add post josh-dsp-1&2; update image watermark
This commit is contained in:
@@ -46,9 +46,7 @@ mx = max(abs(h-rcosdesign(0.25,6,4,'sqrt')))
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fvtool(h,'Analysis','impulse')
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```
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-25-matlab-rcosdesign/2020-11-25-matlab-rcosdesign-010-DesignASquareRootRaisedCosineFilterExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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## 升余弦和根升余弦滤波器的脉冲响应<a name="Examples-02"></a>
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@@ -65,9 +63,7 @@ h1 = rcosdesign(rf,span,sps,'normal');
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fvtool(h1,'impulse')
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-25-matlab-rcosdesign/2020-11-25-matlab-rcosdesign-020-ImpulseResponsesOfNormalAndSquareRootRaisedCosineFiltersExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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**升余弦滤波器在 `sps` 的整数倍处具有零值点**。因此，它满足无码间串扰（ISI）的 Nyquist 准则。但是，根升余弦滤波器没有这样的特性：
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@@ -76,9 +72,7 @@ h2 = rcosdesign(rf,span,sps,'sqrt');
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fvtool(h2,'impulse')
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-25-matlab-rcosdesign/2020-11-25-matlab-rcosdesign-030-ImpulseResponsesOfNormalAndSquareRootRaisedCosineFiltersExample-02.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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将根升余弦滤波器与自身进行卷积。在最大值处截断脉冲响应，使其长度与 `h1` 相同。使用最大值将响应归一化。然后，将卷积后的根升余弦滤波器与升余弦滤波器进行比较。
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@@ -95,9 +89,7 @@ ylabel('Normalized amplitude')
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legend('h1','h2 * h2')
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-25-matlab-rcosdesign/2020-11-25-matlab-rcosdesign-040-ImpulseResponsesOfNormalAndSquareRootRaisedCosineFiltersExample-03.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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卷积响应的长度是有限的，因此根升余弦滤波器与自身进行卷积得到的结果会与升余弦滤波器不一致。增加 `span` 可以在响应之间获得更紧密的一致性，并更好地符合 Nyquist 准则。
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@@ -40,9 +40,7 @@ h = gaussdesign(bt,span,sps);
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fvtool(h,'impulse')
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-26-matlab-gaussdesign/2020-11-26-matlab-gaussdesign-010-GaussianFilterForAGSMGMSKDigitalCellularCommunicationSysExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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# 输入参数
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@@ -47,23 +47,15 @@ busuanzi_count:
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添加 Live2D 前的不蒜子显示情况如下。
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-010-Live2D-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-020-Live2D-02.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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添加 Live2D 后，不蒜子在页面中不显示。
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-030-Live2D-03.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-040-Live2D-04.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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## 问题原因
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@@ -93,9 +85,7 @@ busuanzi_count:
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在网页生成引擎中修改代码，去掉不蒜子部分的 `id` 和 `style` 属性，重新生成网页即可解决该问题。若将 `class` 属性一并删除，会导不蒜子部分和前面的其他显示部分缺少分隔符，如下图。
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-050-Delimeter-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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具体需要修改两个文件，`next/layout/_third-party/statistics/busuanzi-counter.swig` 中修改的是网页页脚部分的不蒜子显示，`next/layout/_macro/post.swig` 中修改的博客文章阅览数的不蒜子显示。
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@@ -104,9 +104,7 @@ Verilog 语言是根据 C 语言发明而来的，因此 Verilog 具备了 C 语
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HDL 的基本功能就是有效地描述并仿真硬件系统。在此部分，抛开具体的 PLD 或 ASIC 设计流程，从 HDL 语言层次入手，分析典型的 HDL 设计与验证流程。基于 HDL 的设计、仿真流程如下图所示。图中，虚线框表示的步骤可以根据项目的复杂度省略，而实线框表示的步骤为必须执行的步骤。
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-josh-verilog-part-1/2020-11-27-josh-verilog-part-1-010-DesignSimulationFlowChartBasedonHDL.png!800px"/>
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</div>
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{width=800px}
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下面对一些关键设计步骤与概念进行展开。
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@@ -60,9 +60,7 @@ plot(t,[x y])
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legend('Original Signal','Signal with AWGN')
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```
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-matlab-awgn/2020-11-27-matlab-awgn-010-AddAWGNToSawtoothSignalExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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## AWGN 信道中的常规 QAM 调制<span id="Examples-02"></span>
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@@ -103,9 +101,7 @@ grid
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hold off
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```
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-matlab-awgn/2020-11-27-matlab-awgn-020-GeneralQAMModulationInAnAWGNChannelExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5"/>
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</div>
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使用 `genqamdemod` 函数解调接收到的信号。计算误符号数和误符号率。
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@@ -52,9 +52,7 @@ EDA 行业的先行者们发明了 Verilog 硬件描述语言，其最根本的
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<a name="JoshVerilog模块"></a>首先看一个简单的如下图所示的电路（模块）：JoshVerilog。它可以是一个独立的设计，也可以是更大的系统的一个组成部分。
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-28-josh-verilog-part-2/2020-11-28-josh-verilog-part-2-010-JoshVerilog.png!700px"/>
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</div>
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{width=800px}
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该电路首先在两个 2 位的输入数据 `A_in[1:0]` 的和 `B_in[1:0]` 之间，由 `sel` 信号做二选一。后面是一个 2-4 译码电路，将输入的信号 `result[1:0]`解析成 `eq0`、`eql`、`eq2` 和 `eq3` 这4个信号，它们同时只有一个为 1。
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@@ -14,7 +14,7 @@ tags:
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- 抽样率转换
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- 抽取
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- 内插
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- 分数被抽样
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- 分数倍抽样
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categories:
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- - Josh 的学习笔记
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- 多抽样率信号处理
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@@ -75,9 +75,8 @@ X_s\left( j\Omega \right) =\frac{1}{2\pi}X_c\left( j\Omega \right) \ast \frac{2\
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  式 $\eqref{Relationship between the spectrum of the sampled signal and the original signal}$ 说明，采样信号的频谱是将原始信号频谱以 $\Omega_s$ 进行周期延拓，且幅度变为原来的 $1/T$，[图 1.1](#图1.1) 给出了该过程的示意图。显然，若采样率过低则会造成相邻周期的频谱交叠在一起产生失真，这种现象称为混叠 (aliasing)。为避免混叠，采样率应大于信号最高频率的 2 倍。在此条件下，通过适当选取一个低通滤波器，可以从采样信号的频谱恢复出原始信号的频谱。这就是著名的 Nyquist-Shannon 采样定理。
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<a id="图1.1"></a>
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2021-12-08-josh-msp-part-1/2021-12-08-josh-msp-part-1-010-RelationshipBetweenSampledSignalandAnalogSignal.png" width=500px alt="图1.1 采样信号与模拟信号的关系"/>
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</div>
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{width=500px}
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**定理 1.1 (Nyquist-Shannon 采样定理)** 设 $x\left(t\right)$ 是带限信号，频带范围为 $\left(-\Omega_M,\Omega_M\right)$。如果采样率满足
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@@ -134,9 +133,8 @@ y_D\left( nT_2 \right) =x\left( nDT_1 \right)
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其中 $T_1$、$T_2$ 分别为抽取前后的采样间隔，且 $T_2 = DT_1$。[图 1.2(a)](#图1.2) 给出了 $D=3$ 时抽取过程的示意图。
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<a id="图1.2"></a>
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<div align="center">
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<img src="https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2021-12-08-josh-msp-part-1/2021-12-08-josh-msp-part-1-020-DecimationDemostration.png" width=500px alt="图1.2 抽取"/>
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</div>
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{width=500px}
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  上述关系也可以简记为
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@@ -34,6 +34,8 @@ date: 2023-04-08 00:04:11
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\[countable\] an area of ground specially prepared and marked for playing a sports game
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<!-- more -->
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- *a **football pitch*** 足球场
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- *a cricket/rugby/hockey pitch* 板球/橄榄球/曲棍球场
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- *an artificial pitch* 人造沥青
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@@ -70,8 +72,6 @@ date: 2023-04-08 00:04:11
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{% endnote %}
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<!-- more -->
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### {% label primary@of sound 声音 %}
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2. [singular, uncountable] how high or low a sound is, especially a musical note（尤指乐音的）音高
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@@ -36,6 +36,8 @@ date: 2023-04-09 00:37:24
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1. **{% label @A1 %}** used before countable or singular nouns referring to people or things that have not already been mentioned（用于可数名词或单数名词前，表示未曾提到的）一（人、事、物）
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<!-- more -->
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- *a man/horse/unit* 一个人；一匹马；一个单位
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- *an aunt/egg/hour/X-ray* 一位姑母；一枚鸡蛋；一小时；一张 X 光片
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- *I can only carry two at a time.* 我一次只能带两个。
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@@ -49,8 +51,6 @@ date: 2023-04-09 00:37:24
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- *He's a teacher.* 他是教师。
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- *Is that a Monet* (= a painting by Monet)? 那是莫奈的画吗？
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<!-- more -->
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3. **{% label @A1 %}** any; every 任何一；每一
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- *A lion is a dangerous animal.* 狮子是猛兽。
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@@ -5,7 +5,7 @@ comments: true
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copyright: true
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toc:
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enable: true
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number: ture
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number: false
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wrap: true
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expand_all: true
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max_depth: 4
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@@ -0,0 +1,301 @@
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||||
title: Josh 的学习笔记之数字信号处理（Part 1——离散时间信号和系统分析基础）
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mathjax: true
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comments: true
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copyright: true
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toc:
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enable: true
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number: false
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wrap: true
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expand_all: true
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max_depth: 4
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||||
abbrlink: 1391fb05
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date: 2023-04-14 17:24:45
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||||
tags:
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||||
- 数字信号和处理
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- DSP
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- 采样定理
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- 内插函数
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||||
- 角频率
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- 单位取样响应
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- 系统频率响应
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- 共轭对称
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categories:
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||||
- [Josh 的学习笔记, 数字信号处理]
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# 1. 理想取样信号的频谱
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  设有输入连续时间信号 $x_a\left(t\right)$，理想取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$，单位周期冲激串 $p_\delta\left(t\right)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)$，则理想取样信号可表示为
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||||
|
||||
$$\begin{equation}
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||||
\hat{x}\left(t\right)=x_a\left(t\right)p_\delta\left(t\right)=x_a\left(t\right)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)
|
||||
\end{equation}$$
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||||
|
||||
由于 $\delta\left(t-nT\right)$ 仅在 $t=nT$ 时非零，因此理想取样信号可进一步表示为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\hat{x}\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x_a\left(nT\right)\delta\left(t-nT\right)}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
<!-- more -->
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||||
|
||||
  将单位周期冲激串 $p_\delta\left(t\right)$ 按指数形式的傅氏级数展开[^1]，有
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||||
|
||||
$$\begin{equation}
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||||
p_\delta\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}{c_me^{jm\frac{2\pi}{T}\cdot t}}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中
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||||
|
||||
$$\begin{equation}
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||||
c_m=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)e^{-jm\frac{2\pi}{T}t}\mathrm{d}t}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
由于在积分区间 $\left[-\dfrac{T}{2},\dfrac{T}{2}\right]$内只有一个冲激脉冲 $\delta\left(t\right)$，则
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||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
c_m=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\delta\left(t\right)e^{-jm\frac{2\pi}{T}t}\mathrm{d}t}=\frac{1}{T}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
由此，单位周期冲激串可进一步表示为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
p_\delta\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{jm\frac{2\pi}{T}\cdot t}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
  理想取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$ 的傅里叶变换（取样角频率 $\Omega_s=\dfrac{2\pi}{T}$）
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||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
\begin{aligned}
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||||
\hat{X}\left(j\Omega\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{x}\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t}=\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)p_\delta\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t}\\
|
||||
&=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)\sum_{m=-\infty}^{\infty}{e^{jm\Omega_st}e^{-j\Omega t}}\mathrm{d}t}=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)e^{-j\left(\Omega-m\Omega_s\right)t}\mathrm{d}t}
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
与连续时间信号 $x_a\left(t\right)$ 的傅里叶变换对比
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
X_a\left(j\Omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
有
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$$\begin{equation}
|
||||
\hat{X}\left(j\Omega\right)=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}{X_a\left[j\left(\Omega-m\Omega_s\right)\right]}=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}{X_a\left[j\left(\Omega-m\frac{2\pi}{T}\right)\right]}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
由此，理想取样后信号频谱的幅值乘以 $\dfrac{1}{T}$ 因子，且周期延拓[^2]。
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||||
# 2. 按非零脉宽取样的信号的频谱
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||||
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||||
  设有输入连续时间信号 $x_a\left(t\right)$，取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$，幅度为 $1$ 重复周期为 $T$ 宽度为 $\tau$ 的周期取样脉冲 $p\left(t\right)$。取样脉冲的傅里叶变换[^3]为
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||||
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||||
$$\begin{equation}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
p\left( t \right) =\begin{cases}
|
||||
1,&0<\left| t \right|<\dfrac{\tau}{2}\\
|
||||
0,&\dfrac{\tau}{2}<\left| t \right|<\dfrac{T}{2}\\
|
||||
\end{cases}
|
||||
且p\left(t+T\right)=p\left(t\right) \xleftrightarrow{\text{Fourier Transform}} P\left(j\Omega\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{2\sin{\left(\dfrac{m\pi\tau}{T}\right)}}{m}\delta\left(\Omega-\frac{2\pi}{T}\right)
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
则取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$ 的频谱
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
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||||
\begin{aligned}
|
||||
\hat{X}\left(j\Omega\right)&=\dfrac{1}{2\pi}X_a\left(j\Omega\right)\ast P\left(j\Omega\right)=\dfrac{1}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\dfrac{2\sin{\left(\dfrac{m\pi\tau}{T}\right)}}{m}X_a\left[j\left(\Omega-m\frac{2\pi}{T}\right)\right]\\
|
||||
&=\frac{\tau}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}Sa\left(\frac{m\pi\tau}{T}\right)X_a\left[j\left(\Omega-m\frac{2\pi}{T}\right)\right]
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中
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||||
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$$\begin{equation}
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||||
\Omega_s=\frac{2\pi}{T}，\mathrm{Sa}\left(x\right)=\frac{\sin{x}}{x}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
由此可见取样信号的频谱是周期重复的，其幅度是按照 $\mathrm{Sa}$ 函数（或 $\mathrm{sinc}$ 函数）[^4]的变化规律随频率而逐渐下降的。
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||||
|
||||
# 3. Shannon 取样定理
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||||
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||||
  对于任何采样（不论是理想或实际），取样频率 $\Omega_s$ 必须大于原模拟信号频谱中最高频率 $\Omega_h$ 的两倍，则取样信号 $x_a\left(t\right)$ 可由其取样信号 $x\left(nT\right)$ 唯一表示表示，即不发生频谱混叠。
|
||||
|
||||
  信号频谱中最高频率 $\Omega_h$ 称为 Nyquist 频率，理论上能够再恢复出原信号的最小频率 $\Omega_s={2\Omega}_h$ 称为 Nyquist 采样率。
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||||
|
||||
# 4. 信号的恢复及取样内插公式
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||||
|
||||
  当满足 Shannon 取样定理时，将取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$ 通过一带宽等于折叠频率 $\Omega_0=\dfrac{\Omega_s}{2}$ 的只允许通过基带频谱的理想低通滤波器可恢复出原模拟信号。滤波器的频域表达式及其脉冲响应为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
H\left( j\varOmega \right) =\begin{cases}
|
||||
T,\left| \Omega \right|<\dfrac{\Omega _s}{2}\\
|
||||
0,\left| \Omega \right|\geqslant \dfrac{\Omega _s}{2}\\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
\text{Fourier} \updownarrow \text{Transform}
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\\
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||||
h_a\left( t \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{H\left( j\Omega \right) e^{j\Omega t}\text{d}t}=\frac{T}{2\pi}\int_{-\frac{\Omega _s}{2}}^{\frac{\Omega _{\text{s}}}{2}}{e^{j\Omega t}\text{d}t}
|
||||
=\dfrac{\sin \!\:\dfrac{\Omega _s}{2}t}{\dfrac{\Omega _s}{2}t}=\dfrac{\sin \!\:\dfrac{\pi}{T}t}{\dfrac{\pi}{T}t}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
则由时域卷积定理[^5]
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\begin{aligned}
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||||
y\left(t\right)&=\hat{x}\left(t\right)\ast h_a\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{x}\left(t\right)h_a\left(t-\tau\right)d\tau}=\int_{-\infty}^{\infty}{\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x_a\left(\tau\right)\delta\left(\tau-nT\right)}\right]h_a\left(t-\tau\right)d\tau}\\
|
||||
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(\tau\right)h_a\left(t-\tau\right)\delta\left(\tau-nT\right)d\tau}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x_a\left(nT\right)h_a\left(t-nT\right)}\\
|
||||
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x_a\left(nT\right)\dfrac{\sin{\dfrac{\pi}{T}\left(t-nT\right)}}{\dfrac{\pi}{T}\left(t-nT\right)}=x_a\left(t\right)}
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中内插函数
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||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
h_a\left(t-nT\right)=\frac{\sin{\dfrac{\pi}{T}\left(t-nT\right)}}{\dfrac{\pi}{T}\left(t-nT\right)}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
由此，只要取样率 $\Omega_s$ 满足 Shannon 取样定理，连续时间函数 $x_a\left(t\right)$ 就可以由它的取样值来表达而不损失任何信息。这时只要把每一个瞬间的函数乘以对应的内插函数 $h_a\left(t-nT\right)$ 并求总和，即可得出 $x_a(t)$。
|
||||
|
||||
# 5. 数字域角频率和模拟域角频率的关系
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  以正弦序列为例
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$$\begin{equation}
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||||
x\left(n\right)=\left.x\left(\Omega_0t\right)\right|_{t=nT}=\sin{\left(\Omega_0Tn\right)}=\sin{\left(\omega_0n\right)}
|
||||
\end{equation}$$
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||||
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||||
则数字域角频率和模拟域角频率的关系为
|
||||
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$$\begin{equation}
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||||
\omega_0=\Omega_0T=\frac{\Omega_0}{f_s}
|
||||
\end{equation}$$
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||||
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||||
也可以说模拟域角频率 $\Omega_0$ 对取样频率 $f_s$ 取归一化的值 $\dfrac{\Omega_0}{f_s}$。
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# 6. 离散线性卷积的矩阵算法
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||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
y=h\ast x=\left[\begin{matrix}h_1&0&\cdots&0&0\\h_2&h_1&\ddots&\vdots&\vdots\\\vdots&\vdots&\ddots&0&0\\h_m&h_{m-1}&&h_1&0\\0&h_m&\ddots&\vdots&h_1\\0&0&\ddots&h_{m-1}&\vdots\\\vdots&\vdots&&h_m&h_{m-1}\\0&0&\cdots&0&h_m\\\end{matrix}\right]_{\left(m+n-1\right)\times n}\cdot\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\\\end{matrix}\right]_{n\times1}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
y^T=\left[\begin{matrix}h_1&h_2&h_3&\cdots&h_{m-1}&h_m\\\end{matrix}\right]_{1\times n}\cdot\left[\begin{matrix}x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&0&0&0&\cdots&0\\0&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&0&0&\cdots&0\\0&0&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&&&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0&0&x_1&\cdots&x_{n-2}&x_{n-1}&x_n&0\\0&\cdots&0&0&0&x_1&\cdots&x_{n-2}&x_{n-1}&x_n\\\end{matrix}\right]_{n\times\left(n+m-1\right)}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
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||||
# 7. 单位取样响应 $h\left(n\right)$ 和系统频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 的关系
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## 7.1 通过单位取样响应 $h\left(n\right)$ 从时域表征系统
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||||
  当系统的输入为单位取样序列 $\delta\left(n\right)$ 时的输出序列称为系统的单位取样响应 $h\left(n\right)$，记
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||||
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||||
$$\begin{equation}
|
||||
h\left(n\right)=T\left[\delta\left(n\right)\right]
|
||||
\end{equation}$$
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||||
|
||||
若系统是线性时不变的，则系统对移位 $k$ 步的单位取样序列 $\delta\left(n-k\right)$ 的响应为
|
||||
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||||
$$\begin{equation}
|
||||
h\left(n-k\right)=T\left[\delta\left(n-k\right)\right]
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
由于任何一输入序列均可表示为加权延时单位取样响应的线性组合，即
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
x\left(n\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x\left(k\right)\delta\left(n-k\right)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
由此，线性时不变系统的输出可表示为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
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||||
\begin{aligned}
|
||||
y\left(n\right)&=T\left[x\left(n\right)\right]=T\left[\sum_{k=-\infty}^{\infty}x\left(k\right)\delta\left(n-k\right)\right]\\
|
||||
&\xlongequal{\text{叠加性、均匀性}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}{x\left( k \right)}T\left[ \delta \left( n-k \right) \right] \xlongequal{\text{非时变性}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}{x\left( k \right)}\text{h}\left( n-k \right)
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
故任何离散时间线性时不变系统，可以通过其单位取样响应 $h\left(n\right)$ 来**完全表征**。
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||||
## 7.2 通过系统频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 从频域表征系统
|
||||
|
||||
  离散时间系统的频率响应是由系统的结构参数决定的。当输入频率为 $\omega$ 的复指数序列时，其输出必仍为同一频率的、乘上因子 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 的复指数序列。随着输入频率 $\omega$ 的不同，$H\left(e^{j\omega}\right)$ 的值也不同。因此系统的频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ **描述了系统对不同频率的复指数序列的不同传输能力**。
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||||
|
||||
## 7.3 单位取样响应 $h\left(n\right)$ 和系统频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 的关系
|
||||
|
||||
  令单位取样响应为 $h\left(n\right)$ 的线性时不变系统的输入 $x\left(n\right)=Ae^{j\left(\omega n+\varphi_x\right)}=Ae^{j\omega n}e^{j\varphi_x}$，则输出
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
y\left(n\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h\left(k\right)x\left(n-k\right)=\left[\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h\left(k\right)e^{-j\omega k}}\right]\cdot Ae^{j\left(\omega n+\varphi_x\right)}=\left[\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h\left(k\right)e^{-j\omega k}}\right]\cdot x\left(n\right)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
则系统频率响应
|
||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
H\left(e^{j\omega}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h\left(k\right)e^{-j\omega k}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{h\left(n\right)e^{-j\omega n}}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
即离散时间线性时不变系统的频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 就是系统的单位取样响应 $h\left(n\right)$ 的傅氏变换，是 $h\left(n\right)$ 的频谱。
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# 8. 共轭对称与共轭反对称
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## 8.1 共轭对称
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|
||||
  若序列 $x_e\left(n\right)=x_e^\ast(-n)$，则称 $x_e\left(n\right)$ 是共轭对称的序列，对实序列，又称为偶序列。
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||||
## 8.2 共轭反对称
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||||
|
||||
  若序列 $x_o\left(n\right)=-x_o^\ast(-n)$，则称 $x_o\left(n\right)$ 是共轭反对称的序列，对实序列，又称为奇序列。
|
||||
|
||||
## 8.3 序列的对称性
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||||
|
||||
  若
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||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
x_e\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^\ast\left(-n\right)\right],\ x_o\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^\ast\left(-n\right)\right]
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
则 $x_e\left(n\right)、x_o\left(n\right)$ 分别称为 $x\left(n\right)$ 的共轭对称序列和共轭反对称序列。显然，任意序列均可表示为该序列的共轭对称序列和共轭反对称序列的和，即
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
x\left(n\right)=x_e\left(n\right)+x_o\left(n\right)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
## 8.4 傅里叶变换的共轭对称性
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||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
X\left(e^{j\omega}\right)=X_e\left(e^{j\omega}\right)+X_o\left(e^{j\omega}\right)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
X_e\left(e^{j\omega}\right)=\frac{1}{2}\left[X\left(e^{j\omega}\right)+X^\ast\left(e^{j\omega}\right)\right],\ X_o\left(e^{j\omega}\right)=\frac{1}{2}\left[X\left(e^{j\omega}\right)-X^\ast\left(e^{j\omega}\right)\right]
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
# 9. 傅里叶变换、拉氏变换和 $z$ 变换的关系
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||||
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{width=600px}
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||||
|
||||
[^1]: $f\left( x \right)$ 的以 $2l$ 为周期的傅氏级数的指数形式为
|
||||
$$
|
||||
f\left(x\right)\sim\sum_{m=-\infty}^{\infty}{c_me^{jm\frac{x}{l}}}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
其中
|
||||
|
||||
$$
|
||||
c_m=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f\left(x\right)e^{-jm\frac{x}{l}}\mathrm{d}x}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
[^2]: 直接用 $p_\delta\left(t\right)$ 的傅里叶变换
|
||||
|
||||
$$P_\delta\left(t\right)=\frac{2\pi}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}{\delta(\Omega-m\Omega_s)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
与 $x_a\left(t\right)$ 的傅里叶变换 $X_a\left(j\Omega\right)$ 卷积后除以 $2\pi$ 也可得到相应结果。
|
||||
|
||||
[^3]: 即为周期方波的傅里叶变换。
|
||||
|
||||
[^4]: 《信号与系统（第四版）》（曾禹村等编著，北京理工大学出版社，2018）中对 $\mathrm{sinc}$ 函数的定义不准确，严格来说归一化的 $\mathrm{sinc}$ 函数（常在信号处理领域应用）定义为 $\mathrm{sinc}\left(x\right)=\dfrac{\sin{\left(\pi x\right)}}{\pi x}$，而非归一化的 $\mathrm{sinc}$ 函数（常用在数学领域）定义为 $\mathrm{sinc}\left(x\right)=\dfrac{\sin{x}}{x}$。在信号处理中，为了区别归一化的 $\mathrm{sinc}$ 函数，定义取样函数（Sampling function）$\mathrm{Sa}\left(x\right)=\dfrac{\sin{x}}{x}$，但二者并无本质区别。
|
||||
|
||||
[^5]: 时域卷积定理：$x\left(t\right)\ast y\left(t\right)=X\left(j\Omega\right)\cdot Y(j\Omega)$，频域卷积定理：$x\left(t\right)\cdot y\left(t\right)=\dfrac{1}{2\pi}X\left(j\Omega\right)\ast Y(j\Omega)$。
|
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@@ -0,0 +1,247 @@
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||||
title: Josh 的学习笔记之数字信号处理（Part 2——离散傅里叶级数 DFS）
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tags:
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||||
- 数字信号和处理
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- DSP
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- 离散傅里叶级数
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- DFS
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||||
- 连续时间傅里叶变换
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||||
- 连续傅里叶级数
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||||
- 离散时间傅里叶变换
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- DTFT
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- 圆周卷积
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- 周期卷积
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- 共轭对称
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categories:
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||||
- - Josh 的学习笔记
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- 数字信号处理
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date: 2023-04-14 18:43:17
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# 1. 傅里叶变换的几种形式
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## 1.1 非周期连续时间信号的傅里叶变换
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  非周期连续时间信号的傅里叶变换（连续时间傅里叶变换，Continuous-Time Fourier Transform, CTFT）的形式为：
|
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$$\begin{equation}
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||||
X_a\left(j\Omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
x_a\left(t\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{X_a\left(j\Omega\right)e^{j\Omega t}\mathrm{d}\Omega}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
<!-- more -->
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||||
## 1.2 周期连续时间信号的傅里叶变换
|
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  周期连续时间信号的傅里叶变换（连续傅里叶级数，Continous Fourier Series, CFS）的形式为：
|
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||||
$$\begin{equation}
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||||
X\left(m\Omega\right)=\frac{1}{t_p}\int_{-\frac{t_p}{2}}^{\frac{t_p}{2}}{x_a\left(t\right)e^{-jm\Omega t}\mathrm{d}t}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
x_a\left(t\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}{X\left(m\Omega\right)e^{jm\Omega t}}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中 $t_p$ 为信号的周期，频域相邻谱线间角频率增量 $\Omega=\dfrac{2\pi}{t_p}$。
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||||
## 1.3 非周期离散时间信号的傅里叶变换
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||||
  非周期离散时间信号的傅里叶变换（离散时间傅里叶变换，Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）的形式为：
|
||||
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||||
$$\begin{equation}
|
||||
X\left(e^{j\omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
x\left(n\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{X\left(e^{j\omega}\right)e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
取样频率 $f_s=\dfrac{1}{T}$，取样角频率 $\Omega_s=\dfrac{2\pi}{T}$，取样数字频率$\omega_s=2\pi$。
|
||||
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||||
## 1.4 周期离散时间信号的傅里叶变换
|
||||
|
||||
  周期离散时间信号的傅里叶变换（离散傅里叶级数，Discrete Fourier Series, DFS）的形式为：
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||||
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||||
$$\begin{equation}
|
||||
\widetilde{X}\left(k\right)=\left.\widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)\right|_{\omega=k\frac{2\pi}{N}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{kn}}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\widetilde{x}\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中 $N$ 为一个周期内的点数，时域相邻谱线间隔为 $T$ ，频域相邻谱线间隔为 $\dfrac{1}{NT}$，以数字频率表征时为 $\dfrac{2\pi}{N}$。
|
||||
|
||||
> **由以上，在一个域中对函数进行取样，两取样点间增量的倒数，必是另一个域中的周期。**
|
||||
|
||||
# 2. 离散傅里叶级数（DFS）的推导
|
||||
|
||||
## 2.1 正变换
|
||||
|
||||
  令 $x\left(n\right)$ 为 $N$ 点长的离散序列，则其 DTFT（上标“~”用来表征周期性）
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}}=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
对 $\widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)$ 取样，使其称为周期离散频率函数，由此时域序列 $x\left(n\right)$ 周期化为 $\widetilde{x}\left(n\right)$，令其谱线间隔为 $T$，则时域序列的周期为 $NT$，所以对频谱取样的谱间距为 $\dfrac{1}{NT}$，以数字频率表征时，谱间距
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\omega_\mathrm{I}=\frac{2\pi}{N}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
因此，以数字频率 $\omega$ 为变量的 $X\left(e^{j\omega}\right)$ 被离散化时，其变量 $\omega$ 变为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\omega=k\omega_\mathrm{I}=k\frac{2\pi}{N}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
因此离散周期序列 $\widetilde{x}\left(n\right)$ 的傅里叶级数可写为
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$$\begin{equation}
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\widetilde{X}\left(k\right)=\left.\widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)\right|_{\omega=k\frac{2\pi}{N}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{kn}}
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\end{equation}$$
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并将数字域频率用 $k$ 简化表示。且
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$$\begin{equation}
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\widetilde{X}\left(k+N\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}\left(k+N\right)n}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j2\pi n}e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=}\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=}\widetilde{X}\left(k\right)
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\end{equation}$$
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即 $\widetilde{X}\left(k\right)$ 是以 $N$ 为周期的周期函数。
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## 2.2 逆变换
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  将正变换两边乘以 $e^{j\frac{2\pi}{N}kr}$，并在一个周期内求和，有
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$$\begin{equation}
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\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kr}}=\sum_{k=0}^{N-1}{\left(\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kr}}=N\left[\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)\left(\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi}{N}k\left(r-n\right)}\right)}\right]
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\end{equation}$$
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由正交定理
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$$\begin{equation}
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\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi}{N}k\left(r-n\right)}=
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\begin{aligned}
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\begin{cases}
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1,&r=n\\
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0,&r≠n
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\end{cases}
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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则
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$$\begin{equation}
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\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kr}}=N\left.\left[\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)}\right]\right|_{n=r}=N\widetilde{x}\left(r\right)
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\end{equation}$$
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可得逆离散傅里叶变换
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$$\begin{equation}
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\widetilde{x}\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}}
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\end{equation}$$
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且
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$$\begin{equation}
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\widetilde{x}\left(n+mN\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}k\left(n+mN\right)}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}e^{j2\pi km}}=\widetilde{x}\left(n\right)
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\end{equation}$$
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即 $\widetilde{x}\left(n\right)$ 是以 $N$ 为周期的周期函数。
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# 3. 离散傅里叶级数（DFS）的性质
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## 3.1 线性性质
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$$\begin{equation}
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\mathrm{DFS}\left[a{\widetilde{x}}_1\left(n\right)+{b\widetilde{x}}_2\left(n\right)\right]=a{\widetilde{X}}_1\left(k\right)+b{\widetilde{X}}_2\left(k\right)
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\end{equation}$$
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## 3.2 时移性质
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$$\begin{equation}
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\mathrm{DFS}\left[\widetilde{x}\left(n+m\right)\right]=W_N^{-mk}\widetilde{X}\left(k\right)
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\end{equation}$$
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证明：
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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\mathrm{DFS}\left[\widetilde{x}\left(n+m\right)\right]&=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n+m\right)W_N^{nk}}=\sum_{n=m}^{N-1+m}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{\left(n-m\right)k}}=\sum_{n=m}^{N-1+m}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{nk}W_N^{-mk}}
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||||
\\
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||||
&\xlongequal{利用\widetilde{x}\left(n\right)和W_N^{nk}的周期性}\left(\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{nk}}\right)W_N^{-mk}=W_N^{-mk}\widetilde{X}\left(k\right)
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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## 3.3 频移性质
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$$\begin{equation}
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\mathrm{IDFS}\left[\widetilde{X}\left(k+l\right)\right]=W_N^{nl}\widetilde{x}\left(n\right)
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\end{equation}$$
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证明：
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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\mathrm{IDFS}\left[\widetilde{X}\left(k+l\right)\right]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k+l\right)W_N^{-kn}}=\frac{1}{N}\sum_{k=l}^{N-1+l}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-\left(k-l\right)n}}=\frac{1}{N}\sum_{k=l}^{N-1+l}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}W_N^{nl}}
|
||||
\\
|
||||
&\xlongequal{利用\widetilde{X}\left(n\right)和W_N^{-nk}的周期性}\frac{1}{N}\left(\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}}\right)W_N^{nl}=W_N^{nl}\widetilde{x}\left(n\right)
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||||
\end{aligned}
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||||
\end{equation}$$
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## 3.4 时域周期卷积
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$$\begin{equation}
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{\widetilde{x}}_1\left(n\right)\odot{\widetilde{x}}_2\left(n\right)=\mathrm{IDFS}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\cdot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right]
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\end{equation}$$
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||||
证明：
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||||
\mathrm{IDFS}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\cdot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\cdot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right]W_N^{-nk}}\\
|
||||
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\left[\sum_{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right)W_N^{mk}\right]{\widetilde{X}}_2\left(k\right)W_N^{-nk}}\\
|
||||
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\left[\sum_{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right){\widetilde{X}_2\left(k\right)W}_N^{-\left(n-m\right)k}\right]\\
|
||||
&=\sum_{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right)\left[\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}_2\left(k\right)W}_N^{-\left(n-m\right)k}\right]\\
|
||||
&=\sum_{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right){\widetilde{x}}_2\left(n-m\right)
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||||
\\
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||||
&={\widetilde{x}}_1\left(n\right)\odot{\widetilde{x}}_2\left(n\right)
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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> 注：此处用 $\odot$ 表示圆周卷积，不同教材中圆周卷积的符号表述可能不同。
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## 3.5 频域周期卷积
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$$\begin{equation}
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\mathrm{DFS}\left[{\widetilde{x}}_1\left(n\right){\widetilde{x}}_2\left(n\right)\right]=\frac{1}{N}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\odot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right]
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\end{equation}$$
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||||
证明：
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$$\begin{equation}
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||||
\begin{aligned}
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||||
\mathrm{DFS}\left[{\widetilde{x}}_1\left(n\right){\widetilde{x}}_2\left(n\right)\right]&=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{X}_1\left(n\right){\widetilde{x}}_2\left(n\right)W_N^{kn}}=\sum_{n=0}^{N-1}\left[\frac{1}{N}\sum_{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}_1\left(r\right)W_N^{-rn}}\right]{\widetilde{x}}_2\left(n\right)W_N^{kn}\\
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||||
&=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\left[\sum_{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}_1\left(r\right){\widetilde{x}}_2\left(n\right)W_N^{\left(k-r\right)n}}\right]\\
|
||||
&=\frac{1}{N}\sum_{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}}_1\left(r\right)\left[\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}_2\left(n\right)W_N^{\left(k-r\right)n}}\right]\\
|
||||
&=\frac{1}{N}\sum_{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}}_1\left(r\right){\widetilde{X}}_2\left(k-r\right)\\
|
||||
&=\frac{1}{N}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\odot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right]
|
||||
\end{aligned}
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||||
\end{equation}$$
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> 注：此处用 $\odot$ 表示圆周卷积，不同教材中圆周卷积的符号表述可能不同。
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