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Josh's Notes: 最优阵列处理（Part 1.2 —— 均匀线阵模型）	true	true	true	enable number wrap expand_all max_depth false true true true 4	阵列信号处理 均匀线阵 ULA	Josh 的学习笔记 最优阵列处理 阵列和空域滤波器	de20fd09	2023-04-20 00:14:31

我们感兴趣的线阵如图 1-2-1 所示，其中有 N 个位于 z 轴上的阵元，阵元间距均匀，记为 $d$。我们把这种阵列称为**{% label primary @均匀线性阵列（uniform linear array, ULA） %}**。我们已经把阵列的中心放在了坐标系的原点上，这种阵列中心放置方法将在计算量上具有优点。

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  阵元的位置为

$$\begin{equation} \label{ElementLocation} \begin{cases} p_{x_n} = 0 \ p_{y_n} = 0 \ p_{z_n} = \left( n - \frac{N-1}{2} \right) d \end{cases} , , n = 0,1,\cdots,N-1 \end{equation}$$

为了确定阵列流形矢量 $\vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)$，把式 \eqref{ElementLocation} 代入到阵列流形矢量的定义，得到

$$\begin{equation} \label{ManifoldVectorOfULA} \vec{v}_{\vec{k}}\left(k_z\right) = \left[\begin{array}{c} e^{j \left( \frac{N-1}{2} \right) k_z d} \ e^{j \left( \frac{N-1}{2} - 1\right) k_z d} \ \vdots \ e^{-j \left( \frac{N-1}{2} \right) k_z d} \ \end{array}\right] \end{equation}$$

这里

$$\begin{equation} k_z = -\frac{2\pi}{\lambda}\cos\theta = -k_0 \cos\theta \end{equation}$$

其中波数的幅度

$$\begin{equation} k_0 \triangleq \left| \vec{k} \right| = \frac{2\pi}{\lambda} \end{equation}$$

意线阵在 0 方向是没有分辨能力的。将复权矢量 和式 \eqref{ManifoldVectorOfULA} 代入用复权矢量表示的波数-频率响应函数，得到 ULA 在角度域的频率-波数响应函数

$$\begin{equation} \label{WFRFOfULAInAngleDomain} \begin{aligned} \vec{\varUpsilon}(\omega,k_z) &= \vec{w}^\mathrm{H}\vec{v}{\vec{k}}\left(k_z\right) \ &= \sum{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{-j\left( n - \frac{N-1}{2} k_z d \right)} \end{aligned} \end{equation}$$

定义下面的变量也是很有用的（波数在 z 轴上的投影，乘以阵元间距，也即扫过一个阵元间距时，波数的变化量在 z 轴上的体现）：

$$\begin{equation} \eqref{DefinitionOfWavenumberDiffOfTwoElements} \psi = -k_z d = \frac{2\pi}{\lambda}\cos\theta\cdot d = \frac{2\pi}{\lambda}u_z d \end{equation}$$

其中 u_z 是针对 z 轴的方向余弦，

$$\begin{equation} u_z = \cos\theta \end{equation}$$

将式 \eqref{DefinitionOfWavenumberDiffOfTwoElements} 代入式 $\eqref{WFRFOfULAInAngleDomain}$，得到

$$\begin{equation} \vec{\varUpsilon}\psi(\psi) = e^{-j \frac{N-1}{2} \psi } \sum{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n\psi} \end{equation}$$