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@@ -274,7 +274,11 @@ X_e\left(e^{j\omega}\right)=\frac{1}{2}\left[X\left(e^{j\omega}\right)+X^\ast\le
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# 9. 傅里叶变换、拉氏变换和 $z$ 变换的关系
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# 9. 傅里叶变换、拉氏变换和 $z$ 变换的关系
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# 参考文献
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王世一. *数字信号处理, 修订版.* 北京理工大学出版社, 1997.
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[^1]: $f\left( x \right)$ 的以 $2l$ 为周期的傅氏级数的指数形式为
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[^1]: $f\left( x \right)$ 的以 $2l$ 为周期的傅氏级数的指数形式为
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$$
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@@ -245,3 +245,7 @@ $$\begin{equation}
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\end{equation}$$
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\end{equation}$$
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> 注：此处用 $\odot$ 表示圆周卷积，不同教材中圆周卷积的符号表述可能不同。
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> 注：此处用 $\odot$ 表示圆周卷积，不同教材中圆周卷积的符号表述可能不同。
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# 参考文献
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王世一. *数字信号处理, 修订版.* 北京理工大学出版社, 1997.
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title: Josh 的学习笔记之数字信号处理（Part 3——离散傅里叶变换 DFT）
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date: 2023-04-14 22:17:40
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- 数字信号和处理
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- DSP
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- 离散傅里叶变换
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- DFT
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- 延长序列
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- 圆周卷积
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- 重叠相加
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- 重叠保留
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- 内插公式
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- 混叠
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- 频谱泄露
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- 栅栏效应
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categories:
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- - Josh 的学习笔记
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- 数字信号处理
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# 1. 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的定义
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  取离散傅里叶级数的主值，得离散傅里叶变换
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$$\begin{equation}
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X\left(k\right)=\widetilde{X}\left(k\right)R_N\left(k\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{kn}},\ \ k=0,1,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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x\left(n\right)=\widetilde{x}\left(n\right)R_N\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)W_N^{-kn}},\ \ n=0,1,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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且 $\widetilde{X}\left(k\right)=X\left(\left(k\right)\right)_N,\widetilde{x}\left(n\right)=x\left(\left(n\right)\right)_N$。其中 $R_N\left(n\right)$ 表示矩形序列，表示取主值；$\left(\left(n\right)\right)_N$ 表示 $n$ 对 $N$ 取余。
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> 注：不同教材中取主值、取余的符号表述可能不同。
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<!-- more -->
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# 2. DFT 的矩阵算法
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  若令 $X=\left[\begin{matrix}X\left(0\right)&X\left(1\right)&\cdots&X\left(N-1\right)\\\end{matrix}\right]^\mathrm{T}，x=\left[\begin{matrix}x\left(0\right)&x\left(1\right)&\cdots&x\left(N-1\right)\\\end{matrix}\right]^\mathrm{T}$，则 DFT 和 IDFT 可分别表示为
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$$\begin{equation}
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X=D_Nx,\ \ x=D_N^{-1}X
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\end{equation}$$
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其中 Vandermonde 矩阵
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$$\begin{equation}
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D_N=\left[\begin{matrix}1&1&1&\cdots&1\\1&W_N^1&W_N^2&\cdots&W_N^{\left(N-1\right)}\\1&W_N^2&W_N^4&\cdots&W_N^{2\left(N-1\right)}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&W_N^{\left(N-1\right)}&W_N^{2\left(N-1\right)}&\cdots&W_N^{\left(N-1\right)^2}\\\end{matrix}\right]
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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D_N^{-1}=\frac{1}{N}\left[\begin{matrix}1&1&1&\cdots&1\\1&W_N^{-1}&W_N^{-2}&\cdots&W_N^{-\left(N-1\right)}\\1&W_N^{-2}&W_N^{-4}&\cdots&W_N^{-2\left(N-1\right)}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&W_N^{-\left(N-1\right)}&W_N^{-2\left(N-1\right)}&\cdots&W_N^{-\left(N-1\right)^2}\\\end{matrix}\right]
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\end{equation}$$
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且有 $D_N^{-1}=\dfrac{1}{N}D_N^\ast$。
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# 3. 离散傅里叶变换（DFT）的性质
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## 3.1 线性性质
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$$\begin{equation}
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\mathrm{DFT}\left[ax_1\left(n\right)+{bx}_2\left(n\right)\right]=aX_1\left(k\right)+bX_2\left(k\right)
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\end{equation}$$
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## 3.2 用正变换计算逆变换
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$$\begin{equation}
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x\left(n\right)=\frac{1}{N}\left[\sum_{k=0}^{N-1}{X^\ast\left(k\right)W_N^{nk}}\right]^\ast,\ \ n=0,1,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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证明：
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$$\begin{equation}
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\frac{1}{N}\left[\sum_{k=0}^{N-1}{X^\ast\left(k\right)W_N^{nk}}\right]^\ast=\frac{1}{N}\left[\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)W_N^{-nk}}\right]=x\left(n\right)
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\end{equation}$$
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## 3.3 对称定理
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$$\begin{equation}
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\mathrm{DFT}\left[\frac{1}{N}X\left(n\right)\right]=x\left(-k\right)=x\left(N-k\right)
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\end{equation}$$
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证明：
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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&x\left(-n\right)=x\left(N-n\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)W_N^{-\left(N-n\right)k}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)W_N^{nk}}
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|
\\
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||||||
|
\Longrightarrow &x\left(-k\right)=x\left(N-k\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{\left[\frac{X\left(n\right)}{N}\right]W_N^{kn}}=\mathrm{DFT}\left[\frac{X\left(n\right)}{N}\right]
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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## 3.4 反转定理
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$$\begin{equation}
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\mathrm{DFT}\left[x\left(-n\right)\right]=X\left(-k\right)
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\end{equation}$$
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证明：
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$$\begin{equation}
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\mathrm{DFT}\left[x\left(-n\right)\right]=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(-n\right)W_N^{nk}}\xlongequal{令m=-n}\sum_{m=-\left(N-1\right)}^{0}{x\left(m\right)W_N^{-mk}}=\sum_{m=0}^{N-1}{x\left(m\right)W_N^{m\cdot\left(-k\right)}}=X\left(-k\right)
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\end{equation}$$
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## 3.5 序列的总和
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$$\begin{equation}
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\sum_{n=0}^{N-1}x\left(n\right)=\left.\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{kn}}\right|_{k=0}\left.=X\left(k\right)\right|_{k=0}=X\left(0\right)
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\end{equation}$$
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## 3.6 序列的起始值
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$$\begin{equation}
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x\left(0\right)=\frac{1}{N}\left.\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)W_N^{-kn}}\right|_{n=0}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X\left(k\right)
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\end{equation}$$
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## 3.7 延长序列的 DFT
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  将 $N$ 点长序列 $x\left(n\right)\left(n=1,2,\cdots,N-1\right)$ 补零延长 $rN$ 点得到序列 $g\left(n\right)$，即
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$$\begin{equation}
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g\left(n\right)=
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\begin{aligned}
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\begin{cases}
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|
x(n),&n=0,1,⋯,N-1\\
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|
0,&n=N,N+1,⋯rN-1
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\end{cases}
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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则 $g\left(n\right)$ 的 DFT
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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|
G\left(k\right)&=\mathrm{DFT}\left[g\left(n\right)\right]=\sum_{n=0}^{rN-1}{g\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi nk}{rN}}}=\sum_{n=0}^{N-1}{g\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi n\left(\frac{k}{r}\right)}{N}}}
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\\
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|
&=X\left(\frac{k}{r}\right),\ \ k=0,1,\cdots,rN-1\
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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由此，**$G\left(k\right)$ 与 $X\left(k\right )$具有相同的形状，但 $G\left(k\right)$ 的频谱间隔比 $X\left(k\right)$ 的小。即 {% label primary @通过补零，频谱变得更加细致。但是补零不能提高频谱分辨能力。%}**
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## 3.8 有限长序列的圆周特性
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### 3.8.1 圆周移位（周期化→移位→取主值）
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$$\begin{equation}
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x\left(\left(n-m\right)\right)_NR_N\left(n\right)=
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\begin{aligned}
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\begin{cases}
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|
x\left(n-m\right),&m\leqslant n\leqslant N-1
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|
\\
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||||||
|
x\left(N-m+n\right),&0\leqslant n\leqslant m
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\end{cases}
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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### 3.9.2 圆周反转（周期化→反转→取主值）
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$$\begin{equation}
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|
x\left(\left(-n\right)\right)_NR_N\left(n\right)=
|
||||||
|
\begin{aligned}
|
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|
\begin{cases}
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||||||
|
x\left(0\right),&n=0
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|
\\
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||||||
|
x\left(N-n\right),&1\leqslant n\leqslant N-1
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\end{cases}
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||||||
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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### 3.8.3 有限长序列的时间圆周移位定理（可以通过 DFS 证明）
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$$\begin{equation}
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\mathrm{DFT}\left[x\left(\left(n+m\right)\right)_NR_N\left(n\right)\right]=W_N^{-mk}X\left(k\right)
|
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\end{equation}$$
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由此，**有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响**。
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### 3.8.4 限长序列的频率圆周移位定理（调制特性，可以通过 DFS 证明）
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$$\begin{equation}
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|
\mathrm{IDFT}\left[X\left(\left(k+l\right)\right)_NR_N\left(k\right)\right]=W_N^{nl}x\left(n\right)=e^{-j\frac{2\pi}{N}nl}x\left(n\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
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|
由此，**时域序列的调制等效于频域的圆周移位**，且可以推得
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$$\begin{equation}
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||||||
|
\mathrm{DFT}\left[x\left(n\right)\cos{\left(\frac{2\pi nl}{N}\right)}\right]=\frac{1}{2}\left[X\left(\left(k-l\right)\right)_N+X\left(\left(k+l\right)\right)_N\right]R_N\left(k\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
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|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
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||||||
|
\mathrm{DFT}\left[x\left(n\right)\sin{\left(\frac{2\pi nl}{N}\right)}\right]=\frac{1}{2}\left[X\left(\left(k-l\right)\right)_N-X\left(\left(k+l\right)\right)_N\right]R_N\left(k\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
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|
### 3.8.5 DFT的圆周对称性
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#### 3.8.5.1 奇序列和偶序列的 DFT
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奇序列的 DFT
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$$\begin{equation}
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|
x\left(n\right)=-x\left(-n\right)=-x\left(\left(-n\right)\right)_NR_N\left(n\right)\rightarrow X\left(k\right)=-X\left(-k\right)=-X\left(\left(N-k\right)\right)_NR_N\left(k\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
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||||||
|
|
||||||
|
偶序列的 DFT
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|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
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||||||
|
x\left(n\right)=x\left(-n\right)=x\left(\left(-n\right)\right)_NR_N\left(n\right)\rightarrow X\left(k\right)=X\left(-k\right)=X\left(\left(N-k\right)\right)_NR_N\left(k\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
#### 3.8.5.2 序列的对称分解
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|
  普通序列 $x\left(n\right)$ 的共轭对称分量和共轭反对称分量分别为
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$$\begin{equation}
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||||||
|
x_e\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^\ast\left(-n\right)\right],\ \ x_o\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)-x^\ast\left(-n\right)\right]
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
对有限长序列的 DFT 进行分析时，定义周期共轭对称分量和周期共轭反对称分量分别为
|
||||||
|
|
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$$\begin{equation}
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||||||
|
x_{ep}\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(\left(n\right)\right)_N+x^\ast\left(\left(-n\right)\right)_N\right]R_N\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^\ast\left(N-n\right)\right]
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
x_{op}\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(\left(n\right)\right)_N-x^\ast\left(\left(-n\right)\right)_N\right]R_N\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)-x^\ast\left(N-n\right)\right]
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
二者关系为
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|
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$$\begin{equation}
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|
x_{ep}\left(n\right)=\left[x_e\left(n\right)+x_e\left(n-N\right)\right]R_N\left(n\right),\ \ x_{op}\left(n\right)=\left[x_o\left(n\right)+x_o\left(n-N\right)\right]R_N\left(n\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
<a id=3.8.5.3></a>
|
||||||
|
|
||||||
|
#### 3.8.5.3 共轭复序列的 DFT
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||||||
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|
||||||
|
$$\begin{equation}
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||||||
|
\mathrm{DFT}\left[x^\ast\left(n\right)\right]=X^\ast\left(\left(N-k\right)\right)_N
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
\mathrm{DFT}\left[x^\ast\left(-n\right)\right]=X^\ast\left(k\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
证明：
|
||||||
|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
\mathrm{DFT}\left[x^\ast\left(n\right)\right]=\sum_{n=0}^{N-1}{x^\ast\left(n\right)W_N^{kn}}=\left[\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{-kn}}\right]^\ast=X^\ast\left(-k\right)=X^\ast\left(\left(N-k\right)\right)_N
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
\begin{aligned}
|
||||||
|
\mathrm{DFT}\left[x^\ast\left(-n\right)\right]&=\sum_{n=0}^{N-1}{x^\ast\left(-n\right)W_N^{kn}}=\left[\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(-n\right)W_N^{-kn}}\right]^\ast
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
&=\left[\sum_{m=-N+1}^{0}{x\left(m\right)W_N^{km}}\right]^\ast=\left[\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{kn}}\right]^\ast=X^\ast\left(k\right)
|
||||||
|
\end{aligned}
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
<a id=3.8.5.4></a>
|
||||||
|
|
||||||
|
#### 3.8.5.4 复数序列的 DFT
|
||||||
|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
x\left(n\right)=x_r\left(n\right)+jx_i\left(n\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
\quad\quad\quad\updownarrow\qquad\quad \updownarrow
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
X\left(k\right)=X_{ep}\left(k\right)+X_{op}\left(k\right)
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\end{equation}$$
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证明：
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$$\begin{equation}
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X_{ep}\left(k\right)=\mathrm{DFT}\left[x_r\left(n\right)\right]=\frac{1}{2}\mathrm{DFT}\left[x\left(n\right)+x^\ast\left(n\right)\right]=\frac{1}{2}\left[X\left(k\right)+X^\ast\left(N-k\right)\right]
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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X_{op}\left(k\right)=\mathrm{DFT}\left[{jx}_i\left(n\right)\right]=\frac{1}{2}\mathrm{DFT}\left[x\left(n\right)-x^\ast\left(n\right)\right]=\frac{1}{2}\left[X\left(k\right)+X^\ast\left(N-k\right)\right]
|
||||||
|
\end{equation}$$
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且由 [3.8.5.3 共轭复序列的 DFT](#3.8.5.3) 可推知
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$$\begin{equation}
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|
X_{ep}\left(k\right)=X_{ep}^\ast\left(N-k\right)\ \ \ (实部相等，虚部相反)
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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|
X_{op}\left(k\right)=-X_{op}^\ast\left(N-k\right)(实部相反，虚部相等)
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\end{equation}$$
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#### 3.8.5.5 DFT 的奇偶虚实特性
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| $x(n)$ | $X(k)$ |
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| :----: | :----------------: |
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| 偶 | 偶 |
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| 奇 | 奇 |
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| 实 | 实部为偶，虚部为奇 |
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| 虚 | 实部为奇，虚部为偶 |
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| 实偶 | 实偶 |
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| 实奇 | 虚奇 |
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| 虚偶 | 虚偶 |
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| 虚奇 | 实奇 |
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### 3.8.6 圆周卷积定理
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> 注：此处用 $\odot$ 表示圆周卷积，不同教材中圆周卷积的符号表述可能不同。
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#### 3.8.6.1 时域圆周卷积定理
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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x\left(n\right)=x_1\left(n\right)\odot x_2\left(n\right)&=\widetilde{y}\left(n\right)=\sum_{m=0}^{N-1}{x_1\left(m\right)\left[x_2\left(\left(n-m\right)\right)_NR_N\left(n\right)\right]}
|
||||||
|
\\
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||||||
|
&=\mathrm{IDFT}\left[X_1\left(k\right)\cdot X_2\left(k\right)\right]
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||||||
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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#### 3.8.6.2 频域圆周卷积定理
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||||||
|
X\left(k\right)=X_1\left(k\right)\odot X_2\left(k\right)&=\widetilde{X}\left(k\right)R_N\left(k\right)=\frac{1}{N}\sum_{l=0}^{N-1}{X_1\left(l\right)\left[X_2\left(\left(k-l\right)\right)_NR_N\left(k\right)\right]}
|
||||||
|
\\
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||||||
|
&=\mathrm{DFT}\left[x_1\left(n\right)\cdot x_2\left(n\right)\right]
|
||||||
|
\end{aligned}
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\end{equation}$$
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#### 3.8.6.3 圆周卷积和线性卷积的关系
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  长度为 $L$ 的序列 $x_1\left(n\right)$ 和长度为 $M$ 的序列 $x_2\left(n\right)$ 的周期卷积是二者的线性卷积的以 $N$ 为周期的周期延拓，若满足
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$$\begin{equation}
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|
N\geqslant L+M-1
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\end{equation}$$
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|
则周期卷积的主值序列即圆周卷积与线性卷积完全相同，即 $x_1\left(n\right)\odot x_2\left(n\right)=x_1\left(n\right)\ast x_2\left(n\right)$
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|
#### 3.8.6.4 圆周卷积的矩阵算法
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$$\begin{equation}
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|
y=h\odot x=\left[\begin{matrix}h_1&0&\cdots&0&h_m&\cdots\\h_2&h_1&\cdots&0&0&\cdots\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\cdots\\h_m&h_{m-1}&\cdots&0&0&\cdots\\0&h_m&\cdots&h_1&0&\cdots\\0&0&&\vdots&h_1&\cdots\\\vdots&\vdots&&h_{m-1}&\vdots&\cdots\\0&0&\cdots&h_m&h_{m-1}&\cdots\\\end{matrix}\right]_{N\times N}\cdot\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\0\\\vdots\\0\\\end{matrix}\right]_{N\times1}
|
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|
\end{equation}$$
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|
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|
也可先计算线性卷积以 $N$ 为周期进行周期化后取主值得到圆周卷积。注意周期化时 $N<m+n-1$ 的情况，此时会出现重叠，重叠部分相加后才是圆周卷积的结果。
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### 3.8.7 重叠相加法和重叠保留法
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**例** 已知序列
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$$\begin{equation}x\left(n\right)=\left\{2,-3,4,5,-6,7,8,-9,-10,11,-12,-13,-14\right\}\left(0\leqslant n\leqslant12\right)
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|
\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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|
h\left(n\right)=\left\{1,-2,-3\right\}(0\leqslant n\leqslant2)
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\end{equation}$$
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  试分别用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积，取分段长度 $L=5$。
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解：①重叠相加法
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   将长序列 $x\left(n\right)$ 分段，每段长度为 $5$
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||||||
|
&x_1\left(n\right)=\left\{2,-3,4,5,-6\right\} \\
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||||||
|
&x_2\left(n\right)=\left\{7,8,-9,-10,11\right\} \\
|
||||||
|
&x_3\left(n\right)=\left\{ -12,-13,-14\right\}
|
||||||
|
\end{aligned}
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||||||
|
\end{equation}$$
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||||||
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|
   用圆周卷积计算计算各段与 $h\left(n\right)$ 的线性卷积，下划线标注部分是需要重叠相加的部分
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|
$$\begin{equation}
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||||||
|
\begin{aligned}
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||||||
|
&y_1\left(n\right)=\left\{2,-7,4,6,-28,\underline{-3,18}\right\}\\
|
||||||
|
&y_2\left(n\right)=\left\{\underline{7,-6},-46,-16,58,\underline{8,-33}\right\}\\
|
||||||
|
&y_3\left(n\right)=\left\{\underline{-12,11},48,67,42\right\}
|
||||||
|
\end{aligned}
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||||||
|
\end{equation}$$
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||||||
|
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||||||
|
   将各段结果重叠相加，连接成线性卷积结果
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$$\begin{equation}
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||||||
|
y\left(n\right)=\left\{2,-7,4,6,-28,\mathbf{4},\mathbf{12},-46,-16,58,-\mathbf{4},-\mathbf{22},48,67,42\right\}
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
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|
  ②重叠保留法
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   将长序列 $x\left(n\right)$ 分段，每段长度为 $5$
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||||||
|
&x_1\left(n\right)=\left\{\underline{0,0,2},-3,4\right\}\\
|
||||||
|
&x_2\left(n\right)=\left\{\underline{-3,4},5,-6,7\right\}\\
|
||||||
|
&x_3\left(n\right)=\left\{\underline{-6,-7},8,-9,-10\right\}\\
|
||||||
|
&x_4\left(n\right)=\left\{\underline{-9,-10},11,-12,-13\right\}\\
|
||||||
|
&x_5\left(n\right)=\left\{\underline{-12,-13},-14,0,0\right\}
|
||||||
|
\end{aligned}
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
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|
   用圆周卷积计算计算各段与 $h\left(n\right)$ 的线性卷积，下划线标注部分是需要舍去的部分
|
||||||
|
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||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
\begin{aligned}
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||||||
|
&y_1\left(n\right)=\left\{\underline{1,-12},2,-7,4\right\}\\
|
||||||
|
&y_2\left(n\right)=\left\{\underline{1,-11},6,28,4\right\}\\
|
||||||
|
&y_3\left(n\right)=\left\{\underline{41,49},12,-46,-16\right\}\\
|
||||||
|
&y_4\left(n\right)=\left\{\underline{53,47},58,-4,-22\right\}\\
|
||||||
|
&y_5\left(n\right)=\left\{\underline{-12,11},48,67,42\right\}
|
||||||
|
\end{aligned}
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
   将各段重叠部分舍去，连接成线性卷积结果
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||||||
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|
||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
y\left(n\right)=\left\{2,-7,4,6,-28,4,12,-46,-16,58,-4,-22,48,67,42\right\}
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 3.9 Parseval 定理（能量守恒）
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$$\begin{equation}
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\sum_{n=0\ }^{N-1}{x^2\left(n\right)}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\left|X\left(k\right)\right|^2
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||||||
|
\end{equation}$$
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||||||
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|
## 3.10 DFT 与 $z$ 变换
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|
$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||||||
|
X\left(k\right)&=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}}=\left.\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)z^{-n}}\right|_{z=e^{j\frac{2\pi}{N}k}}
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
&=\left.X\left(z\right)\right|_{z=e^{j\frac{2\pi}{N}k}}=\left.\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}}\right|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k}\left(k=0,1,\cdots,N-1\right)
|
||||||
|
\end{aligned}
|
||||||
|
\end{equation}$$
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||||||
|
|
||||||
|
因此 $x\left(n\right)$ 的 DFT 的 $N$ 个系数即为 $x\left(n\right)$ 的 $z$ 变换 $X\left(z\right)$ 在单位圆上 $N$ 等分的取样点。
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||||||
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|
# 4. 频域取样的点数限制
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  设 $M$ 点序列 $x\left(n\right)$ 的 $z$ 变换为 $X\left(z\right)$，DTFT 为 $X\left(e^{j\omega}\right)$，则有
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||||||
|
|
||||||
|
> 在 $X\left(z\right)$ 的单位圆上均匀采样 $N$ 点，其 IDFT 是序列 $x\left(n\right)$ 以周期 $N$ 进行周期延拓后的主值序列；
|
||||||
|
>
|
||||||
|
> 在 $X\left(e^{j\omega}\right)$ 的一个周期内均匀采样 $N$ 点，其 IDFT 是序列 $x\left(n\right)$ 以周期 $N$ 进行周期延拓后的主值序列；
|
||||||
|
>
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||||||
|
> 在 $X\left(e^{j\omega}\right)$ 的一个周期内均匀采样 $M$ 点，其 IDFT 是序列 $x\left(n\right)$ 本身。
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||||||
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|
由此，对于列长为M的有限长序列 $x\left(n\right)$，频域取样不失真的条件是取样点数 $N$ 满足
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$$\begin{equation}
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||||||
|
N\geqslant M
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\end{equation}$$
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|
并且对于无限长序列 $x\left(n\right)$，无论 $N$ 取值如何，都不可能消除混叠，只能随着取样点 $N$ 增加而接近 $x\left(n\right)$。
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# 5. 内插公式
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  用 DFT 表示 ZT
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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|
X\left(z\right)&=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)z^{-n}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\left[\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)W_N^{-nk}}\right]z^{-n}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\left[X\left(k\right)\sum_{n=0}^{N-1}\left(W_N^{-k}z^{-1}\right)^n\right]
|
||||||
|
\\
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||||||
|
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)\frac{1-W_N^{-kn}z^{-N}}{1-W_N^{-k}z^{-1}}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)\frac{1-z^{-N}}{1-W_N^{-k}z^{-1}}}
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
&=\frac{1-z^{-N}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{X\left(k\right)}{1-W_N^{-k}z^{-1}}=\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)\varphi_k\left(z\right)}
|
||||||
|
\end{aligned}
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||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
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|
其中 $X\left(z\right)$ 的内插公式
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$$\begin{equation}
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||||||
|
\varphi_k\left(z\right)=\frac{1}{N}\cdot\frac{1-z^{-N}}{1-W_N^{-k}z^{-1}}
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
  用 DFT 表示 DTFT
|
||||||
|
|
||||||
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$$\begin{equation}
|
||||||
|
X\left(e^{j\omega}\right)=\left.X\left(z\right)\right|_{z=e^{j\omega}}=\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)\varphi_k\left(e^{j\omega}\right)}=\sum_{k=0}^{N-1}X\left(k\right)\varphi\left(\omega-k\frac{2\pi}{N}\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
其中内插函数
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$$\begin{equation}
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||||||
|
\varphi\left(\omega\right)=\frac{1}{N}\frac{\sin{\left(\frac{\omega N}{2}\right)}}{\sin{\left(\frac{\omega}{2}\right)}}e^{-j\omega\left(\frac{N-1}{2}\right)}
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
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||||||
|
**时域取样定理说明，对频域带限的信号，可对其进行时域取样而不丢失任何信息。频域取样理论说明，时间有限的信号（有限长序列），也可对其进行频域取样（DFT）而不丢失任何信息。**
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|
# 6. 用 DFT 对连续时间信号逼近的问题
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|
## 6.1 混叠现象
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  时域采样会引起频谱周期化，通过 $f_s\geqslant 2f_h$ 消除。
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|
## 6.2 频谱泄露现象
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||||||
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  取用有限个数据，即将信号截断的过程，等同于将信号乘以窗函数。如果窗函数是矩形窗，在时域内将信号截断相当于乘以矩形窗，而在频域中则相当于原信号的频谱与矩形窗的频谱卷积，使得原信号的频谱被展宽，造成频谱泄露。**通常通过选择频谱特性更接近于 $\delta\left(k\right)$ 的函数来减少频谱泄露。**
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||||||
|
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|
## 6.3 栅栏效应
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||||||
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||||||
|
  用 DFT 计算频谱时，采样点为基频的整数倍，由此观察到的频谱特征时有限的，**若在两个取样点之间有剧烈的频谱变化，将无法检测出来**。通常通过在原序列的末端添加一些零值点来改变周期内的点数，从而在保持原有频谱连续形式不变的情况下，变更了谱线的位置，原来看不到的频谱分量就能移动到可见的位置上。
|
||||||
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|
## 6.4 DFT 参数的选择
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### 6.4.1 取样频率 $f_s$（由取样定理）
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$$\begin{equation}
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||||||
|
f_s\geqslant 2f_h
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\end{equation}$$
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||||||
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|
### 6.4.2 取样周期 $T$
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$$\begin{equation}
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||||||
|
T=\frac{1}{f_s}\leqslant\frac{1}{2f_h}
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||||||
|
\end{equation}$$
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||||||
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|
### 6.4.3 频率分辨率（频率分量间的增量）$F$
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||||||
|
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$$\begin{equation}
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||||||
|
F=\frac{f_s}{N}
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|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$F$ 越小，频率分辨率越高。
|
||||||
|
|
||||||
|
### 6.4.4 最小记录长度（周期性函数的有效周期）$t_p$
|
||||||
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|
||||||
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$$\begin{equation}
|
||||||
|
t_p=\frac{1}{F}=NT
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### 6.4.5 一个记录长度内的点数 $N$
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||||||
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|
||||||
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$$\begin{equation}
|
||||||
|
N\geqslant\frac{2f_h}{F}
|
||||||
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\end{equation}$$
|
||||||
|
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||||||
|
> 注：最高频率 $f_h$ 和频率分辨率 $F$ 存在矛盾，即
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|
>
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|
> $$\begin{equation}
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||||||
|
> f_h\uparrow \xrightarrow{f_s\geqslant 2f_h}f_s\uparrow \xrightarrow{T=\frac{1}{f_s}}T\downarrow \xrightarrow{N\text{给定时}}t_p\downarrow \longrightarrow F\uparrow \left( \text{频率分辨率}\downarrow \right)
|
||||||
|
> \end{equation}$$
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|
# 参考文献
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|
王世一. *数字信号处理, 修订版.* 北京理工大学出版社, 1997.
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@@ -0,0 +1,524 @@
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|
title: Josh 的学习笔记之数字信号处理（Part 4——快速傅里叶变换 FFT）
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date: 2023-04-14 23:11:52
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|
- 数字信号和处理
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- DSP
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- 快速傅里叶变换
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- FFT
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- 基2按时间抽取
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|
- 基2按频率抽取
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- 基4
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- 分裂基FFT
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- 蝶形图
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|
- 旋转因子
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categories:
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|
- - Josh 的学习笔记
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- 数字信号处理
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# 1. 直接计算 DFT 的计算量
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  考察列长为 $N$ 的序列 $x\left(n\right)$ 的 DFT
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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|
X\left(k\right)&=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}=\sum_{n=0}^{N-1}\left\{\Re{\left[x\left(n\right)\right]}+j\Im{\left[x\left(n\right)\right]}\right\}\left\{\Re{\left[W_N^{nk}\right]}+j\Im{\left[W_N^{nk}\right]}\right\}
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||||||
|
\\
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||||||
|
&=\sum_{n=0}^{N-1}{\left\{ \Re \left[ x\left( n \right) \right] \Re \left[ W_{N}^{nk} \right] -\Im \left[ x\left( n \right) \right] \Im \left[ W_{N}^{nk} \right] \right\} +j\left\{ \Re \!\:\left[ x\left( n \right) \right] \Im \!\:\left[ W_{N}^{nk} \right] +\Im \left[ \!\:x\left( n \right) \right] \Re \!\:\left[ W_{N}^{nk} \right] \right\}}
|
||||||
|
\end{aligned}
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|
\end{equation}$$
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|
由此，直接计算 DFT 时，在不忽略 $W_N^0=1$ 等特例时，实数乘法次数为 $4N^2$，实数加法次数为 $2N\left(2N-1\right)$，均与 $N^2$ 成正比，计算量非常庞大。
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<!-- more -->
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# 2. 利用旋转因子 $W_N^{nk}$ 的特性改善 DFT 的运算效率
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| | $W_N^{nk}=e^{j\frac{2\pi}{N}nk}$ |
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| :--: | :--: |
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| 对称性 | $\left(W_N^{nk}\right)^\ast=W_N^{-nk}=W_N^{\left(N-n\right)k}=W_N^{n\left(N-k\right)}$ |
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| 周期性 | $W_N^{nk}=W_N^{\left(N+n\right)k}=W_N^{n\left(N+k\right)}$ |
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| 可约性 | $W_N^{nk}=W_{mN}^{mnk},W_N^{nk}=W_{\frac{N}{m}}^{\frac{nk}{m}}$ |
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| 特殊点 | $W_N^0=W_N^N=1,W_N^{\frac{N}{2}}=-1,W_N^{k+\frac{N}{2}}=-W_N^k$ |
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利用旋转因子 $W_N^{nk}$ 的特性，可将直接计算 DFT 算式中的对称项合并，从使长序列的DFT分解为为更小点数的DFT，即
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$$\begin{equation}
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\Re \left[ x\left( n \right) \right] \Re \left[ W_{N}^{nk} \right] +\Re \left[ x\left( N-n \right) \right] \Re \left[ W_{N}^{\left( N-n \right) k} \right] =\left\{ \Re \left[ x\left( n \right) \right] +\Re \left[ x\left( N-n \right) \right] \right\} \Re \left[ W_{N}^{nk} \right]
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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-\Im \left[ x\left( n \right) \right] \Im \left[ W_{N}^{nk} \right] -\Im \left[ x\left( N-n \right) \right] \Im \left[ W_{N}^{\left( N-n \right) k} \right] =-\left\{ \Im \left[ x\left( n \right) \right] -\Im \left[x\left( N-n \right) \right] \right\} \Im \left[ W_{N}^{nk} \right]
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\end{equation}$$
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# 3. 基-2 按时间抽取的 FFT 算法
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（radix-2 Decimation in Time Fast Fourier Transform, radix-2 DIT-FFT, i.e. Cooley-Turkey Method）
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<a id=3.1></a>
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## 3.1 算法原理
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  设序列 $x\left(n\right)$ 的列长 $N=2^\nu$，$\nu$ 为整数，则其 DFT
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$$\begin{equation}
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|
X\left(k\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}},\ \ k=0,1,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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**将 $x\left(n\right)$ 按照 $n$ 的奇偶分成两个子序列**
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$$\begin{equation}
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\begin{cases}
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x_1\left(r\right)=x\left(2r\right)\\
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|
x_2\left(r\right)=x\left(2r+1\right)
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\end{cases}
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,\ \ r=0,1,\cdots,\frac{N}{2}-1
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\end{equation}$$
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则序列 DFT 的**前半部分**可表示为
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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|
X\left(k\right)&=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x\left(2r\right)W_N^{2rk}}+\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x\left(2r+1\right)W_N^{\left(2r+1\right)k}}=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x_1\left(r\right)W_{\frac{N}{2}}^{rk}}+W_N^k\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x_2\left(r\right)W_{\frac{N}{2}}^{rk}}
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||||||
|
\\
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||||||
|
&=\mathrm{DFT}\left[x_1\left(n\right)\right]+W_N^k\mathrm{DFT}\left[x_2\left(n\right)\right]
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|
\\
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||||||
|
&=X_1\left(k\right)+W_N^kX_2\left(k\right),\ \ k=0,1,\cdots,\frac{N}{2}-1
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|
\end{aligned}
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\end{equation}$$
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|
由旋转因子的周期性，即
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$$\begin{equation}
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W_{\frac{N}{2}}^{rk}=W_{\frac{N}{2}}^{r\left(k+\frac{N}{2}\right)}
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\end{equation}$$
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|
可将序列 DFT 的**后半部分**表示为
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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|
X\left(k+\frac{N}{2}\right)&=X_1\left(k+\frac{N}{2}\right)+W_N^{\left(k+\frac{N}{2}\right)}X_2\left(k+\frac{N}{2}\right)
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||||||
|
\\
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||||||
|
&=X_1\left(k\right)+W_N^{\left(k+\frac{N}{2}\right)}X_2\left(k\right)
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||||||
|
\\
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||||||
|
&=X_1\left(k\right)-W_N^kX_2\left(k\right),\ \ k=0,1,\cdots,\frac{N}{2}-1
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||||||
|
\end{aligned}
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||||||
|
\end{equation}$$
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|
类似地，可以将分离后的序列继续按奇偶序号分成两个序列计算，**直到每个序列中只含有两个点**。此时开始计算 DFT。这种方法称为**基-2 按时间抽取的 FFT 算法**。
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## 3.2 蝶形运算流图符号
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{width=1000px}
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## 3.3 8 点基-2 DIT-FFT 推导
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{width=1000px}
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  对于 8 点的序列，进行两次分解后每部分序列只含有两个点，可以直接计算 DFT。为了得到自然顺序输出的 DFT 序列，将第二级分解以后的结果作为输入。下面推导每级分解后序列的结果表示。
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|
  对于第一级分解，直接用[算法原理](#3.1)中的式子表示结果，有
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$$\begin{align}
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|
&X\left(k\right)=X_1\left(k\right)+W_N^kX_2\left(k\right),&k=0,1,\cdots,\frac{N}{2}\\
|
||||||
|
&X\left(k+\frac{N}{2}\right)=X_1\left(k\right)+W_N^kX_2\left(k\right),&k=0,1,\cdots,\frac{N}{2}
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|
\end{align}$$
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|
对于第二级分解
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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|
X_1\left(k\right)&=\sum_{l=0}^{\frac{N}{4}-1}{x_1\left(2l\right)W_{\frac{N}{2}}^{2lk}}+\sum_{l=0}^{\frac{N}{4}-1}{x_1\left(2l+1\right)W_{\frac{N}{2}}^{\left(2l+1\right)k}}
|
||||||
|
\\
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||||||
|
&=\sum_{l=0}^{\frac{N}{4}-1}{x_3\left(l\right)W_{\frac{N}{4}}^{lk}}+W_{\frac{N}{2}}^k\sum_{l=0}^{\frac{N}{4}-1}{x_4\left(l\right)W_{\frac{N}{4}}^{lk}}=X_3\left(k\right)+W_{\frac{N}{2}}^kX_4\left(k\right),\ \ k=0,1,\cdots,\frac{N}{4}-1
|
||||||
|
\end{aligned}
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||||||
|
\end{equation}$$
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|
$$\begin{equation}
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||||||
|
X_1\left(k+\frac{N}{4}\right)=X_3\left(k\right)-W_{\frac{N}{2}}^kX_4\left(k\right),\ \ k=0,1,\cdots,\frac{N}{4}-1
|
||||||
|
\end{equation}$$
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|
同理
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$$\begin{equation}
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|
X_2\left(k\right)=X_5\left(k\right)+W_{\frac{N}{2}}^kX_6\left(k\right),X_2\left(k+\frac{N}{2}\right)=X_5\left(k\right)-W_{\frac{N}{2}}^kX_6\left(k\right),\ \ k=0,1,\cdots,\frac{N}{4}-1
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
对于最后剩下的四个 $\dfrac{N}{4}=2$ 点的 DFT，即 $X_3\left(k\right)、X_4\left(k\right)、X_5\left(k\right)、X_6\left(k\right)，k=0,1$，可按定义计算，如对 $X_3\left(k\right)$
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||||||
|
&X_3\left(k\right)=\sum_{l=0}^{\frac{N}{4}-1}{x_3\left(l\right)W_{\frac{N}{4}}^{lk}}=\sum_{l=0}^{1}{x_3\left(l\right)W_{\frac{N}{4}}^{lk}}\\
|
||||||
|
\Longrightarrow &X_3\left(0\right)=x_3\left(0\right)+W_2^0x_3\left(1\right)=x\left(0\right)+W_N^0x\left(4\right),X_3\left(1\right)=x_3\left(0\right)+W_2^1x_3\left(1\right)=x\left(0\right)-W_N^0x\left(4\right)
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||||||
|
\end{aligned}
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\end{equation}$$
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|
将上述各式的旋转因子统一为 $W_{\frac{N}{2}}^k=W_N^{2k}$，则一个 8 点的 DFT 可以分解为四个 $\dfrac{N}{4}$ 点的 DFT ，先做 $\dfrac{N}{4}$ 点的 DFT，再用相应的两个 $\dfrac{N}{4}$ 点 DFT 的结果合成 $\dfrac{N}{2}$ 点的 DFT，从而得到 $X_1\left(k\right)、X_2\left(k\right)$，最后组合成为 $N$ 点的 DFT。上述过程的运算流图如下左图，实际绘制按照如下右图即可。
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{width=1000px}
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## 3.4 算法特点
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### 3.4.1 原位运算
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  每级计算所得点数相同，且上一级数据不影响下级运算，数据可以保存在原寄存器中。
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### 3.4.2 比特反位序
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  若下标 $n$ 可用二进制表示为 $n=\left(b_2b_1b_0\right)_2$，则 FFT 的输入样本序号 $k$ 就可用二进制表示为 $k=\left(b_0b_1b_2\right)_2$。
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### 3.4.3 计算复杂度
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  对于长度为 $N=2^\nu$ 的序列，共有 $\nu$ 级蝶形运算，每级有 $\dfrac{N}{2}$ 个蝶形，每个蝶形有 $1$ 次复数加法、$2$ 次复数乘法，因此 $\nu$ 级蝶形运算共有
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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&复数乘法：m_F=\frac{N}{2}\cdot\nu=\frac{N}{2}\log_2{N}\\
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||||||
|
&复数加法：a_F=N\cdot\nu=N\log_2{N}
|
||||||
|
\end{aligned}
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\end{equation}$$
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### 3.4.4 各类蝶形运算两个点相距的“距离”及 $W_N^k$ 的变化规律
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| 点数 $N$ | 列数 | 蝶形运算的种类数 | 蝶形运算的系数 | 参加蝶形运算的<br>两数据点的间距
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| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
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| $\top$ | 第 $1$ 列 | $1$ 种 | $W_2^0/W_8^0=1$ | $1$ |
|
||||||
|
| $8$ | 第 $2$ 列 | $2$ 种 | $W_4^0/W_8^0,{W_4^1/W}_8^2$ | $2$ |
|
||||||
|
| $\bot$ | 第 $3$ 列 | $4$ 种 | $W_8^0,W_8^1,W_8^2,W_8^3$ | $4$ |
|
||||||
|
| $\top$ | 第 $1$ 列 | $2^0$ 种 | $W_2^0/W_N^0$ | $1$ |
|
||||||
|
| $\mid$ | 第 $2$ 列 | $2^1$ 种 | $W_4^0/W_N^0,{W_4^1/W}_N^{\frac{N}{4}}$ | $2$ |
|
||||||
|
| $\mid$ | 第 $3$ 列 | $2^2$ 种 | $W_8^0,W_8^1,W_8^2,W_8^3/$<br>$W_N^0,W_N^{\frac{8}{N}},W_N^{2\cdot\frac{8}{N}},W_8^{3\cdot\frac{8}{N}}$ | $4$ |
|
||||||
|
| $2^\nu$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
|
||||||
|
| $\mid$ | 第 $\nu-1$ 列 | $2^{\nu-2}$ 种 | $W_{\frac{N}{2}}^0,W_{\frac{N}{2}}^1,W_{\frac{N}{2}}^2,\cdots,W_{\frac{N}{2}}^{\frac{N}{4}-1}$ $W_N^0,W_N^2,W_N^4,\cdots,W_N^{\frac{N}{2}-2}$ | $\dfrac{N}{4}$ |
|
||||||
|
| $\bot$ | 第 $\nu$ 列 | $2^{\nu-1}$ 种 | $W_N^0,W_N^1,W_N^2,\cdots,W_N^{\frac{N}{2}-1}$ | $\dfrac{N}{2}$ |
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||||||
|
  以上述 8 点 FFT 为例，各列蝶形运算的种类数和系数以及参加蝶形运算的两数据点的间距如上表上半部。可见，每列的蝶形类型比前一列增加一倍，参加蝶形运算的两个数据点的间距也增大一倍。最后一列系数用的最多，为 4 个，即 $W_8^0,W_8^1,W_8^2,W_8^3$；而前一列只用带它偶序号的那一半，即 ${W_4^0/W}_8^0,{W_4^1/W}_8^2$；第一列只有一个系数即 ${W_2^0/W}_8^0$。
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||||||
|
|
||||||
|
  上述结论可推广至 $N=2^\nu$ 的一般情况。如上表下半部。从前向后，第一列只有一种类型的蝶形运算 $W_N^0$，以后的每列蝶形的类型逗逼前一列增加一倍，到第 $\nu$ 列是 $\dfrac{N}{2}$ 个蝶形类型，系数是 $W_N^0,W_N^1,\cdots,W_N^{\frac{N}{2}-1}$，共 $\dfrac{N}{2}$ 个。从后向前，系数是后一级的偶数序号的那一半。参加蝶形运算的两个数据点的间距，是最末一级最大，其值为 $\dfrac{N}{2}$，向前每推进一列，间距减少一半。
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# 4. 基-2 按频率抽取的 FFT 算法
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（radix-2 Decimation in Frequency Fast Fourier Transform, radix-2 DIF-FFT, i.e. Sande-Tukey Method）
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## 4.1 算法原理
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  设序列 $x\left(n\right)的列长N=2^\nu$，$\nu$ 为整数，则其 DFT
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$$\begin{equation}
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|
X\left(k\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}},\ \ k=0,1,\cdots,N-1
|
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\end{equation}$$
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|
**将 $x\left(n\right)$ 按照 $n$ 的顺序分成两个子序列（即可将 $X\left(k\right)$ 按照奇偶分组）**
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$$\begin{equation}
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\begin{cases}
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|
前半子序列x\left(n\right)\\
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|
后半子序列x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)
|
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\end{cases}
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||||||
|
,\ \ n=0,1,\cdots,\frac{N}{2}-1
|
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\end{equation}$$
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|
则序列的 DFT 可表示为
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||||||
|
X\left(k\right)&=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}+\sum_{n=\frac{N}{2}}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}+\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{x\left(n+\frac{N}{2}\right)W_N^{(n+\frac{N}{2})k}}
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
&=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{\left[x\left(n\right)+W_N^{\frac{N}{2}k}x\left(n+\frac{N}{2}\right)\right]W_N^{nk}}
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
&\xlongequal{W_{N}^{\frac{N}{2}k}=\left( -1 \right) ^k}\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{\left[x\left(n\right)+\left(-1\right)^kx\left(n+\frac{N}{2}\right)\right]W_N^{nk}},\ \ k=0,1,\cdots,\frac{N}{2}-1
|
||||||
|
\end{aligned}
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
由 $W_N^{\frac{N}{2}k}=\left(-1\right)^k$，按照 $k$ 的奇偶可将 $X\left(k\right)$ 分成两部分，令 $k=2r$ 及 $k=2r+1,\ r=0,1,\cdots,\dfrac{N}{2}-1$，则
|
||||||
|
|
||||||
|
$$\begin{align}
|
||||||
|
&X\left(2r\right)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{\left[x\left(n\right)+x\left(n+\frac{N}{2}\right)\right]W_N^{2rn}}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{\left[x\left(n\right)+x\left(n+\frac{N}{2}\right)\right]W_{\frac{N}{2}}^{rn}}
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
&X\left(2r+1\right)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{\left[x\left(n\right)-x\left(n+\frac{N}{2}\right)\right]W_N^{2rn}}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{\left[x\left(n\right)-x\left(n+\frac{N}{2}\right)\right]W_N^nW_{\frac{N}{2}}^{rn}}
|
||||||
|
\end{align}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
上两式种的前者是输入序列前一半和后一半之和的 $\dfrac{N}{2}$ 点 DFT，后者是输入序列前一半和后一半之差与 $W_N^n$ 之积的 $\dfrac{N}{2}$ 点 DFT。令
|
||||||
|
|
||||||
|
$$\begin{equation}
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
x_1\left(n\right)=x\left(n\right)+x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)\\
|
||||||
|
x_2\left(n\right)=\left[x\left(n\right)-x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)\right]W_N^n
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
,\ \ n=0,1,\cdots,\frac{N}{2}-1
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
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||||||
|
则
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$$\begin{equation}
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|
X\left(2r\right)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{x_1\left(n\right)W_{\frac{N}{2}}^{rn}},\ \ X\left(2r+1\right)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{x_2\left(n\right)W_{\frac{N}{2}}^{rn}}
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
|
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||||||
|
由此，可将 $N$ 点 DFT 按频率 $k$ 的奇偶分解为两个序列的 $\dfrac{N}{2}$ 点 DFT。类似地，可以将分离后的序列继续按频率k的奇偶分成两个序列计算，**直到每个序列中只含有两个点**。此时开始计算 DFT。这种方法称为**基-2 按频率抽取的 FFT 算法**。
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|
## 4.2 蝶形运算流图符号
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{width=1000px}
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## 4.3 8 点基-2 DIF-FFT 推导简述
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{width=1000px}
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运算流图如下左图，实际绘制按照如下右图即可。
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{width=1000px}
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**对于任何流图，只要保持各节点所连的支路及其传输系数不变，则不论节点位置怎么排列，所得流图总是等效的，最后所得 DFT 结果也是正确的**，只是数据的提取和存放次序不同而已。
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## 4.4 算法特点
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### 4.4.1 原位运算
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  每级计算所得点数相同，且上一级数据不影响下级运算，数据可以保存在原寄存器中。
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### 4.4.2 比特反位序
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  若下标 $n$ 可用二进制表示为 $n=\left(b_2b_1b_0\right)_2$，则 FFT 的输入样本序号 $k$ 就可用二进制表示为 $k=\left(b_0b_1b_2\right)_2$。
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### 4.4.3 计算复杂度
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  对于长度为 $N=2^\nu$ 的序列，共有 $\nu$ 级蝶形运算，每级有 $\dfrac{N}{2}$ 个蝶形，每个蝶形有 $1$ 次复数加法、$2$ 次复数乘法，因此 $\nu$ 级蝶形运算共有
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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&复数乘法：m_F=\frac{N}{2}\cdot\nu=\frac{N}{2}\log_2{N}\\
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|
&复数加法：a_F=N\cdot\nu=N\log_2{N}
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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# 5. 基-2 DIT-FFT 和 基-2 DIF-FFT 的比较
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{width=1000px}
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# 6. 分裂基 FFT 算法（split-radix FFT Method）
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## 6.1 算法原理（基-4 DIF-FFT同理）
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  设序列 $x\left(n\right)$ 的列长 $N=2^\nu$，$\nu$为整数，则其 DFT
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$$\begin{equation}
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X\left(k\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}},\ \ k=0,1,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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将 $x\left(n\right)$ 按照 $n$ 的顺序分成四个子序列
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$$\begin{equation}
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\begin{cases}
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第一子序列x\left(n\right)\\
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第二子序列x\left(n+\dfrac{N}{4}\right)\\
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第三子序列x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)\\
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第四子序列x\left(n+\dfrac{3N}{4}\right)
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\end{cases}
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,\ \ n=0,1,\cdots,\frac{N}{2}-1
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\end{equation}$$
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则序列的 DFT 可表示为
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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X\left(k\right)&=\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}+\sum_{n=\frac{N}{4}}^{\frac{N}{2}-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}+\sum_{n=\frac{N}{2}}^{\frac{3N}{4}-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}+\sum_{n=\frac{3N}{4}}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}
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\\
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||||||
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&=\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}\left[x\left(n\right)W_N^{nk}+x\left(n+\frac{N}{4}\right)W_N^{\left(n+\frac{N}{4}\right)k}+x\left(n+\frac{N}{2}\right)W_N^{\left(n+\frac{N}{2}\right)k}+x\left(n+\frac{3N}{4}\right)W_N^{\left(n+\frac{3N}{4}\right)k}\right]
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||||||
|
\\
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||||||
|
&=\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{\left[x\left(n\right)+x\left(n+\frac{N}{4}\right)W_N^{\frac{N}{4}k}+x\left(n+\frac{N}{2}\right)W_N^{\frac{N}{2}k}+x\left(n+\frac{3N}{4}\right)W_N^{\frac{3N}{4}k}\right]W_N^{nk}}
|
||||||
|
\\
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||||||
|
&=\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{\left[x\left(n\right)+x\left(n+\frac{N}{4}\right)W_4^k+x\left(n+\frac{N}{2}\right)W_4^{2k}+x\left(n+\frac{3N}{4}\right)W_4^{3k}\right]W_N^{nk}}
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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按照 $k$ 除以 $4$ 的余数可将 $X\left(k\right)$ 分成四部分，分别令 $k=4r、k=4r+1、k=4r+2、k=4r+3$，其中 $r=0,1,\cdots,\dfrac{N}{4}-1$，则有
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$$\begin{equation}
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\begin{cases}
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|
X\left(4r\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{\left[x\left(n\right)+x\left(n+\dfrac{N}{4}\right)+x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)+x\left(n+\dfrac{3N}{4}\right)\right]W_{\frac{N}{4}}^{rn}}
|
||||||
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\\
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||||||
|
X\left(4r+1\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{\left[x\left(n\right)-jx\left(n+\dfrac{N}{4}\right)-x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)+jx\left(n+\dfrac{3N}{4}\right)\right]W_N^nW_{\frac{N}{4}}^{rn}}
|
||||||
|
\\
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||||||
|
X\left(4r+2\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{\left[x\left(n\right)-x\left(n+\dfrac{N}{4}\right)+x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)-x\left(n+\dfrac{3N}{4}\right)\right]W_N^{2n}W_{\frac{N}{4}}^{rn}}
|
||||||
|
\\
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||||||
|
X\left(4r+3\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{\left[x\left(n\right)+jx\left(n+\dfrac{N}{4}\right)-x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)-jx\left(n+\dfrac{3N}{4}\right)\right]W_N^{3n}W_{\frac{N}{4}}^{rn}}
|
||||||
|
\end{cases}
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,\ \ r=0,1,\cdots,\frac{N}{4}-1
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\end{equation}$$
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上述过程也是基-4 DIF-FFT 的推导。上式中的偶数序号项合并，得
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$$\begin{equation}
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\begin{cases}
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X\left(2r\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{\left[x\left(n\right)+x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)\right]W_N^{2rn}}, &r=0,1,\cdots,\dfrac{N}{2}-1
|
||||||
|
\\
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||||||
|
X\left(4r+1\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{\left[\left(x\left(n\right)-x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)\right)-j\left(x\left(n+\dfrac{N}{4}\right)-x\left(n+\dfrac{3N}{4}\right)\right)\right]W_N^nW_{\frac{N}{4}}^{rn}},&r=0,1,\cdots,\dfrac{N}{4}-1
|
||||||
|
\\
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||||||
|
X\left(4r+3\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{\left[\left(x\left(n\right)-x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)\right)+j\left(x\left(n+\dfrac{N}{4}\right)-x\left(n+\dfrac{3N}{4}\right)\right)\right]W_N^{3n}W_{\frac{N}{4}}^{rn}},&r=0,1,\cdots,\dfrac{N}{4}-1
|
||||||
|
\end{cases}
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\end{equation}$$
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令
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$$\begin{equation}
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\begin{cases}
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|
x_2\left(n\right)=x\left(n\right)+x\left(n+\dfrac{N}{2}\right), &n=0,1,\cdots,\dfrac{N}{2}-1
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\\
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||||||
|
x_4^1\left(n\right)=\left[\left(x\left(n\right)-x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)\right)-j\left(x\left(n+\dfrac{N}{4}\right)-x\left(n+\dfrac{3N}{4}\right)\right)\right]W_N^n,&n=0,1,\cdots,\dfrac{N}{4}-1
|
||||||
|
\\
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||||||
|
x_4^2\left(n\right)=\left[\left(x\left(n\right)-x\left(n+\dfrac{N}{2}\right)\right)+j\left(x\left(n+\dfrac{N}{4}\right)-x\left(n+\dfrac{3N}{4}\right)\right)\right]W_N^{3n},&n=0,1,\cdots,\dfrac{N}{4}-1
|
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\end{cases}
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\end{equation}$$
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则有
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$$\begin{equation}
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\begin{cases}
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X\left(2r\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{x_2\left(n\right)W_{\frac{N}{2}}^{rn}}=DFT\left[x_2\left(n\right)\right], &r=0,1,\cdots,\dfrac{N}{2}-1
|
||||||
|
\\
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||||||
|
X\left(4r+1\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{x_4^1\left(n\right)W_{\frac{N}{4}}^{rn}}=\mathrm{DFT}\left[x_4^1\left(n\right)\right],&r=0,1,\cdots,\dfrac{N}{4}-1
|
||||||
|
\\
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||||||
|
X\left(4r+3\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1}{x_4^2\left(n\right)W_{\frac{N}{4}}^{rn}}=\mathrm{DFT}\left[x_4^2\left(n\right)\right],&r=0,1,\cdots,\dfrac{N}{4}-1
|
||||||
|
\end{cases}
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\end{equation}$$
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由此，DFT 的偶数部分采用基-2 算法，奇数部分采用基-4 算法，将一个 $N$ 点 DFT 的分解为一个 $\dfrac{N}{2}$ 点 DFT 和两个 $\dfrac{N}{4}$ 点 DFT。可将分裂基-2/4 算法看成**时域分段、频域抽取**的方法。先将整个 $N$ 点序列在时域分成两段，对于偶数段，在时域进一步分成两段，相当于在频域抽取偶数点 $X\left(2r\right)$；对于奇数段，在时域分成 4 段，相当于在频域抽取奇数点 $X\left(4r+1\right)$ 和 $X\left(4r+3\right)$。类似地，可将分离后的序列继续分解，直到最后一级。这种方法称为**分裂基 FFT 算法**。
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## 6.2 L 蝶形运算流图符号
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{width=1000px}
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## 6.3 8 点 radix-2/4 FFT举例
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{width=600px}
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## 6.4 运算量分析
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  对于 $N=2^\nu$ 点 DFT，设第 $i$ 级有 $l_i$ 个蝶形，$j=0,1,\cdots,\nu-1$，则
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$$\begin{equation}
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\begin{cases}
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l_1=\dfrac{N}{4}\\
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l_i=\dfrac{N}{4}-\dfrac{l_{j-1}}{2}=\dfrac{N}{6}\left[1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^i\right],\ \ i\neq1
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\end{cases}
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\Longrightarrow\sum_{i=1}^{\nu-1}l_i=\frac{N}{6}\left[\nu-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^\nu\right]
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\end{equation}$$
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其中 $l_i$ 来自 L 蝶形的特殊结构。总的复乘次数为 L 蝶形数的两倍，而总的复加次数与基-2 FFT 算法相同，即
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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|
&复数乘法：C_F=2\cdot\sum_{i=1}^{\nu-1}l_i=\frac{N}{3}\log_2{N}-\frac{2N}{9}+\frac{\left(-1\right)^\nu2}{9}\ \ \propto\ \ \frac{N}{3}\log_2{N}\\
|
||||||
|
&复数加法：a_F=N\cdot\nu=N\log_2{N}
|
||||||
|
\end{aligned}
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\end{equation}$$
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显然，**复乘次数相比基-2 FFT 算法下降了33%**。
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> **L 蝶形数与流图中 $-j$ 的个数相等。**
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# 7. 实序列的 FFT 算法
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## 7.1 用一个 $N$ 点 DFT 同时计算两个 $N$ 点实序列的 DFT
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  设 $x_1\left(n\right),x_2\left(n\right)$ 是相互独立的两个 $N$ 点实序列，将 $x_1\left(n\right)$ 和 $x_2\left(n\right)$ 分别当作一复序列的实部和虚部，即
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$$\begin{equation}
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x\left(n\right)=x_1\left(n\right)+jx_2\left(n\right)
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\end{equation}$$
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则由 DFT 的线性性质，$x\left(n\right)$ 的 DFT 可表示为
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$$\begin{equation}
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X\left(k\right)=X_1\left(k\right)+jX_2\left(k\right)
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\end{equation}$$
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再由的[复序列的 DFT 性质](https://josh-gao.top/posts/fd9f9a29.html#3.8.5.3)
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$$\begin{equation}
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|
X\left(k\right)=X_{ep}\left(k\right)+X_{op}\left(k\right)
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\end{equation}$$
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|
则有 $X_1\left(k\right)$ 和 $X_2\left(k\right)$
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$$\begin{equation}
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X_1\left(k\right)=X_{ep}\left(k\right)=\frac{1}{2}\left[X\left(k\right)+X^\ast\left(N-k\right)\right]
|
||||||
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\end{equation}$$
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|
$$\begin{equation}
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||||||
|
X_2\left(k\right)=-{jX}_{op}\left(k\right)=-\frac{j}{2}\left[X\left(k\right)-X^\ast\left(N-k\right)\right]
|
||||||
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\end{equation}$$
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蝶形图如下：
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{width=500px}
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## 7.2 用一个 $N$ 点 DFT 计算一个 $2N$ 点实序列的 DFT
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  设 $x\left(n\right)$ 是一个 $2N$ 点的实序列，将其按照奇偶分为两个独立的 $N$ 点实序列 $x_1\left(n\right),x_2\left(n\right)$，即
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$$\begin{equation}
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\begin{cases}
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|
x_1\left(n\right)=x\left(2n\right)\\
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|
x_2\left(n\right)=x\left(2n+1\right)
|
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\end{cases}
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,\ \ n=0,1,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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将 $x_1\left(n\right)$ 和 $x_2\left(n\right)$ 分别当作一复序列的实部和虚部，即
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$$\begin{equation}
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||||||
|
y\left(n\right)=x_1\left(n\right)+jx_2\left(n\right)
|
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\end{equation}$$
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|
则由 DFT 的线性性质，$y\left(n\right)$ 的 DFT 可表示为
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$$\begin{equation}
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|
Y\left(k\right)=X_1\left(k\right)+jX_2\left(k\right)
|
||||||
|
\end{equation}$$
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|
则由上述讨论，有 $X_1\left(k\right)$ 和 $X_2\left(k\right)$
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$$\begin{equation}
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||||||
|
X_1\left(k\right)=Y_{ep}\left(k\right)=\frac{1}{2}\left[Y\left(k\right)+Y^\ast\left(N-k\right)\right]
|
||||||
|
\end{equation}$$
|
||||||
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|
$$\begin{equation}
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||||||
|
X_2\left(k\right)=-{jY}_{op}\left(k\right)=-\frac{j}{2}\left[Y\left(k\right)-Y^\ast\left(N-k\right)\right]
|
||||||
|
\end{equation}$$
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因此 $x\left(n\right)$ 的傅里叶变换（类似基-2 DIT）
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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X\left(k\right)&=\sum_{n=0}^{2N-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(2n\right)W_{2N}^{2nk}}+\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(2n+1\right)W_{2N}^{\left(2n+1\right)k}}
|
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|
\\
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||||||
|
&=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(2n\right)W_{2N}^{2nk}}+W_{2N}^k\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(2n+1\right)W_{2N}^{2nk}}
|
||||||
|
\\
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||||||
|
&=\sum_{n=0}^{N-1}{x_1\left(n\right)W_N^{nk}}+W_{2N}^k\sum_{n=0}^{N-1}{x_2\left(n\right)W_N^{nk}}
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
&=X_1\left(k\right)+W_{2N}^kX_2\left(k\right),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k=0,1,\cdots,N-1
|
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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|
X\left(k+N\right)=X_1\left(k\right)-W_{2N}^kX_2\left(k\right),\ \ k=0,1,\cdots,N-1\qquad\qquad\quad\
|
||||||
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\end{equation}$$
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蝶形图如下：
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{width=500px}
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# 参考文献
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王世一. *数字信号处理, 修订版.* 北京理工大学出版社, 1997.
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Reference in New Issue
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