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@@ -20,6 +20,8 @@ abbrlink: aa32ec76
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date: 2023-04-20 19:34:47
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# 均匀加权线阵的频率-波数响应函数
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  现在把注意力集中到均匀加权的情况，即
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$$\begin{equation}
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@@ -66,7 +68,7 @@ $$\begin{equation}
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<a id="fig.1-3-2"></a>
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{width=700px}
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{width=700px}
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若不指定 $\vec{w}$ 的类型, 则 $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。
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@@ -78,4 +80,131 @@ $$\begin{equation}
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这里 $\vec{\varUpsilon}(\omega:k_z)$ 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。
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注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$, 是 $k_z$ 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 $k_z$ 方向上投影的波数分量。
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  注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$, 是 $k_z$ 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 $k_z$ 方向上投影的波数分量。
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# 均匀加权线阵的波束方向图
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  均匀加权线阵的波束方向图的波束方向图为
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$$\begin{align}
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&\theta 空间: && B_\theta(\theta) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos \theta \cdot d \right)}{\sin \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos\theta \cdot d\right)}, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \\
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&u 空间: && B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N \pi d}{\lambda} u \right)}{\sin \left( \frac{N d}{\lambda} u\right)}, \quad -1 \leqslant u \leqslant 1 \label{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain} \\
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&\psi 空间: &&B_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(N\frac{\psi}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\psi}{2} \right)}, \quad -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}
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\end{align}$$
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其中定义域分别为 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$、$-1 \leqslant u \leqslant 1$ 和 $-\displaystyle\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}$，称为**{% label primary @可视区域（visible region） %}**。
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  函数 $B_u(u)$ 和 $B_\psi(\psi)$ 有时称为**{% label primary @阵列因子（Array Factor） %}**。当我们研究非全向性阵元时，将发现这个量的重要性。
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  [图 1-3-3](#fig.1-3-3) 给出了 $B_\theta(\theta)$ 的极坐标形式，单位为 dB。如果在三维空间画出波束方向图，在[图 1-3-3](#fig.1-3-3) 中的图将对应沿着任意方位角 $\theta$ 切割得到的方向图。[图 1-3-4](#fig.1-3-4) 给出了波束方向图的幅度和不同变量之间的关系。
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<a id="fig.1-3-3"></a>
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{width=600px}
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<a id="fig.1-3-4"></a>
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{width=700px}
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  尽管这是一个简单的例子，但可以用来展示线性阵列的一些重要特征。第一组重要特
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征描述了波束方向图的参数。
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# 波束方向图的参数
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1. 3dB 带宽（半功率波束宽度，half-power beamwidth，HPBW）
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2. 到第一零点的距离（这个距离的两倍称为 $BW_{NN}$）
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3. 到第一旁瓣的距离
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4. 第一旁瓣的高度
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5. 其余零点的位置
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6. 旁瓣衰减的速率
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7. 栅瓣（Grating lobes）
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## 3 dB 带宽
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为了说明前两个参数，考虑在[图 1-3-5](#fig.1-3-5) 中给出的原点附近的波束方向图。
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<a id="fig.1-3-5"></a>
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{width=700px}
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  3dB 波束宽度是波束宽度的一个度量。定义为对应 $\left| B_u(u) \right|^2 = 0.5$ 或 $\left| B_u(u) \right| = 1/\sqrt{2}$ 的点。可以通过使式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$ 中的 $B_u(u)$ 的值等于 $1/\sqrt{2}$ 来确定出在 $u$ 空间的半功率点。当 $N$ 增加时，计算这个值，我们发现，对于 $N\geqslant 10$, 通过解下面的方程可以得到一个很好的近似值：
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$$\begin{equation}
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\frac{\pi N d}{\lambda} u = 1.4
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\end{equation}$$
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则
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$$\begin{equation}
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\frac{\Delta u_1}{2} = 1.4 \frac{\lambda}{\pi N d}
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\end{equation}$$
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或
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$$\begin{equation} \label{DefinitionOfHPBW}
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\Delta u_1 = 0.891 \frac{\lambda}{N d}
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\end{equation}$$
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我们把这个间隔称为**{% label primary @半功率波束宽度（half-power beamwidth，HPBW） %}**。当 $N$ 增加时，式 $\eqref{DefinitionOfHPBW}$ 中的系数稍稍减小。对于 $N > 30$，$0.886 \lambda/Nd$ 是一个更好的近似表达式。
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  [表 1-3-1](#table.1-3-1) 中列出了不同空间内 HPBW 的表达式。
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<a id="table.1-3-1"></a>
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|空间| 任意 $d$ | $d=\lambda/2$ |
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| :--: | :------: | :------: |
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| $u$ | $0.891 \frac{\lambda}{Nd}$ | $1.782 \frac{1}{N}$ |
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| $\bar{\theta}$[^] | $2\sin^{-1} \left( 0.446 \frac{\lambda}{Nd} \right)$ | $2\sin^{-1} \left( 0.891 \frac{1}{N} \right)$ |
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| 较小的 $\bar{\theta}$ | $\simeq 0.891 \frac{\lambda}{Nd}$ radians <br> $\simeq 51.05 \frac{\lambda}{Nd}$ degrees | $\simeq 1.782 \frac{1}{N}$ radians <br> $\simeq 102.1 \frac{1}{N}$ degrees |
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| $\psi$ | $0.891 \frac{2\pi}{N}$ | $0.891 \frac{2\pi}{N}$ |
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| $k_z$ | $0.891 \frac{2\pi}{dN}$ | $1.782 \frac{2\pi}{\lambda N}$ |
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## 到第一零点的距离
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  方向图的零点出现在当 $B_u(u)$ 的分子为零而分母不为零时，即
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$$\begin{equation}
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\sin \left( \frac{\pi N d}{\lambda} u \right) = 0
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\end{equation}$$
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成立的条件为
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$$\begin{equation}
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\frac{\pi N d}{\lambda} u = m\pi, \quad m = 1,2,\cdots
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\end{equation}$$
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则出现零点需要满足下面的两个条件：
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$$\begin{equation}
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u = m \frac{\lambda}{Nd}, \quad m = 1,2,\cdots
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\end{equation}$$
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且
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$$\begin{equation}
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u \ne m \frac{\lambda}{d}, \quad m = 1,2,\cdots
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\end{equation}$$
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则第一个零点的位置为 $\lambda/Nd$, 且
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$$\begin{equation}
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\Delta u_2 = 2 \frac{\lambda}{Nd}
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\end{equation}$$
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我们把 $\Delta u_2$ 称为零点-零点波束宽度（null-to-null beamwidth），并表示为 $BW_{NN}$ 。 $BW_{NN}$ 的一半是到第一零点的距离 ($0.5 BW_{NN}$) 。这个量衡量了阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为{% label primary @瑞利限（Rayleigh resolution limit） %}。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外（间隔 $\geqslant \Delta u_2 / 2$ ）, 则我们认为这两个平面波是可以分辨的。在后面，我们将研究一个阵列的分辨能力的统计性度量。
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  注意到线阵在方位角方向（$\varphi$）没有分辨能力，因为该阵列在 $x$ 和 $y$ 方向上没有扩展。我们将在后面详细讨论分辨率的问题。
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  [表 1-3-1](#table.1-3-1)中列出了在各个不同空间表示出的 $BW_{NN}$。
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<a id="table.1-3-2"></a>
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|空间| 任意 $d$ | $d=\lambda/2$ |
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| :--: | :------: | :------: |
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| $u$ | $2 \frac{\lambda}{Nd}$ | $\frac{4}{N}$ |
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| $\bar{\theta}$[^] | $2\sin^{-1} \left( \frac{\lambda}{Nd} \right)$ | $2\sin^{-1} \left( \frac{2}{N} \right)$ |
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| 较小的 $\bar{\theta}$ | $\simeq 2 \frac{\lambda}{Nd}$ radians | $\simeq \frac{4}{N}$ radians |
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| $\psi$ | $ \frac{4\pi}{N}$ | $\frac{4\pi}{N}$ |
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| $k_z$ | $\frac{4\pi}{dN}$ | $\frac{8\pi}{\lambda N}$ |
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