1. 非负加权求和

显然，如果函数 f 是凸函数且 $\alpha\geqslant0$，则函数 \alpha f 也为凸函数。如果函数 f_1 和 f_2 都是凸函数，则它们的和 f_1+f_2 也是凸函数。将非负伸缩以及求和运算结合起来，可以看出，凸函数的集合本身是一个凸锥：凸函数的非负加权求和仍然是凸函数，即函数


f=w_1f_1+\cdots+w_mf_m

是凸函数。类似地，凹函数的非负加权求和仍然是凹函数。严格凸（凹）函数的非负，非零加权求和是严格凸（凹）函数。

这个性质可以扩展至无限项的求和以及积分的情形。例如，如果固定任意 $y\in\mathcal{A}$，函数 f(x,y) 关于 x 是凸函数，且对任意 y\in\mathcal{A},有$w(y)\geqslant0$，则函数 g


g(x)=\int_{\mathcal{A}}w(y)f(x,y)\dd y

关于$x$是凸函数（若此积分存在）。

我们可以很容易直接验证非负伸缩以及求和运算是保凸运算，或者可以根据相关的上境图得到此结论。例如，如果 w\geqslant0 且 f 是凸函数，有


\epi (wf)=\left[\begin{array}{cc}
I&0\\
0&w
\end{array}\right]\epi f

因为凸集通过线性变换得到的像仍然是凸集，所以 $\epi(wf)$是凸集。

2. 复合仿射映射

假设函数 $f:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}$，$A\in\mathbf{R}^{n\times m}$，以及 $b\in\mathbf{R}^n$，定义 g:\mathbf{R}^m\to\mathbf{R} 为


g(x)=f(Ax+b)

其中$\dom g={x\mid Ax+b\in\dom f}$。若函数 f 是凸函数，则函数 g 是凸函数；如果函数 f 是凹函数，那么函数 g 是凹函数。

3. 逐点最大和逐点上确界

如果函数 f_{1} 和 f_{2} 均为凸函数，则二者的逐点最大函数 f


f(x)=\max\{f_1(x),f_2(x)\}

其定义域为$\dom f=\dom f_1\cap\dom f_2$，仍然是凸函数。这个性质可以很容易验证：任取 0\leqslant \theta \leqslant 1 以及 $x,y\in\dom f$，有

$$\begin{aligned} f(\theta x+(1-\theta)y)&=\max{f_1(\theta x+(1-\theta)y),f_2(\theta x+(1-\theta)y)} \ &\leqslant\max{\theta f_1(x)+(1-\theta)f_1(y),\theta f_2(x)+(1-\theta)f_2(y)} \ &\leqslant\theta\max{f_1(x),f_2(x)}+(1-\theta)\max{f_1(y),f_2(y)} \ &=\theta f(x)+(1-\theta)f(y) \end{aligned}$$

从而说明了函数 f 的凸性。同样很容易证明，如果函数 f_1,\cdots,f_m 为凸函数，则它们的逐点最大函数


f(x)=\max\{f_1(x),\cdots,f_m(x)\}

仍然是凸函数。

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2. 复合仿射映射

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