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title: 'Josh''s Notes: 最优阵列处理（Part 1.5 —— 阵列性能度量）'
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- 阵列信号处理
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- 阵列性能
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categories:
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- - Josh 的学习笔记
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- 最优阵列处理
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- 阵列和空域滤波器
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abbrlink: 6a7100b0
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date: 2023-04-24 11:50:37
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 有很多性能度量方法都可以用于评估一个阵列的能力，每一中度量方法都试图量化阵列的某一个重要特性，或者是阵列对信号环境的响应，或者是阵列设计的敏感度。我们已经采用了第一零点间距作为波束宽度，或频率-波数响应的分辨率的度量，也利用了均匀加权线阵的主要旁瓣水平作为一种度量。本节将讨论三个常用的阵列性能度量方法：
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1. 方向性（Directivity）
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2. 对空域自噪声的阵列增益 (Array gain versus spatially white noise，$A_w$)
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3. 敏感度（Sensitivity）和容错因子（Tolerance Factor）
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<!-- more -->
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# 方向性
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  阵列和孔径的一个常用性能度量是方向性。我们将在一般情况下给出定义，并讨论线性阵列的特殊情况。
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## 方向性的定义
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  定义**{% label primary @功率方向图（power pattern） %}** $P(\theta,\varphi)$ 为波束方向图 $B(\omega : \theta, \varphi)$ 幅度的平方，即
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$$\begin{equation}
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P(\theta,\varphi) = \left| B(\omega : \theta, \varphi) \right|^2
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\end{equation}$$
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其中 $P(\theta,\varphi)$ 和频率的关系在符号表示中省略掉了。则方向性 $D$ 定义为
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$$\begin{equation} \label{DefinitionOfDirectivity}
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D = \frac{P(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})}{ \displaystyle\frac{1}{4\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \theta \cdot P(\theta,\varphi) \,\mathrm{d} \varphi \,\mathrm{d} \theta}
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\end{equation}$$
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其中 $(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})$ 是主响应轴（main response axis，MRA）的指向。
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  对于一个发射阵列或孔径， $D$ 代表最大发射密度（每单位立体角对应的发射功率）和平均发射密度（在球面上平均）的比值。
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  对于一个接收天线，分母代表的是阵列（或孔径）对全向噪声（在一个球内均匀分布的噪声）的输出噪声功率。分子代表的是对应从 $(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})$ 方向入射的
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信号的功率。所以，$D$ 可以解释为是对全向噪声的阵列增益。
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  如果假设权值做了归一化，使得 $P_n(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T}) = 1$，则式 $\eqref{DefinitionOfDirectivity}$ 可以写成
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$$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivity}
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D = \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \theta \cdot P(\theta,\varphi) \,\mathrm{d} \varphi \,\mathrm{d} \theta \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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对于线性阵列，有
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$$\begin{equation}
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B(\theta,\varphi) = B(\theta)
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\end{equation}$$
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则式 $\eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivity}$ 可写为
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$$\begin{equation}
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D = \left\{ \frac{1}{2} \int_0^\pi \left| B(\theta) \right|^2 \sin \theta \,\mathrm{d} \theta \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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在 $u$ 空间可以表示为
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$$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
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D = \left\{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \left| B(u) \right|^2 \,\mathrm{d} u \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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通常，这个表达式必须用数值的方法计算。
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  利用 [$u$ 空间的波束方向图的表达式][]，式 $\eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 中的表达式可以利用阵列的权值写成
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$$\begin{equation}
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D = \left\{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \sum_{n=0}^{N-1}w_n^\ast e^{jn\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} \sum_{m=0}^{N-1} w_m e^{-jm\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} \,\mathrm{d} u \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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其中 $u_\mathrm{T}$ 是 $u$ 空间内的阵列的所调方向。交换积分和求和的顺序，并积分，得到
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$$\begin{equation} \label{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
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D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} w_m w_n^\ast e^{j \left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) (m-n) u_\mathrm{T} } \mathrm{sinc} \left( \frac{2\pi d}{\lambda} (n-m)\right) \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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定义几个矩阵以得到一个简洁的表达式。定义 $\overrightarrow{\mathrm{sinc}}$ 矩阵的第 $n,m$ 个元素为
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$$\begin{equation}
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\left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right]_{nm} \triangleq \mathrm{sinc} \left( \frac{2\pi d}{\lambda} (n-m)\right)
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\end{equation}$$
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[对角调向矩阵][] 在 $u$ 空间的表示形式为
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$$\begin{equation}
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\vec{I}_{\mathrm{s}u} = \mathrm{diag}\left( 1, e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}u_\mathrm{T}} , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda} 2u_\mathrm{T}}, \cdots, , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}(N-1)u_\mathrm{T}} \right)
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\end{equation}$$
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则
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$$\begin{equation}
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D = \vec{I}_{\mathrm{s}u} \vec{w}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w} \vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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\end{equation}$$
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通常，调向运算在权值矢量中包含[^1]
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$$\begin{equation}
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\vec{w}_\mathrm{s} = \vec{w}\vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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\end{equation}$$
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||
则
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$$\begin{equation}
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D = \vec{w}_\mathrm{s}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w}_\mathrm{s}
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\end{equation}$$
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## 标准线阵的情况
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  标准线阵（standard linear array）是我们所感兴趣的一个特殊情况。如果 $d = \lambda/2$，则式 $\eqref{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为
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$$\begin{equation} \label{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
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D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} w_m w_n^\ast e^{j \pi (m-n) u_\mathrm{T} } \mathrm{sinc} \left( \pi (n-m)\right) \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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当 $m = n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 1，当 $m \ne n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 0。所以式 $\eqref{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为
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$$\begin{equation}
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D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 \right\} = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{-2} = \left\{ \left\| \vec{w} \right \|^2 \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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其中
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$$\begin{equation}
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\left\| \vec{w} \right \| = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{\frac{1}{2}}
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\end{equation}$$
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是矢量 $\vec{w}$ 的 2-模。
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  所以一个标准线阵的方向性是权值矢量幅度平方的倒数。方向性不依赖于阵列的指向。当阵列指向从阵列的正侧向移开时，波束变宽，但是 $\varphi$ 的积分范围减小了
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  对于 $d \ne \lambda/2$，利用式 $\eqref{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$，则方向性将和阵列的指向有关。
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  对于均匀加权的标准线阵（UWLA），$w_n = 1/N$，所以
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$$\begin{equation}
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\sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 = \frac{1}{N}
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\end{equation}$$
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所以
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$$\begin{equation}
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D = N
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\end{equation}$$
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  均匀加权使得标准线阵的方向性最大。为了说明这一点，施加约束条件
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$$\begin{equation} \label{ConstraintOfLagrangeMultiplier}
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\sum_{n=0}^{N-1} w_n = 1
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\end{equation}$$
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这保证了波束方向图在 $u_\mathrm{T}$ 的值为 1，并求 $\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2$ 的最小值，这里利用 Lagrange 乘子法，另
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$$\begin{equation}
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F = \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 + \lambda \left( \sum_{n=0}^{N-1} w_m - 1 \right)
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\end{equation}$$
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其中 $\lambda$ 是 Lagrange 乘子。对 $w_n$ 求导，并令结果等于零，得到
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$$\begin{equation}
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w_n^\ast = -\lambda
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\end{equation}$$
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也即
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$$\begin{equation} \label{ResultOfLagrangeMultiplier}
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w_n = -\lambda^\ast
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\end{equation}$$
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把式 $\eqref{ResultOfLagrangeMultiplier}$ 代入到式 $\eqref{ConstraintOfLagrangeMultiplier}$，得到 $\lambda = -\frac{1}{N}$，则有
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$$\begin{equation}
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w_n = \frac{1}{N}
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\end{equation}$$
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此即为我们想要得到的结果。
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[$u$ 空间的波束方向图的表达式]: https://josh-gao.top/posts/de20fd09.html#BeamPatternInDirectionCosineDomain
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[对角调向矩阵]: https://josh-gao.top/posts/c2604c43.html#DiagonalSteeringMatrix
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[^1]: 在大多数情况下，我们去掉下标 “$s$”，因为假设 $\vec{w}$ 是包含调向的。
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