content(symbol): 有效/等效 Fisher 信息统一为 \gls{efim}
正文与附录此前混用“有效(effective)/等效(equivalent) Fisher 信息(矩阵)”
三种说法指代同一 EFIM。统一改用 \gls{efim}，full form 取 equivalent
Fisher information matrix——参数估计语境下 equivalent 比 effective 更准确，
弃用“有效”译法。首次展开随之落在摘要。
小节标题处用 \texorpdfstring 保护 PDF 书签，避免裸 \gls。
附录 D 的投影 Gram 因子 \mathcal H = D^H P_A^perp D 非完整 EFIM，不并入。
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使用通信信号估计来波方向与 Doppler 参数，是通信感知一体化和低轨卫星协作感知中的基础问题。
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本文以学习笔记的方式记录这一问题的递进路径：每节只沿一个维度推进模型，其余维度保持最简形态。
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正文从多快拍单阵列确定信号 \gls{doa} 估计出发，依次引入 Doppler、多星几何，并以多用户与星间时间戳误差两节给出后续方向所需的模型接口与初步分析；随后回到第一篇论文的多帧连续相位结构，最后以从全局方向到用户三维位置的输出参数化收尾，给出第二篇论文多星定位所需的模型接口。
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正文仅写到集中似然的最终形式与有效 \gls{fim} 的 Schur complement 表达式，详细矩阵代入与逐步化简均迁移至附录。
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正文仅写到集中似然的最终形式与 \gls{efim} 的 Schur complement 表达式，详细矩阵代入与逐步化简均迁移至附录。
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附录按"是否共享推导框架"组织：单阵列三种 \gls{crb} 合并为\ref{sec:singleArrayCrb}，多星静态模型为\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}，时间戳误差 \gls{fim} 分析为\ref{sec:timestampErrCrb}，多帧动态模型的连续/独立相位对比为\ref{sec:multiFrameCrb}，用户三维位置 \gls{crb} 为\ref{sec:userPositionCrb}。
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\end{abstract}
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@@ -456,8 +456,8 @@
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\endlastfoot
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$\mathcal I$ & Fisher 信息矩阵。\\
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$\mathcal I_{\eta\eta}$、$\mathcal I_{\eta\psi}$、$\mathcal I_{\psi\psi}$ & 按主参数与干扰参数分块后的 Fisher 信息矩阵子块。块标签直接作为下标书写。\\
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$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ & 消去干扰参数后的有效 Fisher 信息矩阵，即 EFIM。\\
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$\mathbf C$ & CRB 协方差矩阵，通常为 Fisher 信息矩阵或有效 Fisher 信息矩阵的逆。\\
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$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ & 消去干扰参数后的 \gls{efim}。\\
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$\mathbf C$ & CRB 协方差矩阵，通常为 Fisher 信息矩阵或 \gls{efim} 的逆。\\
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$\mathbf J$ & Jacobian 矩阵或导数矩阵，不再用于表示 Fisher 信息矩阵。\\
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$\boldsymbol\psi$ & 通用干扰参数向量。 在不同上下文中，它可包含信源复包络、复干扰系数、相位、Doppler rate 或噪声方差。\\
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$\boldsymbol\psi_\mu$ & 只影响均值向量的干扰参数子集。CRB 附录中若噪声方差与均值参数 Fisher 块解耦，则 Schur 补通常只显式保留 $\boldsymbol\psi_\mu$。\\
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@@ -471,7 +471,7 @@
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\end{longtable}
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\endgroup
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若将完整参数分为主参数 $\boldsymbol\eta$ 与干扰参数 $\boldsymbol\psi$，则有效 Fisher 信息通常可写为 Schur complement 形式
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若将完整参数分为主参数 $\boldsymbol\eta$ 与干扰参数 $\boldsymbol\psi$，则 \gls{efim} 通常可写为 Schur complement 形式
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm{e}}
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=
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@@ -104,7 +104,7 @@
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&= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{x}^\Herm _t \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{n}_t \right].
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\end{align}
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令 $\mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}^\Herm(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}(\theta_1), \ldots, \mathbf{d}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M\times K}$，$\mathbf{X}_t \triangleq \diag ( x_1(t), \allowbreak \ldots, \allowbreak x_K (t) ) \in \mathbb{C}^{K\times K}$，则~\footnote{对于多维 DoA 参数，需要将 $\mathbf{D}$ 扩展为关于所有角度分量的 Jacobian。此时仍可通过相同的 Schur 补思想得到等效 Fisher 信息矩阵，但最终矩阵维度和 Hadamard 表达需要按角度分量重新展开。}
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令 $\mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}^\Herm(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}(\theta_1), \ldots, \mathbf{d}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M\times K}$，$\mathbf{X}_t \triangleq \diag ( x_1(t), \allowbreak \ldots, \allowbreak x_K (t) ) \in \mathbb{C}^{K\times K}$，则~\footnote{对于多维 DoA 参数，需要将 $\mathbf{D}$ 扩展为关于所有角度分量的 Jacobian。此时仍可通过相同的 Schur 补思想得到 \gls{efim}，但最终矩阵维度和 Hadamard 表达需要按角度分量重新展开。}
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\begin{equation}
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\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}
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@@ -308,7 +308,7 @@
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其中 $\text{CRB}(\sigma) = \dfrac{\sigma^2}{MT}$，$\mathbf{H} = \dfrac{2}{\sigma}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}$，$\bm{\Delta}_t = \dfrac{2}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t$，$\mathcal{I}_{\theta\theta} = \dfrac{2}{\sigma}\displaystyle\sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]$。注意到，由于噪声方差和其他各参量的联合二阶偏导数为零，因此噪声方差这个参量不会通过 Schur 补影响 $\bm{\theta}$，也即可以只考虑除噪声方差之外的参量构成的 \gls{fim}。
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目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的等效 Fisher 信息矩阵；随后对该等效 Fisher 信息矩阵求逆，得到 $\bm\theta$ 的 CRB 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为
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目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 CRB 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为
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%
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\begin{equation*}
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\mathcal{I}_{\psi\psi}=\left[ \begin{array}{c:c:c}
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@@ -396,7 +396,7 @@
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&= \dfrac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left\{ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \left[ \mathbf{I} - \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right\}.
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\end{align}
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参考 \cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989} 进一步定义阵列导向矩阵的列空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}} = \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm$，及其正交补空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp = \mathbf{I} -\mathcal{P}_{\mathbf{A}}$，投影矩阵下的等效信息矩阵 $\mathcal{H} = \mathbf{D}^\Herm \mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp \mathbf{D}$，确定信号的经验协方差 $\mathbf R_{x,\mathrm{det}} = \dfrac{1}{T} \displaystyle\sum_{t=1}^T \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t^\Herm$，则关于角度的等效 Fisher 信息矩阵可以表示为
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参考 \cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989} 进一步定义阵列导向矩阵的列空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}} = \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm$，及其正交补空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp = \mathbf{I} -\mathcal{P}_{\mathbf{A}}$，投影矩阵下的等效信息矩阵 $\mathcal{H} = \mathbf{D}^\Herm \mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp \mathbf{D}$，确定信号的经验协方差 $\mathbf R_{x,\mathrm{det}} = \dfrac{1}{T} \displaystyle\sum_{t=1}^T \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t^\Herm$，则关于角度的 \gls{efim} 可以表示为
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%
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\begin{align}
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\mathcal I_{\mathrm e}(\bm\theta)
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@@ -680,7 +680,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta
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\end{equation*}
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%
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其中 $\boldsymbol\theta$ 为待估 \gls{doa} 参数向量。严格地说，$\mathbf R_x=\mathbf R_x^\Herm$ 应采用非冗余实参数化；为避免引入额外记号，下文仅用 $\boldsymbol\psi$ 表示信源协方差与噪声方差组成的干扰参数集合，$\sigma \triangleq \sigma_n^2$ 为噪声方差。
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由 $\eqref{eq:schur_complement}$ 的 Schur 补可得 \gls{doa} 的等效 \gls{fim} 为
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由 $\eqref{eq:schur_complement}$ 的 Schur 补可得 \gls{doa} 的 \gls{efim} 为
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%
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\begin{equation*}
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\mathcal{I}_{\mathrm e}
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@@ -805,7 +805,7 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
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%
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其中 $\mathcal{P}^{(\mathbf{W})}_{\boldsymbol\psi} \triangleq \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi} (\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi})^{-1} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W}$ 是干扰空间的 $\mathbf{W}$ 加权投影矩阵。
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\subsubsection{有效 Fisher 信息求取}
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\subsubsection{\texorpdfstring{\gls{efim} 求取}{EFIM 求取}}
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下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic CRB 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；Fisher 信息矩阵的元素级表达保持相同。
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@@ -860,7 +860,7 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
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= \vect \left( \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}} \right),
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\end{equation}
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%
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因此，有效 Fisher 信息可以写作
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因此，\gls{efim} 可以写作
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%
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\begin{equation}
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\label{eq:sto_doa_eff_fisher_info}
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@@ -931,7 +931,7 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
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\end{align}
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\end{subequations}
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因此，有效 Fisher 信息可以进一步写作
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因此，\gls{efim} 可以进一步写作
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%
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\begin{align}
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[\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}
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@@ -20,7 +20,7 @@
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\end{bmatrix}
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\in \mathbb R^{3}.
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\end{equation}
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与\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 \gls{fim}。
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与\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。
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\subsubsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式}
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@@ -414,9 +414,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
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\label{eq:A6_Ibb}
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\end{equation}
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\subsubsection{消去复干扰系数后的等效 Fisher 信息矩阵}
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\subsubsection{\texorpdfstring{消去复干扰系数后的 \gls{efim}}{消去复干扰系数后的 EFIM}}
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由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 Fisher 信息矩阵为
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由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim} 为
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
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=
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@@ -466,7 +466,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
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\right\}.
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\label{eq:A6_Ieff_final}
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\end{equation}
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式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 DoA--Doppler 联合估计的等效 \gls{fim}。
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式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 DoA--Doppler 联合估计的 \gls{efim}。
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\subsubsection{CRB 表达式}
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@@ -543,7 +543,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
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[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_{n,\ell}^2,i}=0,
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\quad i\neq \sigma_{n,\ell}^2,
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\end{equation}
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因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 \gls{fim}。
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因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。
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\end{enumerate}
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至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。
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@@ -638,7 +638,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
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\triangleq
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\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell},
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\end{equation}
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则消去复增益后的等效 Fisher 信息矩阵为
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则消去复增益后的 \gls{efim} 为
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\begin{equation}
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\label{eq:E2_Ieff_proj}
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\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
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@@ -296,7 +296,7 @@
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\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
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\right\}.
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\end{equation}
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因此，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 在连续相位模型下的等效 Fisher 信息矩阵为
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因此，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 在连续相位模型下的 \gls{efim} 为
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
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=
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@@ -499,7 +499,7 @@
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\end{bmatrix}.
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\end{equation}
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由此构造对应的 FIM 分块，并对所有块复系数执行 Schur 补，可得扩展参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的等效 Fisher 信息矩阵
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由此构造对应的 FIM 分块，并对所有块复系数执行 Schur 补，可得扩展参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 \gls{efim}
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
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=
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@@ -543,7 +543,7 @@
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||||
\mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}} & \mathcal I_{\dot\nu\dot\nu}^{\mathrm{rel}}
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||||
\end{bmatrix}
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\end{equation}
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分块，则对应的主参数等效 Fisher 信息矩阵为
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分块，则对应的主参数 \gls{efim} 为
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
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=
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@@ -1185,7 +1185,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}}
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\end{bmatrix}^{\Tran}
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\end{equation}
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的块级等效 Fisher 信息矩阵：
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的块级 \gls{efim}：
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\begin{equation}
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\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
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=
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@@ -1228,7 +1228,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\label{eq:A8_IP_FIM_etadotnu}
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\end{equation}
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\subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的等效 Fisher 信息与 CRB}{主参数 eta-dyn 的等效 Fisher 信息与 CRB}}
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\subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 与 CRB}{主参数 eta-dyn 的 EFIM 与 CRB}}
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若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则
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\begin{equation}
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@@ -1249,7 +1249,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\end{bmatrix},
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\label{eq:A8_IP_FIM_partition}
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\end{equation}
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于是主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的等效 Fisher 信息矩阵为
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于是主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 为
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\begin{equation}
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||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
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=
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+1
-1
@@ -8,7 +8,7 @@
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正文按一条由简到繁的递进路径组织，每节只沿一个维度推进问题，其他维度保持最简形态。
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起点是多快拍场景下的单阵列确定信号 \gls{doa} 估计；之后依次引入 Doppler、多星几何、多用户、星间时间戳误差，再回到第一篇论文的多帧连续相位结构，最后以从全局方向到用户三维位置的输出参数化作为收尾。
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每节开头有一段过渡，说明上一节的什么限制被解除、本节新增什么结构。
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正文只写到集中似然的最终形式与有效 \gls{fim} 的 Schur complement 表达式，详细矩阵代入与逐步化简全部移入附录，目的是让正文每节的推导密度保持一致。
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正文只写到集中似然的最终形式与 \gls{efim} 的 Schur complement 表达式，详细矩阵代入与逐步化简全部移入附录，目的是让正文每节的推导密度保持一致。
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符号采取"跟随问题引入"的策略：每个符号在它第一次出现的那一节首次定义，定义紧贴使用场景，而不在阅读流之前堆叠完整符号表。
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若需要查找某个符号在全文范围内的定义、维度与所属参数组，请直接翻到\textbf{\ref{sec:assumptionsAndNotation} 完整符号索引}，它按主题分表整理了 DoA 与几何、Doppler 与相位、\gls{fim}/\gls{crb}、时间戳误差、波束成形接口等所有符号。
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@@ -77,7 +77,7 @@
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\label{subsec:positionIdentifiability}
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位置三维可辨识性来自两条互补信息：（i）跨星 AoA 视差——位置沿某颗星视线方向的平移不改变该星本地角，却改变其他星的本地角；（ii）差分 Doppler $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 对距离的依赖。二者都要求 $L\ge2$ 且几何充分：单星时各采样仅约束单一方向、距离不可辨识，正好落回第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的纯方向情形。
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量化上，沿用消去干扰参数后的有效 \gls{fim}（EFIM）投影--Gram 结构（见\ref{sec:userPositionCrb}），$\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}$ 的 EFIM 的最弱本征方向通常对应\emph{距离}维，其条件数（几何精度因子，GDOP）由星座基线/视差角与各链路信噪比共同决定。两星或少数多星时，横向位置因视差好而精度高、距离维因视差角小而恶化，是该模型最典型的几何各向异性\cite{weiIntegratedDopplerPositioning2024,xvJointBeamScheduling2024}。这与第~\ref{subsec:multiSatGainFdIdentifiability} 小节用同一套投影--Gram/条件数语言刻画的多星 Doppler 增益是同源的。
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量化上，沿用消去干扰参数后的 \gls{efim} 投影--Gram 结构（见\ref{sec:userPositionCrb}），$\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}$ 的 \gls{efim} 的最弱本征方向通常对应\emph{距离}维，其条件数（几何精度因子，GDOP）由星座基线/视差角与各链路信噪比共同决定。两星或少数多星时，横向位置因视差好而精度高、距离维因视差角小而恶化，是该模型最典型的几何各向异性\cite{weiIntegratedDopplerPositioning2024,xvJointBeamScheduling2024}。这与第~\ref{subsec:multiSatGainFdIdentifiability} 小节用同一套投影--Gram/条件数语言刻画的多星 Doppler 增益是同源的。
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\subsection{多用户堆叠}
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Reference in New Issue
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