josh
d7f4cfbfcd
把 E.2 隐含的用户耦合显式化为码分场景的诚实界(标准 CDMA
多用户估计理论、非新界):
- 码 Gram R_l=Q_l^H Q_l 显式代入,空时交叠按 Kronecker 分解为
码×空间两因子;R=I 退回 sec4 逐用户充分统计量与单用户界。
- 对其余 K-1 用户取 Schur 补 → 单用户有效 EFIM + MAI 惩罚项
(码正交时为零、非正交时随 K 与互相关增重)。
- (a) 可达地板(MAI 物理极限、任何估计器消不掉)与 (b) 估计器
次优(附录 I 分离器逼近地板、超出部分)分离。
- SINR 型有效 CRB 闭式替代:解相关噪声放大、有效 SNR=SNR/
[R^{-1}]_kk(承 Verdu/Tse),满 FIM 病态时的干净可算读数。
- 位置/δ 版复用 G/H,码 Gram 与共享 δ 分落用户块与跨星块。
sec4 逐星充分统计量处加指针(近正交前提 → 非正交留 MAI 地板)。
paper-agnostic:不提 Contribution/route/AI 卖点。
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\section{多用户扩展}
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\label{sec:multiSatMultiUser}
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第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星看到的来向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节沿\emph{参数空间}维度推进一步：把用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，其余维度（单帧静态、各星完全相干、已知导频）保持最简。
|
||
数学上这只是把每个用户的参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 独立堆叠；但物理上引入了第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节不存在的新问题——\emph{用户分离的可辨识性}。当两个用户的 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 在所有 $L$ 条链路上同时接近时，集中似然曲面会出现伪极值，这一退化结构也是后续数据驱动的干扰参数补偿方法的自然接入位置。本节用几何直觉指出这一现象，不展开严格证明；详细 \gls{crb} 与多用户 \gls{fim} 分块推导见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
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\subsection{多用户信号模型}
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\label{subsec:multiUserSignalModel}
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设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出
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%
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\begin{equation}
|
||
\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
|
||
\triangleq
|
||
\nu_{\mathrm{ref},k}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi_k),
|
||
\qquad
|
||
\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi_k)\equiv 0.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
注意 $\Delta\nu_\ell(\cdot)$ 由卫星几何决定，不依赖用户索引 $k$；$k$ 只通过 $\boldsymbol\xi_k$ 与 $\nu_{\mathrm{ref},k}$ 进入。
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||
每个用户对每颗卫星都有一个未知复干扰系数 $\zeta_{\ell,k}\in\mathbb C$。第 $\ell$ 颗卫星在采样点 $t$ 的接收向量为各用户贡献的叠加：
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%
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\begin{equation}
|
||
\mathbf y_\ell(t)
|
||
=
|
||
\sum_{k=1}^{K}
|
||
\zeta_{\ell,k}
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
|
||
s_k(t)
|
||
e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})t}
|
||
+
|
||
\mathbf n_\ell(t),
|
||
\qquad
|
||
\mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $s_k(t)$ 为第 $k$ 个用户的已知导频，可逐用户彼此不同；噪声仍假设星间异方差、星内同方差。
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||
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||
定义第 $(\ell,k)$ 对的时间模板与空时导向向量
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf q_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
s_k(0)e^{j\nu_{\ell,k}\cdot 0},
|
||
\cdots,
|
||
s_k(T-1)e^{j\nu_{\ell,k}(T-1)}
|
||
\end{bmatrix}^\Tran
|
||
\in\mathbb C^{T\times 1},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf g_{\ell,k}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
将第 $\ell$ 颗卫星观测按列向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell=\vect(\mathbf Y_\ell)$，则
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:sec4_vec_model}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
=
|
||
\sum_{k=1}^{K}
|
||
\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}
|
||
+
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell
|
||
=
|
||
\mathbf G_\ell\boldsymbol\zeta_\ell
|
||
+
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
\triangleq
|
||
\big[
|
||
\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}
|
||
\big]
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times K},
|
||
\qquad
|
||
\boldsymbol\zeta_\ell
|
||
\triangleq
|
||
\big[\zeta_{\ell,1},\ldots,\zeta_{\ell,K}\big]^\Tran,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
$\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq[\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran$。
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||
|
||
\subsection{多用户主参数与干扰参数}
|
||
|
||
主参数堆叠为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
|
||
\triangleq
|
||
\big[
|
||
\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
|
||
\ldots,
|
||
\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
|
||
\big]^\Tran
|
||
\in\mathbb R^{3K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
干扰参数为各星各用户的复增益与噪声方差
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\Big[
|
||
\{\zeta_{\ell,k}\}_{\ell,k},
|
||
\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\Big]^\Tran.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
当 $K=1$ 时 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 退化为静态主参数 $\boldsymbol\eta$（式~\eqref{eq:eta_main}），对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节。
|
||
|
||
\subsection{联合似然与集中似然}
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||
|
||
各星条件独立，圆对称复高斯，多用户联合负对数似然为
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||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\mathcal L_{\mathrm{mu}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}})
|
||
=
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\left[
|
||
M_\ell T\log\sigma_\ell
|
||
+
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\left\|
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
-
|
||
\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
|
||
\right\|_2^2
|
||
\right].
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
在 $\mathbf G_\ell$ 列满秩的假设下（要求 $K\le M_\ell T$ 且各列方向充分分离），对 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 的闭式消元给出
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||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\widehat{\boldsymbol\zeta}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
=
|
||
\big(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell\big)^{-1}
|
||
\mathbf G_\ell^\Herm
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
代回并再对 $\sigma_\ell$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则
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||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:sec4_concentrated}
|
||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\argmin_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
M_\ell T
|
||
\log
|
||
\left[
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
\right],
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\triangleq\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm$，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}=\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$。详细矩阵代入见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
|
||
|
||
若噪声方差已知，可退化为加权空时匹配形式
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\argmax_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的单用户加权融合相比，差别在于每颗卫星的匹配子空间从一维 $\mathbf g_\ell$ 升级为 $K$ 维 $\mathbf G_\ell$ 列空间；多用户的耦合\emph{在每颗卫星内部}通过 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的非对角元体现。
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||
\subsection{逐星充分统计量与匹配滤波压缩}
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||
\label{subsec:perSatSufficientStat}
|
||
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||
集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 还隐含一个对分布式处理至关重要的结构：第 $\ell$ 颗卫星的原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell\in\mathbb C^{M_\ell T}$ 只通过它在 $\mathbf G_\ell$ 列空间上的投影进入目标函数，即只通过匹配输出 $\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell$ 与总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$ 进入。给定字典 $\mathbf G_\ell$（由主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 决定），二元组 $(\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell,\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2)$ 即该星似然贡献的充分统计量：高维采样可压缩到这一低维匹配统计量而不损失关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的信息。
|
||
|
||
当各用户空时导向向量趋于正交时，这一压缩可进一步\emph{逐用户}解耦。沿第 $k$ 个用户的时间模板 $\mathbf q_{\ell,k}$ 压缩时间维、保留空间维，得第 $(\ell,k)$ 对的空间匹配输出
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:sec4_matched_channel}
|
||
\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
即上行等效信道向量 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的匹配滤波估计，其均值为 $\mathbf h_{\ell,k}$。利用 $\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell=\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*=\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\,\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$，当 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 趋于对角时，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的每星投影项分解为各用户的独立贡献之和
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:sec4_decoupled}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
\;\longrightarrow\;
|
||
\sum_{k=1}^{K}
|
||
\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\,
|
||
\frac{\big|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\big|^2}
|
||
{\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|_2^2},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
即每个用户的贡献退化为对其空间匹配输出 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的本地 \gls{doa} 匹配。集合 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}_{k=1}^{K}$ 于是成为第 $\ell$ 颗卫星对各用户主参数的充分统计量：各星无须回传原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell$，只回传 $M_\ell$ 维的逐用户复信道响应 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$，即足以在融合端重建本星贡献的角度信息。这是``逐星本地处理、只回传逐用户复响应''这一分布式接口的信息论依据。该逐用户解耦以码近正交（$\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 近对角）为前提；短导频下 $K$ 个码无法两两正交，残留的多址干扰在多用户 \gls{crb} 上留下一个任何估计器都无法消除的地板，其显式刻画见\appref{subsec:E3_maiCrb}。
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||
|
||
这一压缩有两点限定，决定了它在后续跨星融合中的可用边界：
|
||
\begin{enumerate}
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||
\item \emph{充分性条件于时间模板已知}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖链路 Doppler $\nu_{\ell,k}$，故形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 前须先给定或本地估计 Doppler；真正无条件充分的是匹配输出在 Doppler（后续含时延）假设网格上的整张曲面，将其塌缩为单个 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 仅在观测块内 Doppler 近常数时近似无损。
|
||
\item \emph{$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 不含匹配峰的位置}。它编码本星本地 \gls{doa}（$\mathbf a_\ell$ 的方向）与复增益（幅度与相位），但匹配峰在 Doppler（及后续时延）网格上的\emph{位置}是形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 时所匹配的模板取值，须作为独立标量另行保留。故仅由 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 可重建各星本地 \gls{doa} 与相位，而跨星测距、测速所需的时延差与 Doppler 差还需保留这些峰位标量。这一区分在第~\ref{sec:userPositioning}--\ref{sec:timestampError} 节引入传播时延后，成为跨星差分能否干净取出到达时间差的关键。
|
||
\end{enumerate}
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|
||
\subsection{用户分离的可辨识性}
|
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\label{subsec:userSeparability}
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||
\eqref{eq:sec4_concentrated} 的目标函数依赖于矩阵 $\mathbf G_\ell$ 是否列满秩。考虑两个用户 $(k,k')$，其空时导向向量在第 $\ell$ 颗卫星上的内积
|
||
%
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\begin{equation}
|
||
\rho_{\ell,kk'}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\big|\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\mathbf g_{\ell,k'}\big|}
|
||
{\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
描述了二者在该卫星空时维度上的相干度。$\rho_{\ell,kk'}$ 由三个因素共同决定：
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item 局部导向矢量相干 $\dfrac{|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})|}{\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\|}$，反映两个用户在该星本地角度域的分离；
|
||
\item 时间模板相干 $\dfrac{|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|}$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定；
|
||
\item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。
|
||
\end{enumerate}
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当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向趋于奇异，集中似然曲面在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立、对应 \gls{crb} 发散），用户分离的可辨识性丧失。
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||
|
||
多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内的间隔小于一个波束宽度），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。
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||
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||
严格可辨识性可写成对所有用户对 $(k,k')$ 的多星联合分离条件，其与 \gls{efim} 非奇异性的等价关系由\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 中多用户 \gls{fim} 分块给出。本节只用上述几何直觉刻画用户分离失效的结构来源，为后续数据驱动的干扰参数补偿方法留出接口；具体方法、输入输出与训练设置不在本笔记范围内。
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\subsection{分离的低复杂度路径：字典化与稀疏恢复}
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\label{subsec:dictSparseSeparation}
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\eqref{eq:sec4_concentrated} 的联合分离对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影，每次目标评估含 $K\times K$ 矩阵求逆、复杂度 $O(K^3)$，并需对连续的延时--Doppler--角度参数良好初始化。一条等价的低复杂度路径是把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离改写为对一个\emph{已知}字典的\emph{行稀疏}恢复 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$：字典原子为各用户码在各网格点的时间模板，活跃用户对应少数非零行，行值即其空间信道 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$、行所在网格点即 $(\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k})$，与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户输出一致。该行稀疏问题可由近似消息传递（AMP）或稀疏贝叶斯学习（SBL）以每星每迭代近线性于问题规模的代价求解，替代联合最大似然的 $O(K^3)$，离格误差以粗网格定位加局部细化补偿。字典构造、AMP/SBL 不动点迭代与去噪算子的完整推导见\appref{sec:dictSeparationAmp}。
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||
本节完成了多用户主线静态基线：用户索引 $k$ 进入 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$、$\zeta_{\ell,k}$、$s_k(t)$，集中似然仍可写为对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影的加权和，但矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的良态性约束了用户分离的可辨识性。
|
||
下一节将沿\emph{观测窗口}维度推进，把单帧推广为多帧观测窗口，引入跨帧绝对相位连续性。
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