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@@ -21,13 +21,11 @@ tags:
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- 波束方向图
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# 阵列信号处理的目的及基本坐标系
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  假设在空时场（space-time field）的某个区域内有一个或多个信号，同时在某些区域内存在噪声和/或干扰。在一些阵列信号处理的应用场景中，这些区域是部分重叠的。阵列可以利用信号的空域特征，对空时场域内的信号进行滤波。这种滤波可以用一种与角度或波数的相关性（in terms of a dependence upon angle or wavenumber）进行描述。从频域看，这种滤波是通过使用复增益对阵列输出进行加权，根据信号的空域相关性对信号进行增强或抑制来实现的。通常我们对空时场进行空域滤波的目的是：使得从一个（或一组）特定角度到来的信号通过有效的组合得到增强，抑制从其他角度到来的噪声或干扰。
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  假设空时场（space-time field）同时存在信号（signal）、噪声（noise）和/或干扰（interference），这些信号/干扰空时场中可能是重叠的。阵列（Array）可以利用信号的空域特征，对空时场域内的信号进行滤波，过滤的过程可以用角度或波数的函数来表示（in terms of a dependence upon angle or wavenumber）。从频域看，这种滤波通过使用复增益（complex gain）对阵列输出进行加权，可以根据信号的空域相关性对信号进行增强或抑制。对空时场进行空域滤波的目的是：使从一个或一组特定角度到来的信号通过有效的组合得到增强，抑制从其他角度到来的噪声或干扰。
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<a id="fig.1-1-1"></a>
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{width=600px}
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{width=600px}
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  在分析之前首先需要明确采用的坐标系，如[图 1-1-1](#fig.1-1-1) 所示，直角坐标系和球坐标系的关系也在其中标明：
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@@ -43,6 +41,10 @@ z &= r \cos\theta
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# 阵列的基本模型
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<a id="fig.1-1-2"></a>
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{width=600px}
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  下面分析一个阵列对外部信号场的响应。阵列由一组全向阵元组成，阵元的位置为 $\left\{ \boldsymbol{p}_n \right\}_{n=0}^{N-1}$，如[图 1-1-2](#fig.1-1-2) 所示。阵列在各阵元处对信号场进行采样，产生一组信号，记为矢量 $\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{p}\right)$
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$$\begin{equation}
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@@ -62,21 +64,17 @@ $$\begin{equation}
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{% endnote %}
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<a id="fig.1-1-2"></a>
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{width=600px}
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  将每个阵元的输出（即采样结果）通过冲激响应为 $h_n(\tau)$ 的线性时不变滤波器，求和可得阵列的输出 $y(t)$，如[图 1-1-3](#fig.1-1-3) 所示。假设观察间隔足够长（可以考虑为无限长），则阵列输出 $y(t)$ 可以写成卷积积分的形式：
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$$\begin{equation}
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y(t) = \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} h_n (t-\tau)f_n\left(\tau,\boldsymbol{p}_n\right) \mathrm{d} \tau
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\end{equation}$$
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<a id="fig.1-1-3"></a>
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{width=600px}
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{width=600px}
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可以用矢量符号表示为（即将标量结果向矢量模型进行直接扩展，a straightforward extension of scalar results to the vector model）
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  将每个阵元的输出（即采样结果）通过冲激响应为 $h_n(t)$ 的线性时不变滤波器，求和可得阵列的输出 $y(t)$，如[图 1-1-3](#fig.1-1-3) 所示。假设观察间隔足够长（可以考虑为无限长），则阵列输出 $y(t)$ 可以写成卷积积分的形式：
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$$\begin{equation}
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y(t) = \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} h_n (t-\tau)f\left(\tau,\boldsymbol{p}_n\right) \mathrm{d} \tau
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\end{equation}$$
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用矢量符号表示为（即将标量结果向矢量模型进行直接扩展，a straightforward extension of scalar results to the vector model）
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<a id="VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain"></a>
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@@ -87,11 +85,11 @@ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{h}^\mathrm{T} (t-\tau) \boldsymbol{f}
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其中
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$$\begin{equation} \label{ImpulseResponse}
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\boldsymbol{h}(\tau) = \left[ \begin{array}{c}
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h_0(\tau) \\
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h_1(\tau) \\
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\boldsymbol{h}(t) = \left[ \begin{array}{c}
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h_0(t) \\
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h_1(t) \\
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\vdots \\
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h_{N-1}(\tau)
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h_{N-1}(t)
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\end{array}
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\right]
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\end{equation}$$
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@@ -99,10 +97,7 @@ $$\begin{equation} \label{ImpulseResponse}
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也可以把式 $\eqref{VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain}$ 给出的阵列输出在变换域表示为
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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Y(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t \\
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&= \boldsymbol{H}^\mathrm{T}(\omega) \boldsymbol{F}(\omega)
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\end{aligned}
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Y(\omega) = \boldsymbol{H}^\mathrm{T}(\omega) \boldsymbol{F}(\omega)
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\end{equation}$$
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其中
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@@ -112,7 +107,7 @@ $$\begin{equation}
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation} \label{SampleVectorInFreqDomain}
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\boldsymbol{F} \left(\omega,\boldsymbol{p}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{f}\left(\tau,\boldsymbol{p}\right) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t
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\boldsymbol{F} \left(\omega,\boldsymbol{p}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{f}\left(t,\boldsymbol{p}\right) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t
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\end{equation}$$
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在大多数情况下，可以去掉式 $\eqref{SampleVectorInFreqDomain}$ 中左边的 $\boldsymbol{p}$，直接使用 $\boldsymbol{F}(\omega)$ 。
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@@ -123,9 +118,9 @@ $$\begin{equation} \label{SampleVectorInFreqDomain}
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<a id="fig.1-1-4"></a>
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{width=600px}
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{width=600px}
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  由于信号到达不同阵元的时间不同，因此第一种方式强调信号到达不同阵元的时间延时。设 $f(t)$ 是**在坐标系原点接收到的信号**，其在变换域表示为 $F (\omega)$，则
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  由于信号到达不同阵元的时间不同，设 $f(t)$ 是**在坐标系原点接收到的信号**，其在变换域表示为 $F (\omega)$，则
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$$\begin{equation} \label{DelayedSignal}
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\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{p}) = \left[
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@@ -183,7 +178,7 @@ $$\begin{equation} \label{RelativeDelayWithDirectionCosine}
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根据式 $\eqref{DelayedSignal}$，$\boldsymbol{F}(\omega)$ 的第 $n$ 个分量为（利用 Fourier 变换的时移性质）
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$$\begin{equation}
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F_n(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j \omega t} f(t - \tau_n) \mathrm{d} t = e^{j \omega \tau_n} F (\omega)
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F_n(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j \omega t} f_n(t - \tau_n) \mathrm{d} t = e^{j \omega \tau_n} F (\omega)
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\end{equation}$$
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其中
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@@ -240,7 +235,7 @@ $$\begin{equation}
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<a id="fig.1-1-5"></a>
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{width=600px}
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{width=600px}
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  如[图 1-1-5](#fig.1-1-5) 所示，把每个阵元的输入信号进行时移、相加、归一化，使得输出为 $f(t)$，其中
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@@ -264,7 +259,7 @@ $$\begin{equation}
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# 单位平面波模型
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  现在回更到一般的问题，要确定阵列对一个输入场 $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{p})$ 的响应，可以通过之前给出的卷积求和操作来实现，但更有用的方法是首先确定阵列对单位平面波（unit plane wave）的响应，响应为单位平面波时域（弧度）频率 $\omega$ 和波数 $\boldsymbol{k}$ 的函数。（利用叠加的复指数基函数对一个线性时不变系统进行分析的系统理论方法可以扩展到空时信号的情况。）
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  更一般的，要确定阵列对一个输入信号场 $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{p})$ 的响应，可以通过之前给出的卷积求和操作来实现，但更有用的方法是确定阵列对单位平面波（unit plane wave）的响应，将响应表示为时域（弧度）频率 $\omega$ 和波数 $\boldsymbol{k}$ 的函数，然后将线性时不变系统中复指数基函数叠加分析的系统理论方法扩展到空时信号的情况。
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  取基函数
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@@ -284,7 +279,7 @@ $$\begin{equation} \label{ArrayResponseToUnitPlaneWaveInTimeDomain}
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y \left( t, \boldsymbol{k} \right) = \boldsymbol{H}^\mathrm{T} (\omega) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right) e^{j\omega t}
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\end{equation}$$
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其中 $\boldsymbol{H} (\omega)$ 是式 $\eqref{ImpulseResponse}$ 中 $\boldsymbol{h}(\tau)$ 的傅里叶变换。
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其中 $\boldsymbol{H} (\omega)$ 是式 $\eqref{ImpulseResponse}$ 中 $\boldsymbol{h}(t)$ 的傅里叶变换。
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  这里使用 $y \left( t, \boldsymbol{k} \right)$ 来强调输出和输入波数 $\boldsymbol{k}$ 的关系。时域上的相关性体现在输出是一个复指数，和输入平面波具有相同的频率。在频域内，$\eqref{ArrayResponseToUnitPlaneWaveInTimeDomain}$ 可以写成下面的形式：
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@@ -384,13 +379,13 @@ $$\begin{equation}
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<a id="fig.1-1-6"></a>
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{width=600px}
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{width=600px}
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  可以发现，在很多的应用中，我们都想要调整每个传感器输出的增益和相位，以得到一个理想的波束方向图。这就产生了在[图 1-1-6(a)](#fig.1-1-6) 中给出的窄带模型。$w_n^\ast$ 是复权值，可以用一个增益和移相器的级联来实现，如[图 1-1-6(b)](#fig.1-1-6) 所示。
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<a id="fig.1-1-7"></a>
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{width=600px}
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{width=600px}
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  另外一种实现的结构见[图 1-1-6(c)](#fig.1-1-6)。在一些情况下，我们利用正交解调，并在对基带信号进行复加权来实现波束形成器，实际是在一个正交分量上使用 $\Re[w_n^\ast]$ 进行加权，在另外一个正交分量上使用 $\Im[w_n^\ast]$ 进行加权，结果是相等的。
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