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| Josh's Notes: 最优阵列处理（Part 2.1 —— 谱加权） | true | true | true |
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61f0754c | 2023-06-19 16:25:26 |
下面主要研究对每个传感器输出进行加权的技术，以获得具有理想性质的频率-波数响应和波束方向图。加权的过程在一些文献中也称为锐化 (tapering) 或赋形 (shading) 。许多阵列加权技术等价于时间序列谱分析中的加窗或锐化 (Taper) 技术。
对于一个阵元间距小于或等于 \lambda/2 的线阵，由于不需要考虑栅瓣和空域混迭，可以直接应用连续函数的傅里叶变换理论对权重和频率-波数响应之间存在的傅里叶变换关系进行分析。本文关注线性阵列，讨论如何在降低旁瓣的同时使主瓣宽度的增长最小（最小化方向性损失），将尝试不同的权值矢量，并分析它们的性能。
考虑傅里叶变换对
$$\begin{equation} \varUpsilon(\omega,k) = \int_{-\infty}^\infty w_a^\ast (z) e^{-jkz}, \mathrm{d}z \end{equation}$$
$$\begin{equation} w_a^\ast (z) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \varUpsilon(\omega,k) e^{jkz}, \mathrm{d}k \end{equation}$$
其中省略了 k_z 的下标 $z$。
1. 均匀加权
均匀权值为
$$\begin{equation} w_n = \frac{1}{N}, \quad n = 0,\cdots,N-1 \end{equation}$$
在 u 空间的波束方向图为
$$\begin{equation} \begin{aligned} B_u(u) &= \frac{1}{N} \frac{\sin\left( \displaystyle\frac{\pi Nd}{\lambda} u \right)}{\sin\left( \displaystyle\frac{\pi d}{\lambda} u \right)} \ &= \boldsymbol{w}^\mathrm{H}\boldsymbol{v}u(u) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} u} \sum{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} u} \end{aligned} \end{equation}$$
对于标准线阵，有
$$\begin{equation} B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( \displaystyle\frac{\pi Nu}{2} \right)}{\sin\left( \displaystyle\frac{\pi u}{2} \right)} \end{equation}$$
方向性
$$\begin{equation} D = N \end{equation}$$
由于下面经考虑实对称的权值，因此将阵元的位置也对称地进行表示，第 n 个阵元的位置表示为
$$\begin{equation} \tilde{n} = n - \frac{N-1}{2}, \quad n = 0,\cdots,N-1,\quad \tilde{n} = -\frac{N-1}{2}, \cdots, \frac{N-1}{2} \end{equation}$$
2. Cosine 加权
当 N 为奇数时，Cosine 权值为
$$\begin{equation} w(\tilde{n}) = \sin\left( \frac{\pi}{2N} \right)\cos\left( \pi\frac{\tilde{n}}{N} \right), \quad -\frac{N-1}{2} \leqslant \tilde{n} \leqslant \frac{N-1}{2} \end{equation}$$
其中归一化因子 \sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{2N} \right) 是一个常数，使得 $B_u (0) = 1$。把 Cosine 写成指数形式，有
$$\begin{equation} w(\tilde{n}) = \sin\left( \frac{\pi}{2N} \right)\left[ \frac{e^{j\frac{\pi\tilde{n}}{N}} + e^{-j\frac{\pi\tilde{n}}{N}}}{2} \right], \quad -\frac{N-1}{2} \leqslant \tilde{n} \leqslant \frac{N-1}{2} \end{equation}$$
利用指数形式的阵列流形矢量，可得波束方向图
$$\begin{equation} B_u(u) = \frac{1}{2} \sin\left( \frac{\pi}{2N} \right) \left{ \sum_{\tilde{n} = -\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}} e^{j\frac{\pi \tilde{n}}{N}} e^{-j \tilde{n} \pi u} + \sum_{\tilde{n} = -\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}} e^{-j\frac{\pi \tilde{n}}{N}} e^{-j \tilde{n} \pi u} \right} \end{equation}$$
其中第一项和第二项分别对应指向 u_s = 1/N 和 u_s = -1/N 的常规波束方向图，因此
$$\begin{equation} B_u(u) = \frac{1}{2} \sin\left( \frac{\pi}{2N} \right) \left{ \frac{\sin\left( \displaystyle\frac{N\pi}{2} \left( u - \frac{1}{N} \right) \right)}{\sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{2} \left( u - \frac{1}{N} \right) \right)} + \frac{\sin\left( \displaystyle\frac{N\pi}{2} \left( u + \frac{1}{N} \right) \right)}{\sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{2} \left( u + \frac{1}{N} \right) \right)} \right} \end{equation}$$
下面将要介绍的很多方向图都是常规波束的叠加。图 2-1-1 给出了一个 11 阵元阵列使用 Cosine 加权得到的波束方向图，同时还给出了常规波束方向图作为参考。可以看到，旁瓣得到了降低，但是主波束变得更宽。两个波束方向图的参数为
| 加权方式 | HPBW | BW_{NN} |
第一旁瓣高度 | $D_N$1 |
|---|---|---|---|---|
| Uniform | 0.89 \displaystyle\frac{2}{N} |
2.0 \displaystyle\frac{2}{N} |
-13.0 \text{dB} |
1 |
| Cosine | 1.18 \displaystyle\frac{2}{N} |
3.0 \displaystyle\frac{2}{N} |
-23.5 \text{dB} |
0.816 |
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3. 升 Cosine 加权
可以把矩形均匀加权和 Cosine 加权组合起来，获得两种加权方法一些理想性质的组合。对应的阵列加权为
$$\begin{equation} w(\tilde{n}) = c(p) \left( p + (1-p) \cos \left( \pi \frac{\tilde{n}}{N} \right)\right), \quad \tilde{n} = -\frac{N-1}{2}, \cdots, \frac{N-1}{2} \end{equation}$$
其中归一化常数
$$\begin{equation} c(p) = \frac{p}{N} + \frac{1-p}{2} \sin\left( \frac{\pi}{2N} \right) \end{equation}$$
使得 $B_u(0) = 1$。
在图 2.1.2 中给出了 p = 0.31, 0.17, 0 时的升 Cosine 加权的波束方向图。当 p 减小时，第一旁瓣的高度减小，主波束宽度增加。波束方向图参数如下：
p |
HPBW | BW_{NN} |
第一旁瓣高度 | $D_N$1 |
|---|---|---|---|---|
| 0.31 | 1.03 \displaystyle\frac{2}{N} |
2.50 \displaystyle\frac{2}{N} |
-20.0 \text{dB} |
0.928 |
| 0.17 | 1.09 \displaystyle\frac{2}{N} |
3.70 \displaystyle\frac{2}{N} |
-22.0 \text{dB} |
0.886 |
| 0 | 1.18 \displaystyle\frac{2}{N} |
3.00 \displaystyle\frac{2}{N} |
-23.5 \text{dB} |
0.816 |
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至此，我们已经可以使 HPBW 变窄，并使得第一旁瓣比均匀分布的情况要低得多。
4. Cosine$^m$ 加权
下面考虑一系列 Cosine 加权，形式为 $\cos^m(\pi \tilde{n} / N)$。阵列的权值为
$$\begin{equation} w_m(\tilde{n}) = \begin{cases} c_2 \cos^2 \left( \displaystyle \frac{\pi \tilde{n}}{N} \right),\quad m = 2 \ c_3 \cos^3 \left( \displaystyle \frac{\pi \tilde{n}}{N} \right),\quad m = 3 \ c_4 \cos^4 \left( \displaystyle \frac{\pi \tilde{n}}{N} \right),\quad m = 4 \ \end{cases} \end{equation}$$
其中 c_2, c_3, c_4 是归一化常数。
$m=2$ 时的加权有时称为是 Hann 加权2 。同样，波束方向图可以利用 Cosine 函数的指数形式来计算。波束方向图在图 2.1.3 中给出。当 m 增加时，旁瓣减小，但是主波束变宽。波束方向图的参数为:
m |
HPBW | BW_{NN} |
第一旁瓣高度 | $D_N$1 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 1.44 \displaystyle\frac{2}{N} |
4 \displaystyle\frac{2}{N} |
-31.4 \text{dB} |
0.667 |
| 3 | 1.66 \displaystyle\frac{2}{N} |
5 \displaystyle\frac{2}{N} |
-39.4 \text{dB} |
0.576 |
| 4 | 1.85 \displaystyle\frac{2}{N} |
6 \displaystyle\frac{2}{N} |
-46.7 \text{dB} |
0.514 |
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5. 升 Cosine 平方加权
升 Cosine 平方系列的加权为
$$\begin{equation} \begin{aligned} w(\tilde{n}) &= c_2 (p) \left{ p + (1-p) \cos^2 \left( \frac{\pi \tilde{n}}{N} \right) \right} \ &= \frac{c_2(p)}{2} \left{ (1+p) + (1-p) \cos \left( \frac{2 \pi \tilde{n}}{N} \right) \right}, \quad \tilde{n} = -\frac{N-1}{2}, \cdots, \frac{N-1}{2} \end{aligned} \end{equation}$$
其中 c_2 (p) 是归一化常数。下面考虑一个特别的加权，称为 Hamming 加权。
6. Hamming 加权
Hamming 加权利用了矩形方向图和 Cosine 平方方向图的特点，在第一旁瓣的峰值上放置了一个零点。加权函数为
$$\begin{equation} w(\tilde{n}) = g_0 + g_1 \cos \left( \frac{2 \pi \tilde{n}}{N} \right), \quad \tilde{n} = -\frac{N-1}{2}, \cdots, \frac{N-1}{2} \end{equation}$$
选择系数 g_0 和 g_1 的使 u = 3/N 的位置上有一个零点，并将正侧向的响应归一化，有
$$\begin{equation} w(\tilde{n}) = 0.54 + 0.46 \cos \left( \frac{2 \pi \tilde{n}}{N} \right), \quad -\frac{N-1}{2} \leqslant \tilde{n} \leqslant \frac{N-1}{2} \end{equation}$$
对应升 Cosine 平方加权中 p = 0.08 的情况，得到的波束方向图是三个常规波束方向图的和
$$\begin{equation} B_u(u) = 0.54 \frac{\sin\left(\displaystyle\frac{N\pi u}{2}\right)}{\sin\left(\displaystyle\frac{\pi u}{2}\right)} + 0.23 \left[ \frac{\sin\left( \displaystyle\frac{N\pi}{2} \left( u - \frac{2}{N} \right) \right)}{\sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{2} \left( u - \frac{2}{N} \right) \right)} + \frac{\sin\left( \displaystyle\frac{N\pi}{2} \left( u + \frac{2}{N} \right) \right)}{\sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{2} \left( u + \frac{2}{N} \right) \right)} \right] \end{equation}$$
图 2.1.4 给出了 Hamming 加权、Hann 加权和 Blackman-Harris 加权的波束方向图。第一个零点的位置在 $u = 4/N$，第一个非零旁瓣的高度为 $-39.5\text{dB}$。加权有步进不连续性，使得旁瓣的衰减渐近为 $O(1/n)$。但是，第一个旁瓣被完全对消掉了，剩余的旁瓣都很低，尽管它们的衰减比较慢。而且，注意到 Hamming 窗的波束宽度小于 Hann 加权的波束宽度，且第一旁瓣更低。这是一般变化趋势的一个例外情况。
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