josh/josh-blog-source

Fork 0

Files

T

josh 1c00072a6a minor update to post josh-dsp

2023-04-15 00:05:25 +08:00

10 KiB

Raw Blame History

title, mathjax, comments, copyright, toc, tags, categories, abbrlink, date

title

mathjax

comments

toc

1. 傅里叶变换的几种形式

1.1 非周期连续时间信号的傅里叶变换

非周期连续时间信号的傅里叶变换（连续时间傅里叶变换，Continuous-Time Fourier Transform, CTFT）的形式为：

$$\begin{equation} X_a\left(j\Omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t} \end{equation}$$

$$\begin{equation} x_a\left(t\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{X_a\left(j\Omega\right)e^{j\Omega t}\mathrm{d}\Omega} \end{equation}$$

1.2 周期连续时间信号的傅里叶变换

周期连续时间信号的傅里叶变换（连续傅里叶级数，Continous Fourier Series, CFS）的形式为：

$$\begin{equation} X\left(m\Omega\right)=\frac{1}{t_p}\int_{-\frac{t_p}{2}}^{\frac{t_p}{2}}{x_a\left(t\right)e^{-jm\Omega t}\mathrm{d}t} \end{equation}$$

$$\begin{equation} x_a\left(t\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}{X\left(m\Omega\right)e^{jm\Omega t}} \end{equation}$$

其中 t_p 为信号的周期，频域相邻谱线间角频率增量 $\Omega=\dfrac{2\pi}{t_p}$。

1.3 非周期离散时间信号的傅里叶变换

非周期离散时间信号的傅里叶变换（离散时间傅里叶变换，Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）的形式为：

$$\begin{equation} X\left(e^{j\omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}} \end{equation}$$

$$\begin{equation} x\left(n\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{X\left(e^{j\omega}\right)e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega} \end{equation}$$

取样频率 $f_s=\dfrac{1}{T}$，取样角频率 $\Omega_s=\dfrac{2\pi}{T}$，取样数字频率$\omega_s=2\pi$。

1.4 周期离散时间信号的傅里叶变换

周期离散时间信号的傅里叶变换（离散傅里叶级数，Discrete Fourier Series, DFS）的形式为：

$$\begin{equation} \widetilde{X}\left(k\right)=\left.\widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)\right|{\omega=k\frac{2\pi}{N}}=\sum{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{kn}} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \widetilde{x}\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}} \end{equation}$$

其中 N 为一个周期内的点数，时域相邻谱线间隔为 T ，频域相邻谱线间隔为 $\dfrac{1}{NT}$，以数字频率表征时为 $\dfrac{2\pi}{N}$。

由以上，在一个域中对函数进行取样，两取样点间增量的倒数，必是另一个域中的周期。

2. 离散傅里叶级数（DFS）的推导

2.1 正变换

令 x\left(n\right) 为 N 点长的离散序列，则其 DTFT（上标“~”用来表征周期性）

$$\begin{equation} \widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}}=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}} \end{equation}$$

对 \widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right) 取样，使其称为周期离散频率函数，由此时域序列 x\left(n\right) 周期化为 $\widetilde{x}\left(n\right)$，令其谱线间隔为 $T$，则时域序列的周期为 $NT$，所以对频谱取样的谱间距为 $\dfrac{1}{NT}$，以数字频率表征时，谱间距

$$\begin{equation} \omega_\mathrm{I}=\frac{2\pi}{N} \end{equation}$$

因此，以数字频率 \omega 为变量的 X\left(e^{j\omega}\right) 被离散化时，其变量 \omega 变为

$$\begin{equation} \omega=k\omega_\mathrm{I}=k\frac{2\pi}{N} \end{equation}$$

因此离散周期序列 \widetilde{x}\left(n\right) 的傅里叶级数可写为

并将数字域频率用 k 简化表示。且

$$\begin{equation} \widetilde{X}\left(k+N\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}\left(k+N\right)n}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j2\pi n}e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=}\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=}\widetilde{X}\left(k\right) \end{equation}$$

即 \widetilde{X}\left(k\right) 是以 N 为周期的周期函数。

2.2 逆变换

将正变换两边乘以 $e^{j\frac{2\pi}{N}kr}$，并在一个周期内求和，有

$$\begin{equation} \sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kr}}=\sum_{k=0}^{N-1}{\left(\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kr}}=N\left[\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)\left(\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi}{N}k\left(r-n\right)}\right)}\right] \end{equation}$$

由正交定理

$$\begin{equation} \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi}{N}k\left(r-n\right)}= \begin{aligned} \begin{cases} 1,&r=n\ 0,&r≠n \end{cases} \end{aligned} \end{equation}$$

则

$$\begin{equation} \sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kr}}=N\left.\left[\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)}\right]\right|_{n=r}=N\widetilde{x}\left(r\right) \end{equation}$$

可得逆离散傅里叶变换

且

$$\begin{equation} \widetilde{x}\left(n+mN\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}k\left(n+mN\right)}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}e^{j2\pi km}}=\widetilde{x}\left(n\right) \end{equation}$$

即 \widetilde{x}\left(n\right) 是以 N 为周期的周期函数。

3. 离散傅里叶级数（DFS）的性质

3.1 线性性质

$$\begin{equation} \mathrm{DFS}\left[a{\widetilde{x}}_1\left(n\right)+{b\widetilde{x}}_2\left(n\right)\right]=a{\widetilde{X}}_1\left(k\right)+b{\widetilde{X}}_2\left(k\right) \end{equation}$$

3.2 时移性质

$$\begin{equation} \mathrm{DFS}\left[\widetilde{x}\left(n+m\right)\right]=W_N^{-mk}\widetilde{X}\left(k\right) \end{equation}$$

证明：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{DFS}\left[\widetilde{x}\left(n+m\right)\right]&=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n+m\right)W_N^{nk}}=\sum_{n=m}^{N-1+m}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{\left(n-m\right)k}}=\sum_{n=m}^{N-1+m}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{nk}W_N^{-mk}} \ &\xlongequal{利用\widetilde{x}\left(n\right)和W_N^{nk}的周期性}\left(\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{nk}}\right)W_N^{-mk}=W_N^{-mk}\widetilde{X}\left(k\right) \end{aligned} \end{equation}$$

3.3 频移性质

$$\begin{equation} \mathrm{IDFS}\left[\widetilde{X}\left(k+l\right)\right]=W_N^{nl}\widetilde{x}\left(n\right) \end{equation}$$

证明：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{IDFS}\left[\widetilde{X}\left(k+l\right)\right]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k+l\right)W_N^{-kn}}=\frac{1}{N}\sum_{k=l}^{N-1+l}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-\left(k-l\right)n}}=\frac{1}{N}\sum_{k=l}^{N-1+l}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}W_N^{nl}} \ &\xlongequal{利用\widetilde{X}\left(n\right)和W_N^{-nk}的周期性}\frac{1}{N}\left(\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}}\right)W_N^{nl}=W_N^{nl}\widetilde{x}\left(n\right) \end{aligned} \end{equation}$$

3.4 时域周期卷积

$$\begin{equation} {\widetilde{x}}_1\left(n\right)\odot{\widetilde{x}}_2\left(n\right)=\mathrm{IDFS}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\cdot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right] \end{equation}$$

证明：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{IDFS}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\cdot{\widetilde{X}}2\left(k\right)\right]&=\frac{1}{N}\sum{k=0}^{N-1}{\left[{\widetilde{X}}1\left(k\right)\cdot{\widetilde{X}}2\left(k\right)\right]W_N^{-nk}}\ &=\frac{1}{N}\sum{k=0}^{N-1}{\left[\sum{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}1\left(m\right)W_N^{mk}\right]{\widetilde{X}}2\left(k\right)W_N^{-nk}}\ &=\frac{1}{N}\sum{k=0}^{N-1}\left[\sum{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right){\widetilde{X}_2\left(k\right)W}N^{-\left(n-m\right)k}\right]\ &=\sum{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}1\left(m\right)\left[\frac{1}{N}\sum{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}_2\left(k\right)W}N^{-\left(n-m\right)k}\right]\ &=\sum{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right){\widetilde{x}}_2\left(n-m\right) \ &={\widetilde{x}}_1\left(n\right)\odot{\widetilde{x}}_2\left(n\right) \end{aligned} \end{equation}$$

注：此处用 \odot 表示圆周卷积，不同教材中圆周卷积的符号表述可能不同。

3.5 频域周期卷积

$$\begin{equation} \mathrm{DFS}\left[{\widetilde{x}}_1\left(n\right){\widetilde{x}}_2\left(n\right)\right]=\frac{1}{N}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\odot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right] \end{equation}$$

证明：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{DFS}\left[{\widetilde{x}}_1\left(n\right){\widetilde{x}}2\left(n\right)\right]&=\sum{n=0}^{N-1}{\widetilde{X}1\left(n\right){\widetilde{x}}2\left(n\right)W_N^{kn}}=\sum{n=0}^{N-1}\left[\frac{1}{N}\sum{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}1\left(r\right)W_N^{-rn}}\right]{\widetilde{x}}2\left(n\right)W_N^{kn}\ &=\frac{1}{N}\sum{n=0}^{N-1}\left[\sum{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}_1\left(r\right){\widetilde{x}}2\left(n\right)W_N^{\left(k-r\right)n}}\right]\ &=\frac{1}{N}\sum{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}}1\left(r\right)\left[\sum{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}2\left(n\right)W_N^{\left(k-r\right)n}}\right]\ &=\frac{1}{N}\sum{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}}_1\left(r\right){\widetilde{X}}_2\left(k-r\right)\ &=\frac{1}{N}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\odot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right] \end{aligned} \end{equation}$$