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| Josh's Note — 凸优化<br>Part 2.1 凸集—仿射集合和凸集 | true | true | true | false |
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43146ee9 | 2022-03-29 11:07:04 |
\newcommand{\bfR}{\mathbf{R}}
\def\aff{\mathop{\bf aff}}
\def\relint{\mathop{\bf relint}}
\def\cl{\mathop{\bf cl}}
1. 直线与线段
设 x_1 \ne x_2 是 \bfR^n 空间中的两个点，则具有下列形式的点
y = \theta x_1 + (1-\theta)x_2,\theta \in \bfR
组成一条穿过 x_1 和 x_2 的直线（line）。参数 \theta = 0 和 \theta = 1 分别对应 y=x_2 和 $y = x_1$。参数 \theta 的值在 0 和 1 之间变动，构成了 x_1 和 x_2 之间的（闭）线段（(closed) line segment）。
另一种 y 的表示形式
y = x_2 + \theta (x_1 - x_2)
可以解释为：y 是基点（base point）$x_2$（对应 $\theta = 0$）和方向（direction）$x_1 - x_2$（由 x_2 指向 $x_1$）乘以参数 \theta 的和。因此，\theta 给出了 y 在由 x_2 通向 x_1 的路上的位置。当 \theta 由 0 增加到 1, 点 y 相应地由 x_2 移动到 $x_1$。如果 $\theta > 1$，点 y 在超越了 x_1 的直线上。图 1 给出了直观的解释。
{width=800px}
2. 仿射集合和凸集
如果通过集合 C \subseteq \bfR^n 中任意两个不同点的直线仍然在集合 C 中，那么称集合 C 是仿射（affine）的。也就是说，C \subseteq \bfR^n 是仿射的等价于：对于任意 x_1, x_2 \in C 及 \theta \in \bfR 有 $\theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in C$。换言之，C 包含了 C 中任意两点的系数之和为 1 的线性组合。
这个概念可以扩展到多个点的情况。若 $\theta_1 + \cdots + \theta_k = 1$，则称具有 \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k 形式的点为 x_1, \cdots, x_k 的仿射组合（affine combination）。利用仿射集合的定义（即仿射集合包含其中任意两点的仿射组合），可以归纳出以下结论：一个仿射集合包含其中任意点的仿射组合，即如果 C 是一个仿射集合，$x_1, \cdots, x_k \in C$，并且 $\theta_1 + \cdots + \theta_k = 1$，那么 \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k 仍然在 C 中。
如果 C 是一个仿射集合并且 $x_0 \in C$，则集合
V = C - x_0 = \left\{ x - x_0 \middle| x \in C \right\}
是一个子空间，即关于加法和数乘是封闭的。
简单说明：设 $v_1, v_2 \in V$，$\alpha, \beta \in \bfR$，则有 $v_1 + x_0 \in C$，$v_2 + x_0 \in C$。因为
C是仿射的，且 $\alpha + \beta + (1 - \alpha - \beta) = 1$，所以\alpha v_1 + \beta v_2 + x_0 = \alpha (v_1 + x_0) + \beta(v_2 + x_0) + (1 - \alpha - \beta)x_0 \in C由 $\alpha v_1 + \beta v_2 + x_0 \in C$，可知 $\alpha v_1 + \beta v_2 \in V$。
因此，仿射集合 C 可以表示为
C = V + x_0 = \left\{ v + x_0 \middle| v \in V \right\}
即一个子空间加上一个偏移。与仿射集合 C 相关联的子空间 V 与 x_0 的选取无关，所以 x_0 可以是 C 中的任意一点。定义仿射集合 C 的维数为子空间 V = C - x_0 的维数，其中 x_0 是 C 中的任意元素。
称由集合 C \subseteq \bfR^n 中的点的所有仿射组合组成的集合为 C 的仿射包（affine hull），记为 \aff{C}:
\aff{C} = \left\{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k \middle| x_1, \cdots, x_k \in C, \theta_1 + \cdots + \theta_k = 1 \right\}
仿射包是包含 C 的最小的仿射集合，也就是说：如果 S 是满足 C \subseteq S 的仿射集合，那么 $\aff{C} \subseteq S$。
3. 仿射维数与相对内部
定义集合 C 的仿射维数为其仿射包的维数。仿射维数在凸分析及凸优化中十分有用，但它与其他维数的定义常常不相容。
举例：考虑
\bfR^2上的单位圆环 $\left{x\in\bfR^2\middle| x_1^2 + x_2^2 = 1 \right}$。它的仿射包是全空间 $\bfR^2$，所以其仿射维数为 $2$。但是，在其他 大多数维数的定义下，\bfR^2上的单位圆环的维数为 $1$。
如果集合 C \subseteq \bfR^n 的仿射维数小于 n, 那么这个集合在仿射集合 \aff C \ne \bfR^n 中。定义集合 C 的相对内部（relative interior）为 \aff C 的内部，记为 $\relint C$，即
\relint C = \left\{ x \in C \middle| B(x,r) \cap \aff C \subseteq C\ 对于某些\ r > 0 \right\}
其中 $B(x,r) = \left{ y \middle| \left| y-x \right| \leqslant r \right}$，即半径为 $r$，中心为 x 并由范数 \| \cdot \| 定义的球（这里的 \| \cdot \| 可以是任意范数，并且所有范数定义了相同的相对内部）。于是可以定义
集合 C 的相对边界（relative boundary）为 \cl C\ \backslash \relint C, 此处 \cl C 表示 C 的闭包。
参考文献
- Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex optimization. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2004.
- Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, 凸优化. 北京: 清华大学出版社, 2013.