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@@ -100,25 +100,25 @@ $$\begin{equation} \label{ElementOfSincMatrix}
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[对角调向矩阵][] 在 $u$ 空间的表示形式为
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$$\begin{equation}
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\vec{I}_{\mathrm{s}u} = \mathrm{diag}\left( 1, e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}u_\mathrm{T}} , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda} 2u_\mathrm{T}}, \cdots, , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}(N-1)u_\mathrm{T}} \right)
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\boldsymbol{I}_{\mathrm{s}u} = \mathrm{diag}\left( 1, e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}u_\mathrm{T}} , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda} 2u_\mathrm{T}}, \cdots, , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}(N-1)u_\mathrm{T}} \right)
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\end{equation}$$
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则
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$$\begin{equation}
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D = \vec{I}_{\mathrm{s}u} \vec{w}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w} \vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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D = \boldsymbol{I}_{\mathrm{s}u} \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \boldsymbol{w} \boldsymbol{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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\end{equation}$$
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通常，调向运算在权值矢量中包含[^1]
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$$\begin{equation}
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\vec{w}_\mathrm{s} = \vec{w}\vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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\boldsymbol{w}_\mathrm{s} = \boldsymbol{w}\boldsymbol{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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\end{equation}$$
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则
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$$\begin{equation}
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D = \vec{w}_\mathrm{s}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w}_\mathrm{s}
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D = \boldsymbol{w}_\mathrm{s}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \boldsymbol{w}_\mathrm{s}
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\end{equation}$$
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## 标准线阵的情况
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@@ -132,16 +132,16 @@ $$\begin{equation} \label{IntermediateResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceO
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当 $m = n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 1，当 $m \ne n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 0。所以式 $\eqref{IntermediateResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为
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$$\begin{equation}
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D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 \right\} = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{-2} = \left\{ \left\| \vec{w} \right \|^2 \right\}^{-1}
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D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 \right\} = \left( \boldsymbol{w}^\mathrm{H}\boldsymbol{w} \right)^{-2} = \left\{ \left\| \boldsymbol{w} \right \|^2 \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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其中
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$$\begin{equation} \label{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
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\left\| \vec{w} \right \| = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{\frac{1}{2}}
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\left\| \boldsymbol{w} \right \| = \left( \boldsymbol{w}^\mathrm{H}\boldsymbol{w} \right)^{\frac{1}{2}}
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\end{equation}$$
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是矢量 $\vec{w}$ 的 2-模。
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是矢量 $\boldsymbol{w}$ 的 2-模。
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  所以一个标准线阵的方向性是权值矢量幅度平方的倒数。方向性不依赖于阵列的指向。当阵列指向从阵列的正侧向移开时，波束变宽，但是 $\varphi$ 的积分范围减小了
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@@ -214,7 +214,7 @@ $$\begin{equation}
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可以把 $DI$ 写成
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$$\begin{equation}
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DI = 10 \log_{10} N + 10 \log_{10}(g(\vec{w}))
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DI = 10 \log_{10} N + 10 \log_{10}(g(\boldsymbol{w}))
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\end{equation}$$
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其中的第二项是权值的函数。对于任意的非均匀加权（$w_n \ne N^{-1}$），$DI$ 将会减小。
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@@ -240,7 +240,7 @@ $$\begin{equation} \label{InputSNRAtCertainFreq}
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  为了确定由信号和噪声产生的输出，我们需要一个用于描述输出谱的表达式，该式用波束形成器的权值和输入谱矩阵表示。根据[阵列输出的向量形式][]的表达式, 有
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$$\begin{equation} \label{ArrayOutput}
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y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (\tau) \vec{x}\left(t - \tau\right) \mathrm{d} \tau
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y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{h}^\mathrm{T} (\tau) \boldsymbol{x}\left(t - \tau\right) \mathrm{d} \tau
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\end{equation}$$
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假设 $x(t)$ 是零均值宽平稳的。输出 $y(t)$ 的相关函数为
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@@ -258,46 +258,46 @@ $$\begin{equation} \label{SpectrumOfArrayOutput}
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根据式 $\eqref{ArrayOutput}$、$\eqref{CorrelationOfArrayOutput}$ 和 $\eqref{SpectrumOfArrayOutput}$，有
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$$\begin{equation}
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S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega\tau} \, \mathrm{d} \tau \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (\alpha) \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} E \left[ \vec{x} (t-\alpha) \vec{x}^\mathrm{H} (t-\tau-\beta)\right] \vec{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
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S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega\tau} \, \mathrm{d} \tau \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{h}^\mathrm{T} (\alpha) \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} E \left[ \boldsymbol{x} (t-\alpha) \boldsymbol{x}^\mathrm{H} (t-\tau-\beta)\right] \boldsymbol{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
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\end{equation}$$
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也即
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$$\begin{equation}
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S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (\alpha) e^{-j\omega\alpha} \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} e^{-jk\omega z} \vec{R}_x (z) \, \mathrm{d} z \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega \beta} \vec{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
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S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{h}^\mathrm{T} (\alpha) e^{-j\omega\alpha} \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} e^{-jk\omega z} \boldsymbol{R}_x (z) \, \mathrm{d} z \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega \beta} \boldsymbol{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
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\end{equation}$$
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可以进一步简化为
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$$\begin{equation} \label{SimplifiedSpectrumOfArrayOutput}
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S_y (\omega) = \vec{H}^\mathrm{T} (\omega) \vec{S}_x(\omega) \vec{H} ^\ast (\omega)
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S_y (\omega) = \boldsymbol{H}^\mathrm{T} (\omega) \boldsymbol{S}_x(\omega) \boldsymbol{H} ^\ast (\omega)
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\end{equation}$$
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对于窄带波束形成器，在式 $\eqref{SimplifiedSpectrumOfArrayOutput}$ 中利用[窄带假设下的复加权的表达式][]，可得到想要的结果：
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$$\begin{equation}
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S_y (\omega) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{S}_x(\omega) \vec{w}
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S_y (\omega) = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{S}_x(\omega) \boldsymbol{w}
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\end{equation}$$
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为了计算由于信号而产生的输出，对 $\vec{w}$ 施加约束条件，
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为了计算由于信号而产生的输出，对 $\boldsymbol{w}$ 施加约束条件，
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$$\begin{equation} \label{DistortionlessConstraint}
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\vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) = 1
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\boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) = 1
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\end{equation}$$
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在式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件意味着从 $\vec{k}_\mathrm{s}$ 入射的任意信号将无畸变地通过波束形成器。我们把式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件称为**{% label primary @无畸变约束（ distortionless constraint） %}**。在后续的讨论中这个条件经常使用。
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在式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件意味着从 $\boldsymbol{k}_\mathrm{s}$ 入射的任意信号将无畸变地通过波束形成器。我们把式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件称为**{% label primary @无畸变约束（ distortionless constraint） %}**。在后续的讨论中这个条件经常使用。
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  可以把输入信号谱写成
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$$\begin{equation} \label{SpectrumOfArrayInput}
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\vec{S}_{\vec{f}}(\omega) = \vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) S_f(\omega) \vec{v}_{\vec{k}}^\mathrm{H} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right)
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\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{f}}(\omega) = \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) S_f(\omega) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}^\mathrm{H} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right)
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\end{equation}$$
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将式 $\eqref{SpectrumOfArrayInput}$ 代入利用式 $\eqref{SimplifiedSpectrumOfArrayOutput}$，得到的输出信号谱为
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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S_{y_\mathrm{s}} &= \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) S_f (\omega) \vec{v}_{\vec{k}}^\mathrm{H} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) \vec{w} \\
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S_{y_\mathrm{s}} &= \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) S_f (\omega) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}^\mathrm{H} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) \boldsymbol{w} \\
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&= S_f(\omega)
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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@@ -305,19 +305,19 @@ $$\begin{equation}
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由于噪声而产生的输出谱为
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$$\begin{equation}
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S_{y_\mathrm{n}} = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{S_{\vec{n}}} (\omega) \vec{w}
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S_{y_\mathrm{n}} = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{S_{\boldsymbol{n}}} (\omega) \boldsymbol{w}
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\end{equation}$$
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其中 $\vec{S_{\vec{n}}} (\omega)$ 是输入噪声过程的谱矩阵。对于空域白噪声，且各传感器的噪声谱相同的特殊情况，有
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其中 $\boldsymbol{S_{\boldsymbol{n}}} (\omega)$ 是输入噪声过程的谱矩阵。对于空域白噪声，且各传感器的噪声谱相同的特殊情况，有
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$$\begin{equation}
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S_{y_\mathrm{n}} = S_n (\omega) \vec{I}
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S_{y_\mathrm{n}} = S_n (\omega) \boldsymbol{I}
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\end{equation}$$
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和
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$$\begin{equation}
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S_{y_n} = \left\| \vec{w} \right\|^2 S_n(w) = \sum_{n=0}^{N-1} \left| \omega_n \right|^2 S_n(\omega)
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S_{y_n} = \left\| \boldsymbol{w} \right\|^2 S_n(w) = \sum_{n=0}^{N-1} \left| \omega_n \right|^2 S_n(\omega)
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\end{equation}$$
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所以
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@@ -337,7 +337,7 @@ $$\begin{equation}
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或
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$$\begin{equation} \label{DefinitionOfArrayGain}
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A_w = \left( \sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{\left| \omega_n \right|^2} \right) ^{-1} = \left\| \vec{w} \right\| ^{-2}
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A_w = \left( \sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{\left| \omega_n \right|^2} \right) ^{-1} = \left\| \boldsymbol{w} \right\| ^{-2}
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\end{equation}$$
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对于式 $\eqref{DefinitionOfArrayGain}$，可以观察到下面三个有用的结果：
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@@ -345,7 +345,7 @@ $$\begin{equation} \label{DefinitionOfArrayGain}
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1. 只要满足
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$$\begin{equation}
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\left| \vec{w}^\mathrm{H}\vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) \right|^2 = 1
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\left| \boldsymbol{w}^\mathrm{H}\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) \right|^2 = 1
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\end{equation}$$
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这个结果就适用于任意的阵列结构。
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@@ -360,4 +360,4 @@ $$\begin{equation} \label{DefinitionOfArrayGain}
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[阵列输出的向量形式]: https://josh-gao.top/posts/8b61f5a7.html#VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain
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[窄带假设下的复加权的表达式]: https://josh-gao.top/posts/8b61f5a7.html#NarrowBandComplexWeightVector
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[^1]: 在大多数情况下，我们去掉下标 “$s$”，因为假设 $\vec{w}$ 是包含调向的。
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[^1]: 在大多数情况下，我们去掉下标 “$s$”，因为假设 $\boldsymbol{w}$ 是包含调向的。
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