doa_doppler_est/parts/A5-detDoaDopplerCrb.tex

\section{单阵列确定信号 DoA--Doppler 估计的 CRB 推导}
\label{sec:det_doa_doppler_crb}

本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 DoA--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)\boldsymbol\zeta
  +
  \tilde{\mathbf n},
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}),
\end{equation}
其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。因此
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}\big(\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa),\sigma\mathbf I_{MT}\big),
  \qquad
  \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta.
\end{equation}
本附录使用完整参数向量
\begin{equation}
  \boldsymbol\kappa
  =
  \begin{bmatrix}
    \sigma,
    (\boldsymbol\zeta^{(r)})^\Tran,
    (\boldsymbol\zeta^{(i)})^\Tran,
    \boldsymbol\nu^\Tran,
    \bm\theta^\Tran
  \end{bmatrix}^\Tran,
\end{equation}
其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 DoA 情形下的角度向量；若使用二维 DoA 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。


\subsection{FIM 元素的通式}

由于协方差 $\sigma\mathbf I_{MT}$ 只依赖噪声方差，而其他参数只通过均值向量进入，因此均值参数之间的 Fisher 信息为
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
  =
  \frac{2}{\sigma}
  \Re\left\{
    \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_i}\right)^\Herm
    \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_j}\right)
  \right\},
\end{equation}
噪声方差自身的信息为
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma\sigma}
  =
  \frac{MT}{\sigma^2},
\end{equation}
且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 FIM。

\subsection{偏导数求取}

定义时间索引向量和对角矩阵
\begin{equation}
  \mathbf t
  \triangleq
  [0,1,\ldots,T-1]^\Tran,
  \qquad
  \mathbf T_d
  \triangleq
  \diag(0,1,\ldots,T-1).
\end{equation}
由 $[\mathbf q_k(\nu_k)]_t=s_k(t)e^{j\nu_k t}$ 可得
\begin{equation}
  \dot{\mathbf q}_k
  \triangleq
  \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k}
  =
  j\mathbf T_d\mathbf q_k(\nu_k).
\end{equation}
再定义空间导向矢量和空时导向列向量的一阶导数为
\begin{equation}
  \dot{\mathbf a}_k
  \triangleq
  \frac{\partial\mathbf a(\theta_k)}{\partial\theta_k},
\end{equation}
\begin{equation}
  \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_k}
  \triangleq
  \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\theta_k}
  =
  \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\dot{\mathbf a}_k,
  \qquad
  \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_k}
  \triangleq
  \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\nu_k}
  =
  \dot{\mathbf q}_k\otimes\mathbf a(\theta_k).
\end{equation}
进一步写成矩阵形式
\begin{equation}
  \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}
  \triangleq
  \left[
    \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_1},\ldots,
    \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_K}
  \right]
  \in\mathbb C^{MT\times K},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}
  \triangleq
  \left[
    \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_1},\ldots,
    \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_K}
  \right]
  \in\mathbb C^{MT\times K}.
\end{equation}
由此，对复增益、Doppler 和角度的一阶偏导为
\begin{equation}
  \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(r)}}
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st}},
  \qquad
  \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(i)}}
  =
  j\mathbf B_{\mathrm{st}},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf J_{\boldsymbol\nu}
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_{\zeta},
  \qquad
  \mathbf J_{\bm\theta}
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_{\zeta},
\end{equation}
其中 $\mathbf D_\zeta=\diag(\zeta_1,\ldots,\zeta_K)$。

\subsection{消去复增益后的 DoA--Doppler EFIM}

令
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\theta\nu}
  \triangleq
  \left[\bm\theta^\Tran,\boldsymbol\nu^\Tran\right]^\Tran,
  \qquad
  \mathbf J_{\boldsymbol\eta}
  \triangleq
  \left[
    \mathbf J_{\bm\theta},
    \mathbf J_{\boldsymbol\nu}
  \right].
\end{equation}
完整均值参数 Jacobian 可写为
\begin{equation}
  \mathbf J_{\mathrm{mean}}
  =
  \left[
    \mathbf B_{\mathrm{st}},
    j\mathbf B_{\mathrm{st}},
    \mathbf J_{\boldsymbol\eta}
  \right],
  \qquad
  \mathcal I_{\mathrm{mean}}
  =
  \frac{2}{\sigma}\Re\{\mathbf J_{\mathrm{mean}}^\Herm\mathbf J_{\mathrm{mean}}\}.
\end{equation}
由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 EFIM 为
\begin{equation}
  \label{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu})
  =
  \frac{2}{\sigma}\Re\left\{
  \begin{bmatrix}
    \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\theta}^\Herm \\
    \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}^\Herm
  \end{bmatrix}
  \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp
  \begin{bmatrix}
    \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_\zeta &
    \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta
  \end{bmatrix}
  \right\},
\end{equation}
其中
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp
  =
  \mathbf I_{MT}
  -
  \mathbf B_{\mathrm{st}}
  (\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}})^{-1}
  \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm.
\end{equation}
将式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 分块写为
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu})
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\theta\theta} & \mathcal I_{\theta\nu} \\
    \mathcal I_{\nu\theta} & \mathcal I_{\nu\nu}
  \end{bmatrix}.
\end{equation}

\subsection{仅关心 DoA 或 Doppler 时的 CRB}

若同时估计 DoA 和 Doppler，则
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu})
  =
  \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}).
\end{equation}
若只关心 DoA，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\bm\theta)
  =
  \left(
    \mathcal I_{\theta\theta}
    -
    \mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta}
  \right)^{-1}.
\end{equation}
类似地，若只关心 Doppler，并把 DoA 视为实值干扰参数，则
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\boldsymbol\nu)
  =
  \left(
    \mathcal I_{\nu\nu}
    -
    \mathcal I_{\nu\theta}\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}\mathcal I_{\theta\nu}
  \right)^{-1}.
\end{equation}
需要注意，$\boldsymbol\nu$ 是实值干扰参数，因此不能把
$\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影
$\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。
正确做法是先消去复增益，再在实值参数 EFIM 中对 Doppler 做 Schur 补。
若 Doppler 已知，则 DoA 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 DoA--Doppler 耦合带来的信息损失。

当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 DoA 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 DoA 的 CRB。

该单阵列空时 CRB 说明 DoA 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。