josh
0b312e4570
正文与附录此前混用“有效(effective)/等效(equivalent) Fisher 信息(矩阵)”
三种说法指代同一 EFIM。统一改用 \gls{efim}，full form 取 equivalent
Fisher information matrix——参数估计语境下 equivalent 比 effective 更准确，
弃用“有效”译法。首次展开随之落在摘要。
小节标题处用 \texorpdfstring 保护 PDF 书签，避免裸 \gls。
附录 D 的投影 Gram 因子 \mathcal H = D^H P_A^perp D 非完整 EFIM，不并入。
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\section{从全局方向到用户三维位置估计\texorpdfstring{~\cite{liFastAccurateLEO2022}}{}}
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\label{sec:userPositioning}
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前六节的主估计目标始终是全局方向 $\boldsymbol\xi$（外加参考星 Doppler）。但 $\boldsymbol\xi$ 只有两个自由度，描述的是"用户在哪个方向"，而多星协作定位真正要回答的是"用户在哪个点"——三维位置 $\mathbf p$。
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本节沿一个新维度推进——\emph{输出参数化}（从方向到位置的几何反演）——把主参数从 $\boldsymbol\xi$ 换成 $\mathbf p$，其余维度保持最简：单观测块、单用户作为基线、已知导频、各星完全相干，不叠加第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError}、\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节的多用户/时间戳/多帧扩展。
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关键观察是：第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型，正是位置模型在\emph{远场极限}下的退化——各星共享同一方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；一旦用户与星座的距离有限，各星看到的视线方向不再相同，这一\emph{视差}差异连同差分 Doppler，正是把方向（2 维）补足为位置（3 维）的信息来源。这类"以位置为主参数、由原始观测直接估计"的方法即直接定位（Direct Position Determination，DPD）\cite{liFastAccurateLEO2022,haoInterferenceGeolocationSatellite2021}。
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详细位置 \gls{crb} 推导见\ref{sec:userPositionCrb}。
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\subsection{位置参数化与逐星视线映射}
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\label{subsec:positionLosMap}
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设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（ECI 坐标系），在单观测块内视为常量（与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节"DoA 块内不变"同级的假设；用户运动的 Doppler 效应仍按既有模型折叠进 $\nu_{\mathrm{ref}}$，不升格为显式速度参数）。
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第 $\ell$ 颗卫星到用户的视线向量与单位视线方向为
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\begin{equation}
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\mathbf r_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf p-\mathbf s_\ell,
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\qquad
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\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\frac{\mathbf r_\ell(\mathbf p)}{\|\mathbf r_\ell(\mathbf p)\|_2}\in\mathbb R^3.
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\end{equation}
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与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的关键区别是：这里的 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ \emph{逐星不同}，而不再是同一个全局方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$。沿用同一组本地坐标基与旋转矩阵 $\boldsymbol\Omega_\ell$，本地来向与本地角度为
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\begin{equation}
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\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p),
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\qquad
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\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}=\operatorname{atan2}\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1}\big),
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\qquad
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\beta_\ell^{\mathrm{loc}}=\arcsin\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big),
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\end{equation}
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并据此代入与第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节完全相同的 ULA/UPA 阵列导向模板，得到本地导向矢量
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\begin{equation}
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\mathbf a_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf a_\ell\!\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\beta_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)\big)\in\mathbb C^{M_\ell\times1}.
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\end{equation}
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也即\emph{每阵列内部仍是平面波模型，阵列导向 $\mathbf a_\ell$ 的形式一字不改}；变的只是"本地角由 $\mathbf p$ 而非 $\boldsymbol\xi$ 诱导"。
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\begin{mdquote}
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\textbf{远场退化。} 固定全局方向 $\mathbf u_0$，令 $\mathbf p=\mathbf s_{\ell_{\mathrm{ref}}}+R\,\mathbf u_0$ 并取 $R\to\infty$，则对所有 $\ell$ 有 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\to\mathbf u_0$，逐星视线趋于共向，第~\ref{sec:userPositioning} 节模型退化为第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型。反之，有限距离下 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\neq\mathbf u_{\ell'}(\mathbf p)$ 的视差是距离维的角度信息来源。
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\end{mdquote}
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\subsection{链路 Doppler 的位置诱导}
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沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，各链路归一化 Doppler 仍写为
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\begin{equation}
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\nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p),
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\qquad \Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0.
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\end{equation}
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与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节由方向 $\boldsymbol\xi$ 诱导不同，几何差分现在由\emph{用户位置}与已知星历诱导。每条链路的几何归一化 Doppler 正比于卫星沿视线的径向速度 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_\ell$，取其相对参考链路之差，得
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\begin{equation}
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\label{eq:sec7_dnu_pos}
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\Delta\nu_\ell(\mathbf p)
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=\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
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\big[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big],
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\end{equation}
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其中整体符号取决于上行/去向约定，不影响 \gls{crb}（Fisher 信息对此不变）。关键是 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 经 $\mathbf p-\mathbf s_\ell$ 依赖\emph{完整位置}（含距离），故 $\Delta\nu_\ell$ 不只约束方向、也约束距离。
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参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作自由标量，继续吸收参考链路绝对 range-rate 与用户载频/钟偏；与既有模型一致，用户自身运动只通过 $\nu_{\mathrm{ref}}$（多帧情形再加 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$）进入，其对差分 Doppler 的残余贡献按静态块近似忽略。由此绝对 Doppler 不进入几何，几何只通过差分 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 约束 $\mathbf p$。
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\subsection{信号模型、主参数与集中似然}
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第 $\ell$ 颗卫星接收向量与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节同构，仅将 $\boldsymbol\xi$ 替换为 $\mathbf p$：
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\begin{equation}
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\mathbf y_\ell(t)=\zeta_\ell\,\mathbf a_\ell(\mathbf p)\,s(t)\,e^{j\nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})t}+\mathbf n_\ell(t),
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\qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}).
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\end{equation}
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时间模板 $\mathbf q_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 与空时模板 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$ 按相同方式定义。主参数为
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\begin{equation}
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\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}
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=\begin{bmatrix}\mathbf p\\\nu_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}\in\mathbb R^4,
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\end{equation}
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干扰参数仍为各星复增益与噪声方差 $\{\zeta_\ell,\sigma_{n,\ell}^2\}$。由于似然以及对 $\zeta_\ell$、$\sigma_{n,\ell}^2$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节逐字平行（只是 $\mathbf g_\ell$ 现在依赖 $\mathbf p$），集中似然准则直接写为
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{pos}}
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=\arg\min_{\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}}}
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\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell T\log\mathcal E_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}}),
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\qquad
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\mathcal E_\ell\triangleq\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2-\frac{\big|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\big|^2}{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
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\end{equation}
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形式与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的集中似然完全一致，仍是"在统一的 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各星空时匹配输出按几何与噪声水平加权融合"，只是匹配模板 $\mathbf g_\ell$ 由位置参数化。
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\subsection{可辨识性与几何精度}
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\label{subsec:positionIdentifiability}
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位置三维可辨识性来自两条互补信息：（i）跨星 AoA 视差——位置沿某颗星视线方向的平移不改变该星本地角，却改变其他星的本地角；（ii）差分 Doppler $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 对距离的依赖。二者都要求 $L\ge2$ 且几何充分：单星时各采样仅约束单一方向、距离不可辨识，正好落回第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的纯方向情形。
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量化上，沿用消去干扰参数后的 \gls{efim} 投影--Gram 结构（见\ref{sec:userPositionCrb}），$\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}$ 的 \gls{efim} 的最弱本征方向通常对应\emph{距离}维，其条件数（几何精度因子，GDOP）由星座基线/视差角与各链路信噪比共同决定。两星或少数多星时，横向位置因视差好而精度高、距离维因视差角小而恶化，是该模型最典型的几何各向异性\cite{weiIntegratedDopplerPositioning2024,xvJointBeamScheduling2024}。这与第~\ref{subsec:multiSatGainFdIdentifiability} 小节用同一套投影--Gram/条件数语言刻画的多星 Doppler 增益是同源的。
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\subsection{多用户堆叠}
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推广到 $K$ 个单天线用户，只需把每个用户的位置与参考 Doppler 独立堆叠：
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\begin{equation}
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\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}}
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=[\mathbf p_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\mathbf p_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{4K}.
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\end{equation}
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第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$、集中似然对各星 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 列空间的投影、以及用户分离可辨识性，全部与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节及\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 逐字平行，只把 $\boldsymbol\xi_k$ 换成 $\mathbf p_k$。
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本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考星 Doppler、集中似然与 EFIM 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是"位置经逐星视线映射诱导各星本地角与差分 Doppler"这一几何层；全局方向模型为其远场极限。这正是第二篇论文"多星阵列对多用户单天线定位"所需的模型接口；时间戳误差与多帧连续相位扩展可正交叠加于此。
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