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title: "Josh's Review: 数字信号处理（Part 7 — 数字滤波器设计）"
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- 数字信号和处理
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- DSP
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- 巴特沃斯
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- 数字滤波器
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- IIR
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- FIR
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- 频率取样
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- 窗函数
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- 通带波动
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- 阻带衰减
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- 截止频率
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- 系统函数
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- 脉冲响应不变
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- 双线性变换
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- 线性相位
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categories:
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- - Josh 的学习笔记
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- 数字信号处理
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abbrlink: 60664a7e
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date: 2023-04-15 23:33:09
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# 1. 幅度平方响应与数字滤波器的技术指标
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## 1.1. 幅度平方响应
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  常采用滤波器的幅度平方响应 $\left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|^2$ 来描述滤波器的选频特性。
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## 1.2. 数字滤波器的技术指标
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1. 通带截止频率（passband edge frequency）：$\omega_p$。
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2. 阻带截止频率（stopband edge frequency）：$\omega_s$。
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3. 通带波动（passband ripple in dB）：$R_p=-10\lg{\dfrac{1}{1+\varepsilon^2}}$，其中 $\varepsilon$ 为通带波动系数。
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4. 阻带衰减（stopband attenuation in dB）：$A_s=20\lg{\delta}$。
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<!-- more -->
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# 2. 低通 IIR 数字滤波器设计
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## 2.1. 巴特沃斯（Butterworth）模拟原型滤波器
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### 2.1.1. 幅度平方频率响应
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  $N$ 阶 Butterworth 模拟滤波器的幅度平方频率响应为
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$$\begin{equation}
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A^2\left(\Omega\right)=\left|H_a\left(j\Omega\right)\right|^2=\frac{1}{1+\left(\dfrac{\Omega}{\Omega_c}\right)^{2N}}
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\end{equation}$$
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其中 $A^2\left(\Omega\right)$ 为幅度平方函数，整数 $N$ 为滤波器阶数，$\Omega_c$ 为 3 dB 截止频率，$\Omega_p$ 为通带截止频率，$\left(1+\varepsilon^2\right)^{-1}$ 为通带截止频率处的幅度平方频响值，$\Omega_s$ 为阻带截止频率，$\delta^2$ 为阻带截止频率处的幅度平方频响值。
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  Butterworth 滤波器在通带中拥有最大平坦的振幅特性，即 $N$ 阶低通 Butterworth 滤波器在 $\Omega=0$ 处的幅度平方函数的前 $(2N-1)$ 阶导数等于零，在止带内接近于单调变化。
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### 2.1.2. 极点分布及系统函数的确定
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  $N$ 阶 Butterworth 模拟滤波器的幅度平方频率响应可表示为
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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A^2\left(\Omega\right)&=\left|H_a\left(j\Omega\right)\right|^2=H_a\left(j\Omega\right)H_a^\ast\left(j\Omega\right)=H_a\left(j\Omega\right)H_a\left(-j\Omega\right)\\
|
||
&=\left.H_a\left(s\right)H_a\left(-s\right)\right|_{s=j\Omega}=\frac{1}{1+\left(\dfrac{s}{j\Omega_c}\right)^{2N}}
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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令 $A^2\left(\Omega\right)=0$，可解得极点
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$$\begin{equation}
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s_k=\left(-1\right)^\frac{1}{2N}\left(j\Omega_c\right)=\Omega_ce^{j\left(\frac{1}{2}+\frac{2k+1}{2N}\right)\pi},\ \ k=0,1,\cdots,2N-1
|
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\end{equation}$$
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由此可得常用低阶次Butterworth滤波器的系统函数
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| 阶次 | 系统函数 $H_a\left(s\right)=\dfrac{\left(-1\right)^Ns_0s_1\cdots s_{N-1}}{\left(s-s_0\right)\left(s-s_1\right)\cdots(s-s_{N-1})}$ |
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| :--: | :--------------: |
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| 1 | $\displaystyle\frac{\Omega_c}{\left(s+\Omega_c\right)}$ |
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| 2 | $\displaystyle\frac{\Omega_c^2}{\left(s^2+\sqrt2\Omega_cs+\Omega_c^2\right)}$ |
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| 3 | $\displaystyle\frac{\Omega_c^3}{(s^3+2\Omega_cs^2+2\Omega_c^2s+\Omega_c^3)}$ |
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### 2.1.3. 参数 $N$ 和 $\Omega_c$ 的确定
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#### 2.1.3.1. 参数选取原则
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1. 在通带范围内允许的最大衰减为 $\left(1+\varepsilon^2\right)^{-1}$ 或 $\alpha_p\text{dB}$，截止频率为$\Omega_p$。
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$$\begin{equation}
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||
10\lg{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}=-\alpha_p\Longrightarrow\lg{\left(1+\varepsilon^2\right)}=\frac{\alpha_p}{10}\Longrightarrow\varepsilon=\sqrt{10^{\frac{\alpha_p}{10}-1}}
|
||
\end{equation}$$
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2. 在阻带范围内允许的最小衰减为 $\delta^2$ 或 $\alpha_s\text{dB}$，临界频率为 $\Omega_s$。
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$$\begin{equation}
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10\lg{\delta^2}=-\alpha_s\Longrightarrow\delta^{-2}={10}^\frac{\alpha_s}{10}
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\end{equation}$$
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#### 2.1.3.2. 参数确定
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  由参数选取原则，有
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||
&\left|H_a\left(j\Omega_p\right)\right|^2=\frac{1}{1+\left(\frac{\Omega_p}{\Omega_c}\right)^{2N}}\geqslant\frac{1}{1+\varepsilon^2}\Longrightarrow\left(\frac{\Omega_p}{\Omega_c}\right)^{2N}\leqslant\varepsilon^2\\
|
||
\Longrightarrow&\left(\frac{\Omega_c}{\Omega_p}\right)^N\geqslant\varepsilon^{-1}\\
|
||
&\left|H_a\left(j\Omega_s\right)\right|^2=\frac{1}{1+\left(\dfrac{\Omega_s}{\Omega_c}\right)^{2N}}\leqslant\delta^2\Longrightarrow\left(\frac{\Omega_s}{\Omega_c}\right)^{2N}\geqslant\delta^{-2}-1\\
|
||
\Longrightarrow&\left(\frac{\Omega_s}{\Omega_c}\right)^N\geqslant\sqrt{\delta^{-2}-1}
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}$$
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||
由上两式，有
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$$\begin{equation}
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N\geqslant\left\lceil\frac{\lg{\left(\dfrac{\sqrt{\delta^{-2}-1}}{\varepsilon}\right)}}{\lg{\left(\dfrac{\Omega_s}{\Omega_p}\right)}}\right\rceil=\left\lceil\frac{\lg{\dfrac{10^\frac{\alpha_s}{10}-1}{10^\frac{\alpha_p}{10}-1}}}{2\lg{\left(\dfrac{\Omega_s}{\Omega_p}\right)}}\right\rceil
|
||
\end{equation}$$
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||
$$\begin{equation}
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||
\Omega_c\in\left[\Omega_p\varepsilon^{-\frac{1}{N}},\Omega_s\left(\delta^2-1\right)^{-\frac{1}{2N}}\right]=\left[\Omega_p\left({10}^\frac{\alpha_p}{10}-1\right)^{-\frac{1}{2N}},\Omega_s\left({10}^\frac{\alpha_s}{10}-1\right)^{-\frac{1}{2N}}\right]
|
||
\end{equation}$$
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对于 $\Omega_c$，通常取其下边带即可，即
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$$\begin{equation}
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||
\Omega_c=\Omega_p\varepsilon^{-\frac{1}{N}}=\Omega_p\left({10}^\frac{\alpha_p}{10}-1\right)^{-\frac{1}{2N}}
|
||
\end{equation}$$
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## 2.2. 模拟原型低通滤波器数字化的时域方法——脉冲响应不变法（Impulse Invariance Method）
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### 2.2.1. 变换原理
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  对模拟原型滤波器的系统函数 $H_a\left(s\right)$ 进行反拉氏变换，得到相应模拟滤波器的单位脉冲响应 $h_a\left(t\right)$，即
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$$\begin{equation}
|
||
h_a\left(t\right)=\mathrm{ILT}\left[H_a\left(s\right)\right]=\mathrm{ILT}\left[\sum_{k=0}^{N-1}\frac{c_k}{s-s_k}\right]=\sum_{k=0}^{N-1}{c_ke^{s_kt}u\left(t\right)}
|
||
\end{equation}$$
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||
对模拟滤波器的单位脉冲响应进行采样后进行 $z$ 变换即可得到数字滤波器的系统函数 $H\left(z\right)$，即
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$$\begin{equation}
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||
H\left(z\right)=\mathrm{ZT}\left[h\left(n\right)\right]=\mathrm{ZT}\left[\left.h_a\left(t\right)\right|_{t=nT}\right]
|
||
\end{equation}$$
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在实际设计时，为了避免数字滤波器在取样间隔T很小(采样频率很高)的情况下出现过高的增益，对取样进行如下修正
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$$\begin{equation}
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h\left(n\right)=Th_a\left(nT\right)
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\end{equation}$$
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由此可将导出 Butterworth 数字低通滤波器的系统函数
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||
H\left(z\right)&=\mathrm{ZT}\left[h\left(n\right)\right]=\mathrm{ZT}\left[Th_a\left(nT\right)\right]=\mathrm{ZT}\left[\sum_{k=0}^{N-1}{Tc_ke^{s_knT}u\left(t\right)}\right]\\
|
||
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\sum_{k=0}^{N-1}{Tc_k\left(e^{s_kT}\right)^nu\left(t\right)}\right]z^{-n}}=\sum_{k=0}^{N-1}{Tc_k\left[\sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{s_kT}z^{-1}\right)^n\right]}\\
|
||
&=\sum_{k=0}^{N-1}{Tc_k\left[ \lim_{N\rightarrow \infty} \!\:\frac{1-\left( e^{s_kT}z^{-1} \right) ^N}{1-e^{s_kT}z^{-1}} \right]}\\
|
||
&\xlongequal{\left|z\right|>\left|e^{s_kT}\right|}\sum_{k=1}^{N-1}\frac{Tc_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}}
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}$$
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对比模拟滤波器的单位脉冲响应 $h_a\left(t\right)$，可得脉冲响应不变法的系统函数转换关系
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$$\begin{equation}
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||
H_a\left(s\right)=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{c_k}{s-s_k}\Longleftrightarrow H\left(z\right)=\sum_{k=1}^{N-1}\frac{Tc_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}}
|
||
\end{equation}$$
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### 2.2.2. 变换后数字滤波器的稳定性
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  模拟 Butterworth 滤波器的所有极点均在 $s$ 平面的左半平面内，其实部 $\sigma_k<0$，则在极点变化的过程中 $s_k\Rightarrow e^{s_kT}<1$，即变换后得到的数字滤波器的极点位于 $z$ 平面的单位圆内，因而脉冲响应不变法所设计的数字滤波器也是稳定的。
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### 2.2.3. 优缺点
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1. （优点）脉冲响应变换法的频率坐标变换是线性的，即 $\omega=\Omega T$。因此如果模拟滤波器的频响是带限的且在折叠频率以内的话，变换后的得到的数字滤波器的频响可以不失真地反映原响应与频率的关系
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$$\begin{equation}
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||
H\left(e^{j\Omega T}\right)=H\left(j\Omega\right),\ \ \left|\Omega\right|<\frac{\pi}{T}
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\end{equation}$$
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2. （主要缺点）由于时域的取样，$h_a\left(t\right)$ 拉氏变换 $H_a\left(s\right)$ 在 $s$ 平面上沿虚轴周期延拓，然后再经过 $z=e^{sT}$ 的映射关系，将 $H_a\left(s\right)$ 映射到 $z$ 平面上，得到 $H\left(z\right)$。对于上述修正后的变换
|
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$$\begin{equation}
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||
H\left(e^{j\omega}\right)=\left.H\left(z\right)\right|_{z=e^{j\omega}}=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{Tc_k}{1-s^{s_kTe^{-j\omega}}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}{H_a\left(j\frac{\omega-2\pi m}{T}\right)}\approx{\widetilde{H}}_a\left(j\frac{\omega}{T}\right)
|
||
\end{equation}$$
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由于 $H_a\left(s\right)$ 的周期延拓，可能造成频谱混叠，导致滤波器的阻带性能降低。因此只能用于具有带限的频响特性的信号，**一般用于设计低通、带通滤波器，而不用于设计高通、带阻滤波器**。
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### 2.2.4. 脉冲响应不变法的主要步骤
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1. 确定滤波器的技术指标（通常在数字域给出）
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1. 通带、阻带的波动；
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2. 通带、过渡带、阻带的截止频率；
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3. 频率选择特性（低通）。
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2. 对数字域的频率指标进行如下变换
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$$\begin{equation}
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\Omega=\frac{\omega}{T}
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\end{equation}$$
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3. 选择模拟逼近方法（Butterworth），并确定其传递函数 $H_a\left(s\right)$。
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4. 按照脉冲响应不变法的系统函数转换关系，将 $H_a\left(s\right)$ 转变为 $H\left(z\right)$，完成数字化。
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$$\begin{equation}
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||
H_a\left(s\right)=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{c_k}{s-s_k}\Longleftrightarrow H\left(z\right)=\sum_{k=1}^{N-1}\frac{Tc_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}}
|
||
\end{equation}$$
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## 2.3. 模拟原型低通滤波器数字化的频域方法——双线性变换法（Bilinear Transform Method）
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### 2.3.1. 变换原理
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  由 $s$ 平面与 $z$ 平面的双线性变换关系（变化式中 $s$ 与 $z$ 的关系无论分子还是分母部分都是线性的）
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$$\begin{equation}
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s=\frac{2}{T}\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}},\ \ z=\frac{2/T+s}{2/T-s}
|
||
\end{equation}$$
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将 $s=\sigma+j\omega$ 代入可得
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$$\begin{equation}
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z=\frac{2/T+\sigma+j\Omega}{2/T-\sigma-j\Omega}\Longrightarrow\left|z\right|=\sqrt{\frac{\left( 2/T+\sigma\right)^2+\Omega^2}{\left(2/T-\sigma\right)^2+\Omega^2}}
|
||
\end{equation}$$
|
||
|
||
由上式，当 $\sigma<0$ 时，$\left|z\right|<1$；当 $\sigma=0$ 时，$\left|z\right|=1$；当 $\sigma>0$ 时，$\left|z\right|>1$。也即把 $s$ 左半开平面映射在单位圆 $\left|z\right|=1$ 的内部；把 $s$ 平面的整个 $j\Omega$ 轴映射成单位圆 $\left|z\right|=1$，把 $s$ 右半开平面映射到单位圆 $\left|z\right|=1$ 的外部。
|
||
|
||
由 $s$ 平面与 $z$ 平面的双线性变换关系（变化式中 $s$ 与 $z$ 的关系无论分子还是分母部考虑映射到单位圆上的情况，则由 $s$ 平面与 $z$ 平面的双线性变换关系可得模拟滤波器和数字滤波器的频率关系
|
||
|
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$$\begin{equation}
|
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\begin{aligned}
|
||
&z=e^{j\omega}=\frac{2/T+j\Omega}{2/T-j\Omega}\\
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||
\Longrightarrow&\Omega=j\frac{2}{T}\cdot\frac{1-e^{j\omega}}{1+e^{j\omega}}=j\frac{2}{T}\cdot\frac{e^{j\frac{\omega}{2}}\left(e^{-j\frac{\omega}{2}}-e^{j\frac{\omega}{2}}\right)}{e^{j\frac{\omega}{2}}\left(e^{-j\frac{\omega}{2}}+e^{j\frac{\omega}{2}}\right)}=j\frac{2}{T}\cdot\frac{-2j\sin{\dfrac{\omega}{2}}}{2\cos{\dfrac{\omega}{2}}}=\dfrac{2}{T}\tan{\frac{\omega}{2}}
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}$$
|
||
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||
### 2.3.2. 优缺点
|
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1. （优点）消除了混频误差。
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2. （优点）在零频附近，模拟频率 $\Omega$ 与数字频率 $\omega$ 的关系接近与线性。
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3. （缺点）模拟滤波器的全部频响特性被压缩在等效的数字频率 $0<\omega<\pi$ 之间，可见**双线性变换消除混叠的特性是依托严重的非线性得到的**。
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||
|
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### 2.3.3. 双线性变换法的主要步骤
|
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||
1. 确定滤波器的技术指标(通常在数字域给出)
|
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1. 通带、阻带的波动；
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2. 通带、过渡带、阻带的截止频率；
|
||
|
||
3. 频率选择特性（低通）。
|
||
|
||
2. 对数字域的指标进行如下式的**预畸**处理
|
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|
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$$\begin{equation}
|
||
\Omega=\frac{2}{T}\tan{\frac{\omega}{2}}
|
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\end{equation}$$
|
||
|
||
3. 选择模拟逼近方法（Butterworth），并确定其传递函数 $H_a\left(s\right)$。
|
||
|
||
4. 按照双线性变换关系将 $H_a\left(s\right)$ 转变为 $H\left(z\right)$，完成数字化。
|
||
|
||
$$\begin{equation}
|
||
s=\frac{2}{T}\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}
|
||
\end{equation}$$
|
||
|
||
5. 检查结果是否满足指标，如不满足，返回第 3 步，改变 $N$。
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# 3. 线性相位 FIR 数字滤波器的特点
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## 3.1. 线性相位条件
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$$\begin{align}
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||
&偶对称\qquad h\left(n\right)=h\left(N-1-n\right)\\
|
||
&奇对称\qquad h\left(n\right)=-h\left(N-1-n\right)
|
||
\end{align}$$
|
||
|
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{width=700px}
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||
## 3.2. 线性相位 FIR 系统的频域特点（$h\left(n\right)$ 中心偶对称，$N$ 为奇数时）
|
||
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### 3.2.1. $h\left(n\right)$ 中心偶对称，$N$ 为奇数情况的推导<a name="3.2.1"></a>
|
||
|
||
$$\begin{equation}
|
||
\begin{aligned}
|
||
H\left(e^{j\omega}\right)&=\sum_{n=0}^{N-1}{h\left(n\right)e^{-j\omega n}}=\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}-1}{h\left(n\right)e^{-j\omega n}}+h\left(\frac{N-1}{2}\right)e^{-j\omega\left(\frac{N-1}{2}\right)}+\sum_{n=\frac{N+1}{2}}^{N-1}{h\left(n\right)e^{-j\omega n}}\\
|
||
&=\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}-1}{h\left(n\right)e^{-j\omega n}}+h\left(\frac{N-1}{2}\right)e^{-j\omega\left(\frac{N-1}{2}\right)}+\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}-1}{h\left(N-1-n\right)e^{-j\omega\left(N-1-n\right)}}\\
|
||
&=\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}-1}h\left(n\right)\left[e^{-j\omega n}+e^{-j\omega\left(N-1-n\right)}\right]+h\left(\frac{N-1}{2}\right)e^{-j\omega\left(\frac{N-1}{2}\right)}\\
|
||
&=e^{-j\omega\left(\frac{N-1}{2}\right)}\left\{h\left(\frac{N-1}{2}\right)+\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}-1}h\left(n\right)\left[e^{j\omega\left(\frac{N-1}{2}-n\right)}+e^{-j\omega\left(\frac{N-1}{2}-n\right)}\right]\right\}\\
|
||
&=e^{-j\omega\left(\frac{N-1}{2}\right)}\left\{h\left(\frac{N-1}{2}\right)+\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}-1}{2h\left(n\right)\cos{\left[\omega\left(\frac{N-1}{2}-n\right)\right]}}\right\}
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}$$
|
||
|
||
定义一个 $\dfrac{N+1}{2}$ 点序列 $a\left(n\right)$
|
||
|
||
$$\begin{equation}
|
||
\begin{cases}
|
||
a\left(0\right)=h\left(\dfrac{N-1}{2}\right)\\
|
||
a\left(n\right)=2h\left(\dfrac{N-1}{2}-n\right),\qquad n=1,2,\cdots,\dfrac{N-1}{2}
|
||
\end{cases}
|
||
\end{equation}$$
|
||
|
||
即**取序列 $h\left(n\right)$ 的后半部，中间值不变，其余翻倍**。则 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 可以进一步化为
|
||
|
||
$$\begin{equation}
|
||
H\left(e^{j\omega}\right)=e^{-j\omega\left(\frac{N-1}{2}\right)}\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}}{a\left(n\right)\cos{\left(\omega n\right)}}=A\left(\omega\right)e^{j\varphi\left(\omega\right)}
|
||
\end{equation}$$
|
||
|
||
其中 $A\left(\omega\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}}{a\left(n\right)\cos{\left(\omega n\right)}}$ 称为符幅频率响应，其值可正可负，其与幅度频率响应的关系为 $\left|A\left(\omega\right)\right|=\left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|$。
|
||
|
||
### 3.2.2. 四种线性相位FIR滤波器的特性
|
||
|
||
| | $h\left(n\right)$ | $N$ | 单位脉冲响应 |符幅频率响应 | 相位特性 | 特点 |
|
||
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
|
||
| 情况 1 | 中<br>心<br>偶<br>对<br>称 | 奇数 | {width=150px} {width=150px} | $\displaystyle A\left(\omega\right)=\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}}{a\left(n\right)\cos{\left(\omega n\right)}}$ {width=200px} | $\displaystyle\varphi\left(\omega\right)=-\frac{N-1}{2}\omega$ {width=1200px} | 可实现<br>低通<br>高通<br>带通<br>带阻 |
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| 情况 2 | 中<br>心<br>偶<br>对<br>称 | 偶数 | {width=200px} {width=150px} | $\displaystyle B\left(\omega\right)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}}{b\left(n\right)\cos{\left[\omega\left(n-\frac{1}{2}\right)\right]}}$ {width=200px} | 同上 | 可实现<br>低通<br>带通 |
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| 情况 3 | 中心奇对称 | 奇数 | {width=200px} {width=150px} | $\displaystyle C\left(\omega\right)=\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}}{c\left(n\right)\sin{\left(\omega n\right)}}$ {width=200px} | $\displaystyle\varphi\left(\omega\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{N-1}{2}\omega$ {width=120px} | 可实现<br>带通 |
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| 情况 4 | 中心奇对称 | 偶数 | {width=200px} {width=150px} | $\displaystyle D\left(\omega\right)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}}{d\left(n\right)\sin{\left[\omega\left(n-\frac{1}{2}\right)\right]}}$ {width=200px} | 同上 | 可实现<br>高通<br>带阻 |
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## 3.3. 线性相位 FIR 滤波器的零点位置
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  由 $h\left(n\right)$ 的中心对称性，有
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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H\left(z\right)&=\sum_{n=0}^{N-1}{h\left(n\right)z^{-n}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\pm h\left(N-1-n\right)z^{-n}}=\sum_{m=0}^{N-1}{\pm h\left(m\right)z^{-\left(N-1-m\right)}}\\
|
||
&=\pm z^{-\left(N-1\right)}\sum_{m=0}^{N-1}{h\left(m\right)\left(z^{-1}\right)^{-m}}=\pm z^{-\left(N-1\right)}H\left(z^{-1}\right)
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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由 $h\left(n\right)$ 的实值性，有
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$$\begin{equation}
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H^\ast\left(z\right)=\left[\sum_{n=0}^{N-1}{h\left(n\right)z^{-n}}\right]^\ast=\sum_{n=0}^{N-1}{h\left(n\right)\left(z^\ast\right)^{-n}}=H\left(z^\ast\right)
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\end{equation}$$
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由上两式可知，若 $z=z_i$ 是 $H\left(z\right)$ 的零点，则 $z_i$ 的倒数 $z=z_i^{-1}、z_i$ 的共轭 $z=z_i^\ast$、$z_i$ 共轭的倒数 $z=\left(z_i^\ast\right)^{-1}$ 也一定是 $H\left(z\right)$ 的零点。因此线性相位FIR滤波器的零点位置有四种可能，如下表。
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| $z_i$ 的位置 | 对应所有零点的位置 | 在下图中的对应点 |
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| :--: | :--: | :--: |
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即不在实轴上又不在单位圆上 | 互为倒数的两组共轭对 |$z_1$
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即在实轴上又在单位圆上 | $z=+1$ 或 $z=-1$ | $z_2,z_3$
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不在实轴上但在单位圆上 | 一组共轭对 | $z_4$
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在实轴上但不在单位圆上 | 一组互为倒数的实数对 | $z_5$
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{width=300px} | |
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# 4. FIR 数字滤波器的设计
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- 需要掌握低通、带通、带阻、高通四种选频特性 FIR 滤波器的设计。
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- 若要求 FIR 数字滤波器具有线性相位响应，只考虑第一种情形，即 $h\left(n\right)$ 为奇点数中心偶对称。
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- 需要掌握窗函数法和频率取样法。
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## 4.1. FIR 数字滤波器设计的时域方法——窗函数法（Windowing Method）
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### 4.1.1. 窗函数法设计 FIR 数字低通滤波器的步骤
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  窗函数设计法的基本思想为，首先选择一个适当的理想的滤波器 $H_d\left(e^{j\omega}\right)$，然后用窗函数截取它的单位脉冲响应 $h_d\left(n\right)$，平移后得到线性相位和因果的FIR滤波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器，使设计的滤波器的单位脉冲响应逼近理想滤波器的单位脉冲响应。
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1. 根据给定指标确定理想低通数字滤波器的截止频率，以及相应的理想频率响应 $H_d\left(e^{j\omega}\right)$，其相位响应为零（或将相位响应设为 $-\dfrac{\left(N-1\right)\omega}{2}$，而非零相位响应，这样即无需步骤 3 中的平移操作，直接加窗即可）。
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2. 利用 IDTFT 计算理想低通系统的单位脉冲响应序列 $h_d\left(n\right)$
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$$\begin{equation}
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h_d\left(n\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}{H_d\left(e^{j\omega}\right)e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega}
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\end{equation}$$
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3. 确定滤波器阶数 $N$，将 $h_d\left(n\right)$ 向右平移 $\tau=\dfrac{\left(N-1\right)}{2}$，加窗得到 $h\left(n\right)$
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$$\begin{equation}
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h\left(n\right)=w\left(n\right)h_d\left[n-\tau\right]
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\end{equation}$$
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由此，实际频率响应为平移后的脉冲响应序列与窗函数频域卷积，即
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$$\begin{equation}
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H\left(e^{j\omega}\right)=H_d^\prime\left(e^{j\omega}\right)\ast W\left(e^{j\omega}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}{H_d\left(e^{j\omega}\right)e^{-j\frac{\left(N-1\right)\theta}{2}}W\left[e^{j\left(\omega-\theta\right)}\right]\mathrm{d}\theta}
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\end{equation}$$
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4. 检验结果，如果不满足指标要求，则返回步骤 3，重新选择窗长或窗形进行设计，直到满足要求。
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### 4.1.2. 窗函数法设计高通、带通、带阻滤波器
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{width=900px}
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| 滤波器类型 | 理想滤波器的<br>频率响应 | 理想滤波器的<br>单位抽样响应 |
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| :--: | :--------: | :--------------: |
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| 高通 | $H_d\left(e^{j\omega}\right)=\begin{aligned}\begin{cases}e^{-j\omega\tau},&\omega_c\leqslant\begin{vmatrix}\omega\end{vmatrix}\leqslant\pi\\0,&\text{otherwise}\end{cases}\end{aligned}$ | $\begin{aligned}h_d\left(n\right)&=\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\pi}^{-\omega_c}e^{j\omega\left(n-\tau\right)d\omega}+\int_{\omega_c}^{\pi}e^{j\omega\left(n-\tau\right)d\omega}\right]\\&=\begin{aligned}\begin{cases}\dfrac{1}{\pi\left(n-\tau\right)}\left\{\sin{\pi\left(n-\tau\right)}-\sin{\left[\omega_c\left(n-\tau\right)\right]}\right\},&n\neq\tau\\ \dfrac{\pi-\omega_c}{\pi},&n=\tau\end{cases}\end{aligned}\end{aligned}$ |
|
||
| 带通 | $H_d\left(e^{j\omega}\right)=\begin{aligned}\begin{cases}e^{-j\omega\tau},&0<\omega_1\leqslant\begin{vmatrix}\omega\end{vmatrix}\leqslant\omega_2<\pi\ \\ 0,&\text{otherwise} \end{cases}\end{aligned}$$ | $\begin{aligned}h_d\left(n\right)&=\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\omega_2}^{-\omega_1}e^{j\omega\left(n-\tau\right)d\omega}+\int_{\omega_1}^{\omega_2}e^{j\omega\left(n-\tau\right)d\omega}\right] \\ &=\begin{aligned}\begin{cases}\dfrac{1}{\pi\left(n-\tau\right)}\left\{\sin{\omega_2\left(n-\tau\right)}-\sin{\left[\omega_1\left(n-\tau\right)\right]}\right\},&n\neq\tau \\ \dfrac{\omega_2-\omega_1}{\pi},&n=\tau\end{cases}\end{aligned}\end{aligned}$ |
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||
| 带阻 | $H_d\left(e^{j\omega}\right)=\begin{aligned}\begin{cases}e^{-j\omega\tau},&0\leqslant\begin{vmatrix}\omega\end{vmatrix}\leqslant\omega_1,\omega_2\leqslant\begin{vmatrix}\omega\end{vmatrix}\leqslant\pi\ \\ 0,&\text{otherwise}\end{cases}\end{aligned}$ | $\begin{aligned}h_d\left(n\right)&=\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\pi}^{-\omega_2}e^{j\omega\left(n-\tau\right)d\omega}+\int_{-\omega_1}^{\omega_1}e^{j\omega\left(n-\tau\right)d\omega}+\int_{\omega_2}^{\pi}e^{j\omega\left(n-\tau\right)d\omega}\right]\\ &= \begin{aligned}\begin{cases}\dfrac{1}{\pi\left(n-\tau\right)}\left\{\sin{\pi\left(n-\tau\right)}+\sin{\left[\omega_1\left(n-\tau\right)\right]}-\sin{\left[\omega_2\left(n-\tau\right)\right]}\right\},&n\neq\tau \\ \dfrac{\pi+\omega_1-\omega_2}{\pi},&n=\tau\end{cases}\end{aligned}\end{aligned}$ |
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> 说明：
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> 1. 表中理想频率 $H_d\left(e^{j\omega}\right)$ 具有线性相位，理想低通系统的单位抽样响应 $h_d\left(n\right)$ 无需平移即可加窗。
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>
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> 2. 数字滤波器的单位抽样响应 $h\left(n\right)=w\left(n\right)\cdot h_d\left(n\right)$。
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> 3. $\tau=\dfrac{\left(N-1\right)}{2}$。
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## 4.2. FIR 数字滤波器设计的频域方法——频率取样法（Frequency Sampling Method）
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### 4.2.1. 取样原则
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1. 预期频率特性的取样点数应等于滤波器阶数 $N$，并在单位圆上等间隔分布；
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2. 为保证滤波器系数为实数，单位抽样序列应为实序列，取样频率特性应具有圆周共轭对称性；
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3. 为使预期频率特性具有线性相位，其幅度特性和傅氏反变换得到的序列应为中心对称或中心反对称结构。
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### 4.2.2. 取样值的确定（$h\left(n\right)$ 为中心偶对称，阶数 $N$ 为奇数时）
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  由 [3.2.1](#3.2.1) $h\left(n\right)$ 中心偶对称，$N$ 为奇数情况的推导，有
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$$\begin{equation}
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H_d\left(e^{j\omega}\right)=e^{-j\omega\left(\frac{N-1}{2}\right)}H\left(\omega\right)
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\end{equation}$$
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其中符幅频率响应函数 $H\left(\omega\right)$ 是偶对称的，即
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$$\begin{equation}
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H\left(\omega\right)=H\left(2\pi-\omega\right)
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\end{equation}$$
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对 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 在 $0\sim2\pi$ 之间等间隔取样 $N$ 点，得到 $H\left(k\right)$，即
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$$\begin{equation}
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||
H\left(k\right)=\left.H_d\left(e^{j\omega}\right)\right|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k}=H_ke^{j\theta_k},\ \ k=0,1,\cdots,N-1
|
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\end{equation}$$
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||
其中频率采样符幅满足
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$$\begin{equation}
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H_k=H_{\frac{2\pi}{N}k}=H_{\frac{2\pi}{N}\left(N-k\right)}=H_{N-k};\left|H_k\right|=\left|H\left(k\right)\right|
|
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\end{equation}$$
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||
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频率采样相位
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$$\begin{equation}
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\theta_k=-\frac{N-1}{2}\cdot\frac{2\pi}{N}k=-k\pi\left(1-\frac{1}{N}\right);e^{j\theta_{\left(N-k\right)}}=-e^{j\theta_k}
|
||
\end{equation}$$
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||
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||
### 4.2.3. 系统单位脉冲响应、传递函数和频率响应（$h\left(n\right)$ 为中心偶对称，阶数 $N$ 为奇数时）<a name="4.2.3"></a>
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  由于 $H\left(k\right)$ 是 $h\left(n\right)$ 的 DFT
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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h\left(n\right)&=\mathrm{IDFT}\left[H\left(k\right)\right]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{H\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{H_ke^{j\theta_k}e^{j\frac{2\pi}{N}nk}}\\
|
||
&=\frac{H_0e^{j\theta_0}}{N}+\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\left[e^{j\theta_k}e^{j\frac{2\pi}{N}nk}+e^{j\theta_{\left(N-k\right)}}e^{j\frac{2\pi}{N}n\left(N-k\right)}\right]}\\
|
||
&=\frac{H_0}{N}+\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\left[e^{j\theta_k}e^{j\frac{2\pi}{N}nk}+e^{-j\theta_k}e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}\right]}\\
|
||
&=\frac{H_0}{N}+\frac{2}{N}\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\cos{\left(\theta_k+\frac{2\pi}{N}nk\right)}}
|
||
\\
|
||
&=\frac{H_0}{N}+\frac{2}{N}\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\cos{\left[-\left(1-\frac{1}{N}\right)k\pi+\frac{2\pi}{N}nk\right]}}
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}$$
|
||
|
||
  由内插公式从 $H\left(k\right)$ 计算 $H\left(z\right)$
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||
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||
H\left(z\right)&=\frac{1-z^{-N}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H\left(k\right)}{1-W_N^{-k}z^{-1}}\\
|
||
&=\frac{1-z^{-N}}{N}\left\{\frac{H_0}{1-z^{-1}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\left[\frac{e^{j\theta_k}}{1-W_N^{-k}z^{-1}}+\frac{e^{j\theta_{\left(N-k\right)}}}{1-W_N^{-\left(N-k\right)}z^{-1}}\right]}\right\}\\
|
||
&=\frac{1-z^{-N}}{N}\left[\frac{H_0}{1-z^{-1}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\left(\frac{e^{j\theta_k}}{1-W_N^{-k}z^{-1}}+\frac{e^{-j\theta_k}}{1-W_N^kz^{-1}}\right)}\right]\\
|
||
&=\frac{1-z^{-N}}{N}\left\{\frac{H_0}{1-z^{-1}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\frac{e^{j\theta_k}+\left(e^{j\theta_k}\right)^\ast-\left[e^{j\theta_k}W_N^k+\left(e^{j\theta_k}W_N^k\right)^\ast\right]z^{-1}}{1-z^{-1}\left(W_N^{-k}+W_N^k\right)+z^{-2}}}\right\}\\
|
||
&=\frac{1-z^{-N}}{N}\left[\frac{H_0}{1-z^{-1}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\frac{2\cos{\theta_k}-2z^{-1}\Re{\left[e^{j\theta_k}W_N^k\right]}}{1-z^{-1}\left(W_N^{-k}+W_N^k\right)+z^{-2}}}\right]\\
|
||
&\xlongequal{\theta_k=-k\pi\left(1-\frac{1}{N}\right)}\frac{1-z^{-N}}{N}\left[\frac{H_0}{1-z^{-1}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\frac{2\left(-1\right)^k\cos{\left(\dfrac{\pi}{N}k\right)}\left(1-z^{-1}\right)}{1-2\cos{\left(\dfrac{2\pi}{N}k\right)}z^{-1}+z^{-2}}}\right]
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}$$
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|
||
由 $H\left(z\right)$ 和 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 的关系
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||
H\left(e^{j\omega}\right)&=\left.H\left(z\right)\right|_{z=e^{j\omega}}=\frac{1-e^{-j\omega N}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H\left(k\right)}{1-W_N^{-k}e^{-j\omega}}=\frac{1-e^{-j\omega N}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H\left(k\right)}{1-e^{-j\left(\omega-\frac{2\pi}{N}k\right)}}\\
|
||
&=e^{-j\frac{\left(N-1\right)}{2}\omega}\frac{\left(e^{j\frac{N\omega}{2}}-e^{-j\frac{N\omega}{2}}\right)e^{-j\frac{\omega}{2}}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H\left(k\right)}{e^{-j\left(\frac{\omega}{2}-\frac{\pi}{N}k\right)}\left[e^{j\left(\frac{\omega}{2}-\frac{\pi}{N}k\right)}-e^{-j\left(\frac{\omega}{2}-\frac{\pi}{N}k\right)}\right]}\\
|
||
&=e^{-j\frac{\left(N-1\right)}{2}\omega}\frac{2j\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}e^{-j\frac{\omega}{2}}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H\left(k\right)}{e^{-j\left(\frac{\omega}{2}-\frac{\pi}{N}k\right)}2j\sin{\left(\frac{\omega}{2}-\frac{\pi}{N}k\right)}}\\
|
||
&\xlongequal{约分}e^{-j\frac{\left(N-1\right)}{2}\omega}\frac{\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H\left(k\right)e^{-j\frac{\pi}{N}k}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}-\dfrac{\pi}{N}k\right)}}\\
|
||
&\xlongequal[将第1项分开]{H\left(k\right)=H_ke^{j\theta_k}}e^{-j\frac{\left(N-1\right)}{2}\omega}\left\{\frac{H_0}{N}\cdot\frac{\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}\right)}}+\sum_{k=1}^{N-1}{\frac{H_ke^{j\theta_k}}{N}\cdot\frac{e^{-j\frac{\pi}{N}k}\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}-\dfrac{\pi}{N}k\right)}}}\right\}\\
|
||
&\xlongequal{合并}e^{-j\frac{\left(N-1\right)}{2}\omega}\left\{\frac{H_0}{N}\cdot\frac{\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}\right)}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{\frac{H_k}{N}\cdot\left[\frac{e^{j\theta_k}e^{-j\frac{\pi}{N}k}\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}-\dfrac{\pi}{N}k\right)}}+\frac{e^{j\theta_{\left(N-k\right)}}e^{-j\frac{\pi}{N}\left(N-k\right)}\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left[\dfrac{\omega}{2}-\dfrac{\pi}{N}\left(N-k\right)\right]}}\right]}\right\}\\
|
||
&\xlongequal{\theta_k=-k\pi\left(1-\frac{1}{N}\right)}e^{-j\frac{\left(N-1\right)}{2}\omega}\left\{\frac{H_0}{N}\cdot\frac{\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}\right)}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{\frac{H_k}{N}\cdot\left[\frac{e^{-jk\pi}\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}-\dfrac{\pi}{N}k\right)}}+\frac{e^{jk\pi}\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}+\dfrac{\pi}{N}k\right)}}\right]}\right\}\\
|
||
&=e^{-j\frac{\left(N-1\right)}{2}\omega}\left\{\frac{H_0}{N}\cdot\frac{\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}\right)}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{\frac{H_k}{N}\cdot\left[\frac{\sin{\left[N\left(\dfrac{\omega}{2}-\dfrac{\pi}{N}k\right)\right]}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}-\dfrac{\pi}{N}k\right)}}+\frac{\left[\sin{N\left(\dfrac{\omega}{2}+\dfrac{\pi}{N}k\right)}\right]}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}+\dfrac{\pi}{N}k\right)}}\right]}\right\}
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}$$
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||
其中最后一步化简
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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\sin{\left[N\left(\frac{\omega}{2}+\frac{\pi}{N}k\right)\right]}&=\frac{1}{2j}\left[e^{jN\left(\frac{\omega}{2}+\frac{\pi}{N}k\right)}-e^{-jN\left(\frac{\omega}{2}+\frac{\pi}{N}k\right)}\right]=\frac{e^{-jk\pi}}{2j}\left[e^{j\left(N\frac{\omega}{2}+2\pi k\right)}-e^{-j\left(\frac{N\omega}{2}+\pi k\right)}\right]\\
|
||
&\xlongequal{e^{j2\pi k}=1}\frac{e^{-jk\pi}}{2j}\left[e^{j\left(N\frac{\omega}{2}\right)}-e^{-j\left(\frac{N\omega}{2}\right)}\right]=e^{-jk\pi}\sin{\left(\frac{N\omega}{2}\right)}
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}$$
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||
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||
### 4.2.4. 频率取样法设计滤波器的步骤
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||
1. 确定滤波器的技术指标，及预期频率响应（简单起见，可从理想选频特性开始）。
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2. 选择频率采样类型（Ⅰ型），确定采样频点
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$$\begin{equation}
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\omega_k=k\frac{f_s}{N}
|
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\end{equation}$$
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3. 计算所需频率采样点数 $N$ 及对应的频域采样值 $H\left(k\right)$，确定过渡带中频率采样点数 $M$ 以及对应的幅度。
|
||
|
||
4. 利用 [4.2.3](#4.2.3) 中推导的公式计算滤波器的参数
|
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$$\begin{equation}
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h\left(n\right)=\frac{H_0}{N}+\frac{2}{N}\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\cos{\left[-\left(1-\frac{1}{N}\right)k\pi+\frac{2\pi}{N}nk\right]}}
|
||
\end{equation}$$
|
||
|
||
$$\begin{equation}
|
||
H\left(z\right)=\frac{1-z^{-N}}{N}\left[\frac{H_0}{1-z^{-1}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\frac{2\left(-1\right)^k\cos{\left(\frac{\pi}{N}k\right)}\left(1-z^{-1}\right)}{1-2\cos{\left(\frac{2\pi}{N}k\right)}z^{-1}+z^{-2}}}\right]
|
||
\end{equation}$$
|
||
|
||
$$\begin{equation}
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H\left(e^{j\omega}\right)=e^{-j\frac{\left(N-1\right)}{2}\omega}\left\{\frac{H_0}{N}\cdot\frac{\sin{\left(\dfrac{N\omega}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}\right)}}+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{\frac{H_k}{N}\cdot\left[\frac{\sin{\left[N\left(\dfrac{\omega}{2}-\dfrac{\pi}{N}k\right)\right]}}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}-\dfrac{\pi}{N}k\right)}}+\frac{\left[\sin{N\left(\dfrac{\omega}{2}+\dfrac{\pi}{N}k\right)}\right]}{\sin{\left(\dfrac{\omega}{2}+\dfrac{\pi}{N}k\right)}}\right]}\right\}
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\end{equation}$$
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5. 检验结果，如果不满足指标要求，则返回步骤 3 重新设计。
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# 参考文献
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王世一. *数字信号处理, 修订版.* 北京理工大学出版社, 1997.
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