分。
|
||||
随机信号 \gls{doa} 估计与其 \gls{crb} 仅作为对照保留在\appref{sec:sto_doa_crb} 中供查阅，不再进入第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节及之后的主线。
|
||||
|
||||
@@ -127,4 +127,4 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b
|
||||
\tilde{\mathbf y}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
由此可见，Doppler 不是简单附加在 \gls{doa} 估计之后的独立标量，而是通过时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间。这种耦合既是 \gls{doa}--Doppler 联合估计带来增益的来源，也是单独估计任一参数会造成信息损失的原因。
|
||||
时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间，因此联合似然可同时估计方向与 Doppler。两类参数是否存在有效信息耦合，要在消去复增益后判断；在单用户可分离模型中，两类有效导数可以正交。多星几何使链路 Doppler 随全局方向变化时，时间观测还可提供额外的方向信息。
|
||||
|
||||
@@ -299,28 +299,28 @@
|
||||
|
||||
图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。
|
||||
|
||||
图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 \gls{doa} 估计与联合进行 \gls{doa}--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，\gls{doa}--Doppler 联合估计均优于仅 \gls{doa} 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。
|
||||
图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 展示地表用户的经纬度估计示例，对比仅使用 \gls{doa} 与联合使用 \gls{doa}--Doppler 的结果。该示例属于第~\ref{sec:userPositioning}~节的有限距离位置模型：各星方向由用户位置分别计算。因此，图中的误差曲线及其 \gls{crb} 应按位置模型解释，不能用作本节公共方向模型的数值验证。估计误差与界之间的差距需结合估计偏差、搜索误差和模型一致性分析，坐标映射的非线性本身不足以解释这一差距。
|
||||
|
||||
图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!h]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig/dualSatSingleSourceScene.bmp}
|
||||
\caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：双星单源几何场景示意}
|
||||
\caption{有限距离地表用户示例：双星单源几何场景}
|
||||
\label{fig:dualSatSingleSourceScene}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!h]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig/doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap.pdf}
|
||||
\caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：ECI 坐标系下双星 UPA、单信源场景中，单独估计 \gls{doa} 与联合估计 \gls{doa}--Doppler 的 MSE 对比}
|
||||
\caption{有限距离地表用户示例：双星 UPA 单信源场景中，仅使用 \gls{doa} 与联合使用 \gls{doa}--Doppler 的估计误差对比}
|
||||
\label{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!h]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{fig/multiSatSingleSourceScene.bmp}
|
||||
\caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：多星单源几何场景示意}
|
||||
\caption{有限距离地表用户示例：多星单源几何场景}
|
||||
\label{fig:multiSatSingleSourceScene}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -1,7 +1,7 @@
|
||||
\section{多用户扩展}
|
||||
\label{sec:multiSatMultiUser}
|
||||
|
||||
第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星看到的来向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节沿\emph{参数空间}维度推进一步：把用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，其余维度（单帧静态、各星完全相干、已知导频）保持最简。
|
||||
第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星的方向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节将用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，仍采用单帧静态模型和已知导频，各星采样时间基对齐、复增益独立未知。
|
||||
数学上这只是把每个用户的参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 独立堆叠；但物理上引入了第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节不存在的新问题——\emph{用户分离的可辨识性}。当两个用户的 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 在所有 $L$ 条链路上同时接近时，集中似然曲面会出现伪极值，这一退化结构也是后续数据驱动的干扰参数补偿方法的自然接入位置。本节用几何直觉指出这一现象，不展开严格证明；详细 \gls{crb} 与多用户 \gls{fim} 分块推导见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
|
||||
|
||||
\subsection{多用户信号模型}
|
||||
@@ -180,12 +180,12 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
|
||||
%
|
||||
与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的单用户加权融合相比，差别在于每颗卫星的匹配子空间从一维 $\mathbf g_\ell$ 升级为 $K$ 维 $\mathbf G_\ell$ 列空间；多用户的耦合\emph{在每颗卫星内部}通过 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的非对角元体现。
|
||||
|
||||
\subsection{逐星充分统计量与匹配滤波压缩}
|
||||
\subsection{逐星匹配输出与条件压缩}
|
||||
\label{subsec:perSatSufficientStat}
|
||||
|
||||
集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 还隐含一个对分布式处理至关重要的结构：第 $\ell$ 颗卫星的原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell\in\mathbb C^{M_\ell T}$ 只通过它在 $\mathbf G_\ell$ 列空间上的投影进入目标函数，即只通过匹配输出 $\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell$ 与总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$ 进入。给定字典 $\mathbf G_\ell$（由主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 决定），二元组 $(\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell,\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2)$ 即该星似然贡献的充分统计量：高维采样可压缩到这一低维匹配统计量而不损失关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的信息。
|
||||
在每一个候选参数处，集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 可由匹配输出 $\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell$、候选 Gram 矩阵 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 和总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$ 计算。由于 $\mathbf G_\ell$ 随候选参数改变，某一个候选点的匹配输出只足以评估该点的目标函数。保留整个搜索域上的集中似然，需要相应的匹配函数及总能量；有限网格仅给出该函数的离散近似。
|
||||
|
||||
当各用户空时导向向量趋于正交时，这一压缩可进一步\emph{逐用户}解耦。沿第 $k$ 个用户的时间模板 $\mathbf q_{\ell,k}$ 压缩时间维、保留空间维，得第 $(\ell,k)$ 对的空间匹配输出
|
||||
当各用户的时间模板已知时，可以沿时间维匹配并保留空间维。第 $(\ell,k)$ 对的空间匹配输出为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec4_matched_channel}
|
||||
@@ -195,7 +195,18 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
|
||||
\in\mathbb C^{M_\ell},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
即上行等效信道向量 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的匹配滤波估计，其均值为 $\mathbf h_{\ell,k}$。利用 $\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell=\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*=\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\,\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$，当 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 趋于对角时，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的每星投影项分解为各用户的独立贡献之和
|
||||
记上行等效信道为 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，则匹配输出的均值为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbb E[\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}]
|
||||
=\mathbf h_{\ell,k}
|
||||
+\sum_{k'\ne k}\mathbf h_{\ell,k'}
|
||||
\frac{\mathbf q_{\ell,k}^{\Herm}\mathbf q_{\ell,k'}}
|
||||
{\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2}.
|
||||
\label{eq:sec4_matched_channel_mean}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
时间模板两两正交时，交叉项为零；仅有空间导向正交并不能消去这些交叉项。利用 $\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell=\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$，当空时 Gram 矩阵趋于对角时，投影能量可写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec4_decoupled}
|
||||
@@ -207,11 +218,11 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
|
||||
{\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|_2^2},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
即每个用户的贡献退化为对其空间匹配输出 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的本地 \gls{doa} 匹配。集合 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}_{k=1}^{K}$ 于是成为第 $\ell$ 颗卫星对各用户主参数的充分统计量：各星无须回传原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell$，只回传 $M_\ell$ 维的逐用户复信道响应 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$，即足以在融合端重建本星贡献的角度信息。这是``逐星本地处理、只回传逐用户复响应''这一分布式接口的信息论依据。该逐用户解耦以码近正交（$\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 近对角）为前提；短导频下 $K$ 个码无法两两正交，残留的 \gls{mai} 在多用户 \gls{crb} 上留下一个任何估计器都无法消除的地板，其显式刻画见\appref{subsec:E3_maiCrb}。
|
||||
当时间模板已知且两两正交时，各用户的空间匹配输出可分别用于本地 \gls{doa} 估计。噪声方差已知时，这些输出保留关于空间信道的信息；噪声方差未知时，还需保留总能量以重建集中似然。时间模板非正交时，应保留模板 Gram 矩阵以及输出之间的相关性，按联合模型处理。多用户信息损失见\appref{subsec:E3_maiCrb}；可辨识模型中的信息损失不等于随信噪比提高仍不消失的误差地板。
|
||||
|
||||
这一压缩有两点限定，决定了它在后续跨星融合中的可用边界：
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \emph{充分性条件于时间模板已知}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖链路 Doppler $\nu_{\ell,k}$，故形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 前须先给定或本地估计 Doppler；真正无条件充分的是匹配输出在 Doppler（后续含时延）假设网格上的整张曲面，将其塌缩为单个 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 仅在观测块内 Doppler 近常数时近似无损。
|
||||
\item \emph{已知模板与估计模板不同}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖未知 Doppler。用本地估计值代入后，$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的误差还包含模板估计误差；Doppler 在观测块内恒定并不能保证这种压缩无损。
|
||||
\item \emph{$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 不含匹配峰的位置}。它编码本星本地 \gls{doa}（$\mathbf a_\ell$ 的方向）与复增益（幅度与相位），但匹配峰在 Doppler（及后续时延）网格上的\emph{位置}是形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 时所匹配的模板取值，须作为独立标量另行保留。故仅由 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 可重建各星本地 \gls{doa} 与相位，而跨星测距、测速所需的时延差与 Doppler 差还需保留这些峰位标量。这一区分在第~\ref{sec:userPositioning}--\ref{sec:timestampError} 节引入传播时延后，成为跨星差分能否干净取出到达时间差的关键。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
@@ -233,11 +244,11 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
|
||||
\item 时间模板相干 $\dfrac{|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|}$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定；
|
||||
\item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向趋于奇异，集中似然曲面在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立、对应 \gls{crb} 发散），用户分离的可辨识性丧失。
|
||||
当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to1$ 时，模板矩阵趋于病态；在模板完全相同的极限，两个复增益无法分别辨识。方向与 Doppler 是否同时失去可辨识性，还取决于模板对这些参数的导数。
|
||||
|
||||
多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内的间隔小于一个波束宽度），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。
|
||||
局部可辨识性的判据是：先逐星消去复增益的导数子空间，再将白化后的主参数 Jacobian 堆叠并实化，其秩应为 $3K$，见 \eqref{eq:E2_identifiability_rank}。不同卫星提供的导数信息可以互补，因此某一颗卫星上的分离困难不必导致整体不可辨识。
|
||||
|
||||
严格可辨识性可写成对所有用户对 $(k,k')$ 的多星联合分离条件，其与 \gls{efim} 非奇异性的等价关系由\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 中多用户 \gls{fim} 分块给出。本节只用上述几何直觉刻画用户分离失效的结构来源，为后续数据驱动的干扰参数补偿方法留出接口；具体方法、输入输出与训练设置不在本笔记范围内。
|
||||
模板相干度可用于描述分离难度，最终的局部可辨识性仍按上述秩条件判断。各星复增益独立未知，不能用 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的可逆性代替这一检查。
|
||||
|
||||
\subsection{分离的低复杂度路径：字典化与稀疏恢复}
|
||||
\label{subsec:dictSparseSeparation}
|
||||
|
||||
@@ -360,7 +360,7 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
|
||||
|
||||
上一小节的 \gls{efim} 描述的是估计已落入正确局部吸引域之后的\emph{单峰内}曲率，刻画不了周期多帧\emph{轮廓似然}（profile likelihood，即对其余参数取最优后只保留 Doppler 维的目标函数）沿 Doppler 方向的\emph{全局离散多峰}结构——该多峰形如一排等距排列的尖峰，下文称之为\emph{梳状}（comb）结构，其谱窗口与峰间隔的完整推导见\appref{subsec:A7_frameTimeCombTooth}；它属于局部 \gls{crb} 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。
|
||||
|
||||
直观上，这一多峰结构来自\emph{周期帧定时}本身。各帧在慢时间维度上以近似等间隔 $\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 排列时，跨帧相干合并相当于以采样间隔 $\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 对参考链路 Doppler 相位采样；这与等间隔稀疏阵列出现栅瓣、时间欠采样产生频率混叠是同一机理——相差 $2\pi/\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 的两个 Doppler 值在\emph{每一帧}上给出完全相同的相位增量，相干匹配无从分辨。于是沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的集中目标不再是单峰，而是一排等间隔的峰，即梳状结构的各\emph{梳齿}（tooth）：真值只落在其中一个梳齿上，但仅凭周期数据无法判定是哪一个，此即\emph{齿间模糊}（tooth ambiguity）；选错相邻梳齿会造成约一个齿间隔的整周 Doppler 大误差，正是门限区里典型的离群误差（outlier）。下面用\emph{帧时谱窗}（frame-time spectral window）把这一周期结构定量化。
|
||||
周期帧定时使跨帧相位匹配呈现梳状结构。帧起始偏移为 $\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm f}$ 时，相差 $2\pi/\Delta\tau_{\mathrm f}$ 的两个 Doppler 值在各帧起始点上具有相同相位。帧内采样仍包含不同的相位变化，通常能够区分这些候选值；当帧长远小于帧间隔时，这种差异较小，噪声容易使估计落入相邻峰。这里的齿间模糊指这种全局多峰造成的选择困难，选错相邻峰会产生约一个齿间隔的 Doppler 大误差。
|
||||
|
||||
若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含如下帧时谱窗
|
||||
%
|
||||
@@ -385,7 +385,7 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
|
||||
|
||||
相邻梳齿是否容易区分由两层因素共同决定：单帧导频块的长度 $T$（控制块内 Doppler 相干带宽）与非周期帧子集的窗口形状（控制梳状旁瓣的压制）。
|
||||
当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻梳齿的块内相干损失约为 $\dfrac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻梳齿的分离度。
|
||||
非周期帧子集打破梳状结构的严格周期性，使本来等高的假梳齿退化为受压制的旁瓣、真峰凸显，因而更适合\emph{捕获}正确的梳齿；完整周期数据在梳齿选对之后由于保留更多相干能量，更适合在同一梳齿内\emph{精化}估计。
|
||||
在保持观测能量可比的条件下，非等间隔的帧起始时刻可以减弱帧时谱窗的周期旁瓣。仅从等间隔帧中删去部分帧，仍保留原采样格点上的同相条件，不能自动消除原有梳齿。具体帧集合的捕获能力应结合帧时谱窗、帧内相关和可用能量共同判断。
|
||||
若定义梳齿可分离性为不同 $k$ 下轮廓最优之间的目标差
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
|
||||
@@ -2,7 +2,7 @@
|
||||
\label{sec:userPositioning}
|
||||
|
||||
前五节的主估计目标始终是全局方向 $\boldsymbol\xi$（外加参考星 Doppler）。但 $\boldsymbol\xi$ 只有两个自由度，描述的是``用户在哪个方向''，而多星协作定位真正要回答的是``用户在哪个点''——三维位置 $\mathbf p$。
|
||||
本节沿一个新维度推进——\emph{输出参数化}（从方向到位置的几何反演）——把主参数从 $\boldsymbol\xi$ 换成 $\mathbf p$，其余维度保持最简：单观测块、单用户作为基线、已知导频、各星完全相干，不叠加第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError}、\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节的多用户/时间戳/多帧扩展。
|
||||
本节以有限距离下的用户位置 $\mathbf p$ 为几何参数，先建立逐星视线与差分 Doppler 映射，再引入传播时延。基线采用单观测块、单用户和已知导频，各星采样时间基对齐，复增益独立未知；多用户推广在节末给出，时间戳误差与多帧扩展分别见第~\ref{sec:timestampError}、\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节。
|
||||
关键观察是：第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型，正是位置模型在\emph{远场极限}下的退化——各星共享同一方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；一旦用户与星座的距离有限，各星看到的视线方向不再相同，这一\emph{视差}差异连同差分 Doppler 与差分时延，正是把方向（2 维）补足为位置（3 维）的信息来源。这类``以位置为主参数、由原始观测直接估计''的方法即直接定位（Direct Position Determination，DPD）\cite{liFastAccurateLEO2022,haoInterferenceGeolocationSatellite2021}。
|
||||
详细位置 \gls{crb} 推导见\appref{sec:userPositionCrb}。
|
||||
|
||||
@@ -18,10 +18,10 @@
|
||||
\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\frac{\mathbf r_\ell(\mathbf p)}{\|\mathbf r_\ell(\mathbf p)\|_2}\in\mathbb R^3.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的区别仅在\emph{源的参数化}：那里源是所有卫星共享的全局方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$（远场极限，2 自由度），这里源是位置 $\mathbf p$（3 自由度），经各星视线诱导出\emph{逐星不同}的全局来向 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$——逐星之异源于卫星位置 $\mathbf s_\ell$ 不同（视差），即补足距离维的信息。旋转矩阵 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 始终只做\emph{姿态}变换（把全局来向转入各星本地阵列系）、远场与有限距离都需要且形式不变，仅其输入由共享的 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$ 换成逐星的 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$。沿用同一组本地坐标基，本地来向与本地角度为
|
||||
位置 $\mathbf p$ 经各星视线诱导出不同的方向，视差由各星位置 $\mathbf s_\ell$ 决定。这里 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 指向卫星到用户，与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}~小节中源到接收端的传播方向相反。为沿用相同的阵列导向模板，本地角统一按传播方向计算：先将 $-\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 旋转到阵列坐标系，再求本地方位角与俯仰角，即
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p),
|
||||
\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p),
|
||||
\qquad
|
||||
\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}=\operatorname{atan2}\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1}\big),
|
||||
\qquad
|
||||
@@ -37,7 +37,7 @@
|
||||
也即\emph{每阵列内部仍是平面波模型，阵列导向 $\mathbf a_\ell$ 的形式一字不改}；变的只是``本地角由 $\mathbf p$ 而非 $\boldsymbol\xi$ 诱导''。
|
||||
|
||||
\begin{mdquote}
|
||||
\textbf{远场退化。} 取各星视线趋于共同方向 $\mathbf u_0$ 的远场极限，即 $\mathbf u_\ell(\mathbf p),\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\to\mathbf u_0$。由于地固用户在参考时刻对各链路具有同一个局部速度，FDOA 中的公共用户速度投影在共同方向极限中相减抵消；同时逐星视差消失，第~\ref{sec:userPositioning} 节模型退化为第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型。反之，有限距离下 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\neq\mathbf u_{\ell'}(\mathbf p)$ 的视差是距离维的角度信息来源。
|
||||
\textbf{远场方向极限。} 当各星视线趋于共同方向 $\mathbf u_0$ 时，阵列所用的公共传播方向为 $-\mathbf u_0$。公共用户速度投影在差分 Doppler 中抵消，角度与差分 Doppler 部分与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节一致。完整位置模型还包含传播时延；对齐导频并不利用时延信息后，才得到该节的公共方向观测模型。有限距离下，逐星视线的差异提供视差信息。
|
||||
\end{mdquote}
|
||||
|
||||
\subsection{链路 Doppler 的位置诱导}
|
||||
@@ -71,7 +71,7 @@
|
||||
-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)\right],
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中整体符号取决于上行/去向约定，不影响 \gls{crb}（Fisher 信息对此不变）。关键是 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 与 $\mathbf v_u(\mathbf p)$ 均由参考时刻位置决定，故 $\Delta\nu_\ell$ 不只约束方向、也约束距离。参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作自由标量，吸收参考链路的绝对 Doppler、用户载频与钟偏；由地固状态确定的用户速度不再被整体吸收到 $\nu_{\mathrm{ref}}$，其跨链路差分投影保留在 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 中。由此绝对 Doppler 不进入几何，几何只通过包含相对速度的差分 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 约束 $\mathbf p$。
|
||||
这里采用卫星指向用户的视线与正号 Doppler 投影；换用相反的传播方向时，投影前取负号，与第~\ref{subsec:refSatParameterization}~小节一致。方向定义、阵列相位和 Doppler 符号须配套使用。$\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 与 $\mathbf v_u(\mathbf p)$ 均由参考时刻位置决定，故 $\Delta\nu_\ell$ 同时包含方向和距离信息。参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为自由标量，吸收参考链路的绝对 Doppler 与公共载频偏差；用户速度的跨链路差分投影保留在 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 中。
|
||||
|
||||
\subsection{传播时延的位置诱导与到达时间差}
|
||||
\label{subsec:delayPositionInduced}
|
||||
@@ -161,4 +161,4 @@
|
||||
%
|
||||
其中 $\tau_{\mathrm{ref},k}$ 吸收第 $k$ 个用户的未知发射时刻，逐用户独立。第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$、集中似然对各星 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 列空间的投影、以及用户分离可辨识性，全部与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节及\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 逐字平行，只把 $\boldsymbol\xi_k$ 换成 $\mathbf p_k$、并在时间模板中加入位置诱导时延。
|
||||
|
||||
本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考链路时延与 Doppler、集中似然与 \gls{efim} 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是``位置经逐星视线映射诱导各星本地角、差分 Doppler 与差分时延''这一几何层；全局方向模型为其远场极限。三条位置信息通道中，角度与差分 Doppler 不依赖跨星定时，差分时延（\gls{tdoa}）则携带最直接的距离约束。这正是多星阵列对多用户单天线定位所需的模型接口；多帧连续相位扩展可正交叠加于此。星间定时误差与跨星差分时延落在同一时间轴上、二者只以和被观测，其对位置估计（尤其 \gls{tdoa} 通道）的影响构成下一节的内容。
|
||||
本节建立了有限距离下的三维位置模型，位置通过逐星角度、差分 Doppler 和差分时延进入观测。集中似然与干扰参数消元沿用多星静态模型的方法，几何映射和新增的时延参数则按本节定义。下一节引入时间戳误差：它与传播时延共同决定导频包络的位置，因此会影响时延通道提供的几何信息。
|
||||
|
||||
@@ -1,14 +1,14 @@
|
||||
\section{时间戳误差与部分相干观测}
|
||||
\section{时间戳误差及其估计影响}
|
||||
\label{sec:timestampError}
|
||||
|
||||
前面各节均假设 $L$ 颗卫星之间完全相干——它们以共同的离散时间基记录采样、并共享同一时间原点。实际系统中各星本振与采样时钟独立，星间时钟同步不可能精确到亚采样级别，残余的未知\emph{时间戳误差}使 ``参考时刻 $t=0$'' 在不同卫星上落到不同的物理瞬时。
|
||||
本节作为多星主线的收尾，沿\emph{同步条件}维度把前面各节默认的``星间完全相干''放宽为``参考星完全可信、其余卫星时间戳带未知误差 $\delta_\ell$'' 的\emph{部分相干}观测。之所以置于位置一节之后：$\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量、不影响各星本地 \gls{doa}（窄带假设，见下），而是经相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径恶化 Doppler 与跨星测距，从而主要打在位置估计上——具体地，它与位置的到达时间差通道同轴混淆（第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节）。其余维度（单帧、已知导频、无星间频偏）保持最简。
|
||||
关键现象是：$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 在似然中以乘积形式耦合，产生未知相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$。当 $|\delta_\ell|$ 很小时可作一阶近似并通过 Schur 补消去；当 $|\delta_\ell|$ 大到一个导频符号宽度时必须显式数值搜索。本节按这一切换刻画模型接口与方法适用边界；具体方法选择留给后续工作。详细 \gls{efim} 推导与数值框架见\appref{sec:timestampErrCrb}。
|
||||
前面的多星模型采用共同的采样时间基和时间原点，各星复增益仍独立未知。实际系统中，各星对采样时刻的标记可能存在偏差，使相同时间标签对应不同的物理时刻。这里讨论这种时间戳误差；星间载波相位已知与否是另一项假设，第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节的连续相位结构则约束同一颗卫星的跨帧相位。
|
||||
本节在单帧已知导频模型中加入逐星未知时间戳误差 $\delta_\ell$，参考星取 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，仍不引入独立的星间频偏。先分析方向模型中的导频时移，再讨论位置模型中传播时延与时间戳的混淆。
|
||||
时间戳误差使导频包络平移，并产生一个恒定的 Doppler 相位偏移。在本节的自由复增益模型下，恒定相位可由复增益吸收，剩余影响由包络时移及其与主参数的耦合决定。小偏移时可在零偏移附近展开；偏移较大时使用完整时移模型。两种情况下均可计算局部 \gls{efim}，详细推导见\appref{sec:timestampErrCrb}。
|
||||
|
||||
\subsection{时间戳误差与扰动信号模型}
|
||||
\label{subsec:perturbedSignalModel}
|
||||
|
||||
把\emph{时间戳误差}定义为``某颗卫星实际采样时刻相对其名义采样时刻的偏移''。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准并令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，其余卫星的时间戳误差以采样点数为单位记为
|
||||
把时间戳误差定义为采样点的名义时刻减去实际时刻，以采样点数为单位。因此，标签为 $t$ 的样本对应实际时刻 $t-\delta_\ell$。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准，令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$，其余卫星满足
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\delta_\ell\in\mathbb R,
|
||||
@@ -25,7 +25,7 @@
|
||||
\in\mathbb R^{L-1}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
在第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的多用户基线上引入 $\delta_\ell$，第 $\ell$ 颗卫星接收到的连续时间基带信号被替换为``在偏移 $\delta_\ell$ 后的瞬时上采样''：
|
||||
在第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节的多用户基线上，第 $\ell$ 颗卫星按实际时刻 $t-\delta_\ell$ 观测信号：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec5_signal_model}
|
||||
@@ -80,23 +80,23 @@
|
||||
\mathbf n_\ell(t).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这是部分相干模型的核心结构。两点观察：
|
||||
这一重写说明了两种作用的区别：
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \emph{相位耦合}已被 $\bar\zeta_{\ell,k}$ 吸收，但代价是：原本各星独立的 $\{\zeta_{\ell,k}\}$ 与几何参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ \emph{解耦}的良好性质消失。$\bar\zeta_{\ell,k}$ 显式依赖 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$，把 $\delta_\ell$ 的不确定性以 ``$|\nu_{\ell,k}|\cdot\mathrm{Var}(\delta_\ell)$'' 的形式注入主参数；这是部分相干观测对 Doppler 估计精度的主要恶化来源。
|
||||
\item \emph{导频时间偏移} $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能被吸入复增益。它通过导频的自相关 $R_{s_k}(\delta_\ell)$ 进入似然，且对 $\delta_\ell$ 高度非线性。当 $\delta_\ell$ 远小于一个导频符号宽度时，可作一阶 Taylor 近似 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$，并把 $\delta_\ell$ 作为光滑干扰参数处理；当 $|\delta_\ell|$ 接近或超过导频符号宽度时，这一近似失效，必须显式数值搜索。
|
||||
\item \emph{恒定相位由复增益吸收}。给定主参数和 $\delta_\ell$，$\zeta_{\ell,k}$ 与 $\bar\zeta_{\ell,k}$ 一一对应，后者仍可作为自由复干扰参数。消去复增益后，恒定相位不再提供独立的时间戳信息，也不单独造成 Doppler 信息损失。
|
||||
\item \emph{包络时移决定剩余影响}。一般导频的 $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能用一个复标量表示。其导数在复增益子空间之外的分量提供时间戳信息，并可能与 Doppler 等主参数的有效导数重叠。若导频为单音，时移仅改变复幅度，则时间戳不可辨识，但不会因此使 Doppler 不可辨识。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsection{适用性边界：小误差 vs.\ 大误差}
|
||||
\label{subsec:timestampApplicability}
|
||||
|
||||
记导频自相关的有效宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计），即 $R_{s_k}(\delta)$ 衰减到 $1/2$ 的特征尺度。本节方法的适用性按 $|\delta_\ell|$ 相对于 $T_{\mathrm{ac}}$ 与 $1/|\nu_{\ell,k}|$ 的量级分两段：
|
||||
记导频自相关的特征宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计）。它可用于判断零偏移附近的包络展开是否合适，实际误差还取决于导频的导数和观测窗口：
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \textbf{小误差区}（$|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\ll\pi$）：导频时间偏移可一阶 Taylor 展开；相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 把均值向量改写为关于 $\delta_\ell$ 的近似线性扰动。$\boldsymbol\delta$ 进入似然的 Fisher 信息块光滑可逆，可在 \gls{efim} 框架内通过 Schur 补\emph{解析}消去。详细推导见\appref{subsec:F2_schurDelta}。
|
||||
\item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。\gls{efim} 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由 \eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。
|
||||
\item \textbf{小偏移近似}：当 $|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且高阶余项足够小时，采用 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$。由此得到零偏移附近的信息矩阵，见\appref{subsec:F2_schurDelta}。Schur 补需在可辨识的干扰参数子空间上计算。
|
||||
\item \textbf{完整时移模型}：偏移较大时，直接使用 $s_k(t-\delta_\ell)$ 及其导数计算局部 \gls{efim}，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。如果似然存在多个峰，还需分析全局搜索和跳峰误差；局部 \gls{crb} 本身不能预测这些误差。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
实际星间场景下，物理量级一般落在小误差区与大误差区之间的过渡带：实测残差的具体数值取决于平台本振稳定度与所采用的星间同步协议，本笔记不展开。当残差换算到采样点后跨越导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$，就需要从小误差解析方案切换到大误差数值方案；该过渡带正是后续数据驱动的干扰参数补偿方法的目标工作点。
|
||||
小偏移展开与完整模型的选择取决于近似精度；局部界与全局误差分析的区别取决于估计是否落在正确峰附近。两者应分别判断。
|
||||
|
||||
\subsection{联合似然与 EFIM 结构概览}
|
||||
|
||||
@@ -162,7 +162,7 @@
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}
|
||||
先消去复增益，再消去可辨识的时间戳参数，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec5_efim}
|
||||
@@ -181,7 +181,7 @@
|
||||
\subsection{时延通道下的时间戳混淆与多用户解}
|
||||
\label{subsec:tauDeltaConfound}
|
||||
|
||||
上面把 $\delta_\ell$ 加在多用户 \gls{doa} 基线（第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节）上时，导频时移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 落在一根本身不含距离信号的时间轴上，$\delta_\ell$ 只经相位与 Doppler 间接影响主参数。一旦接上第~\ref{sec:userPositioning} 节的传播时延通道，这根时间轴上就有了携带距离的 $\tau_\ell(\mathbf p)$，$\delta_\ell$ 与它同轴——这才是 $\delta_\ell$ ``主要打在位置上''的主通道。
|
||||
方向模型中，时间戳通过导频包络时移进入观测，其对主参数的影响由消去复增益后的交叉信息决定。在第~\ref{sec:userPositioning}~节的位置模型中，导频包络还包含传播时延，因而时间戳与几何时延直接相加。
|
||||
把 $\delta_\ell$ 叠加到含时延的位置模型，第 $\ell$ 星导频包络为 $s\big(t-\tau_\ell(\mathbf p)-\delta_\ell\big)$，观测到的总时延为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@@ -189,14 +189,14 @@
|
||||
=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
对参考星差分消去公共的 $\tau_{\mathrm{ref}}$（含未知发射时刻），得观测到达时间差 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell$：携带位置的 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与时间戳 $\delta_\ell$ \emph{同轴相加、不可分}。这正是第~\ref{sec:userPositioning} 节末尾预告的 $\tau$--$\delta$ 同轴矛盾。
|
||||
对参考星作差可消去公共的 $\tau_{\mathrm{ref}}$，得到观测时延差 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell$。仅凭这一时延差，不能分别确定几何时延与时间戳误差；还需其他几何观测或参数约束。
|
||||
|
||||
在 Fisher 信息层面，群时延模型下（载波相位吸入 $\zeta_\ell$）$\delta_\ell$ 只经包络进入，其对均值向量的导数 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 与时延模板同形，与参考时延列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\tau_{\mathrm{ref}}$ 完全相同、与位置列的时延贡献共线。由此分两种情形：
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \textbf{单用户退化}：$L-1$ 个自由 $\delta_\ell$ 各自吸收该星的包络位移方向，恰好张成 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 携带距离信息的同一组方向。对 $\boldsymbol\delta$ 作 Schur 边缘化后，时延/\gls{tdoa} 通道对距离的净贡献被抵消，位置退回角度（与差分 Doppler）通道——\gls{efim} 在距离方向退化。
|
||||
\item \textbf{多用户恢复}：$\delta_\ell$ 是逐星参数（每颗星一个时间戳）、被该星 $K$ 个用户共享，而各用户的几何与空间签名（即阵列响应 $\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$）互异。单个 $\delta_\ell$ 只能吸收一个合成包络位移方向，$K$ 个用户的 \gls{tdoa} 信息张成至多 $K$ 个方向，故 $K-1$ 个方向在 $\boldsymbol\delta$ 边缘化后存活——时延通道随用户数恢复。等价地，同星不同用户的观测到达时间差相减即消去共享 $\delta_\ell$、超定地将其定出。
|
||||
\item \textbf{单用户}：每颗非参考星的自由 $\delta_\ell$ 可吸收该星的几何时延变化。进一步消去参考时延后，包络时移不再提供独立的位置信息。位置是否仍可辨识，取决于角度和差分 Doppler 的几何约束。
|
||||
\item \textbf{多用户}：每颗星的 $\delta_\ell$ 被各用户共享。在用户时延有效导数彼此独立时，消去这一实参数后，每星可保留 $K-1$ 个用户间相对时延方向。它们能否转化为独立的位置信息，还需结合参考时延参数、用户分离和卫星几何检验整体 Jacobian 的秩。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
故跨星定时误差对位置的影响并非``多一个未知参数''式的普遍恶化，而是\emph{结构性}地落在 \gls{tdoa} 通道上：单用户时它吃掉整条测距增益、位置退回纯角度交会；多用户共享结构是 $\delta_\ell$ 可辨识、\gls{tdoa} 通道净增益的必要条件。详细 Fisher 分块、$\boldsymbol\delta$-边缘化的秩损失与多用户恢复见\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}。
|
||||
共享时间戳使不同用户的相对时延有可能保留信息，但用户数增加本身并不保证位置与时间戳均可辨识。单用户也可能依靠角度与差分 Doppler 确定位置，再由时延估计时间戳。相关投影关系见\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}。
|
||||
|
||||
\subsection{忽略时间戳误差时的 MCRB}
|
||||
\label{subsec:mcrbIgnoreDelta}
|
||||
@@ -214,9 +214,9 @@
|
||||
%
|
||||
与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。
|
||||
|
||||
在第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置模型上，这一偏置有明确的几何指向：偏置方向由 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息决定（一阶表达见\appref{subsec:F5_mcrb}），而群时延模型下 $\delta_\ell$ 的均值导数与时延列共线（第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节），故偏置落在 \gls{tdoa} 通道方向上——沿\emph{距离}维、量级正比于时间戳 $\delta_\ell^\star$，而对 $\delta$ 免疫的角度通道不受偏置。于是 \gls{efim} 与 \gls{mcrb} 是同一 $\tau$--$\delta$ 混淆的两面：估计 $\boldsymbol\delta$ 在 \gls{tdoa} 通道上损失\emph{方差}（\gls{efim} 被 Schur 补扣减），忽略 $\boldsymbol\delta$ 在同一通道上换来\emph{偏置}（位置距离维偏移 $\sim\delta^\star$）。
|
||||
在位置模型中，偏置由时间戳有效导数与位置有效导数的交叉信息决定。传播时延是误差进入几何估计的一条途径，但经过联合求逆后，位置偏置通常不局限于某个径向方向。角度观测本身不含时间戳，也不意味着联合位置估计的横向分量必然无偏。
|
||||
|
||||
需要强调，上述 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是局部（小误差）刻画：少用户下``位置--时间戳''模糊带来的信息损失已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化惩罚承载（\appref{sec:timestampErrCrb}），无需另立界；门限以下的大误差则属失效区行为。作为主线之外的扩展，误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 门限界见\appref{sec:thresholdBounds}，主线不依赖它们。
|
||||
|
||||
本节完成了部分相干观测下的扰动模型、适用性边界与时延通道混淆的刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 \gls{efim} 解析消去，落在大误差区时必须数值处理；若估计器索性假设同步而忽略 $\boldsymbol\delta$，相应下界由 \gls{mcrb} 给出。接上第~\ref{sec:userPositioning} 节的传播时延通道后，$\delta_\ell$ 与携带距离的 $\tau_\ell(\mathbf p)$ 同轴：单用户时它吃掉整条到达时间差测距增益、位置退回纯角度交会，多用户共享 $\delta_\ell$ 的结构则是其可辨识与测距增益净存活的必要条件。
|
||||
本节给出了时间戳误差下的联合模型与局部信息分析。自由复增益吸收恒定相位，包络时移决定剩余信息损失；忽略可观测的包络时移时，还可能产生模型失配偏置。在位置模型中，自由逐星时间戳可吸收单用户的差分时延信息，多用户共享结构则可能保留用户间的相对时延约束。
|
||||
至此，多星主线从单阵列 \gls{doa} 递进到含时延、Doppler 与时间戳的多用户协同定位模型；亚波长载波相位干涉与移动用户测速作为更强但要求更苛的通道，可正交叠加于此。
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user