content(sec6,app-G): 动态主线 dyn 下标去掉，记裸 \eta
\eta_{dyn} 与静态 \eta_{stat} 同为 3 维角+Doppler 主参数，去标签后"裸
\eta = 3 维主参数"全文统一。sec6:6 的 \eta_{dyn}=\eta_{stat} 简单对照
改散文"（与静态主线相同）"，G:1405 书签 eta-dyn 改 eta。\eta_{ext}（4 维
扩展）、cp/ip（CP-vs-IP 对照）、\psi_{cp,\mu}/\psi_{ip,\mu} 等保留。
This commit is contained in:
+38
-38
@@ -2,7 +2,7 @@
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\label{sec:multiFrameCrb}
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本附录汇总多帧动态多星模型下的两类 \gls{crb} 推导：连续相位（CP）模型和独立相位（IP）基线模型。
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两者共享主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式，差别在于跨帧相位结构：CP 模型保留同星公共相位约束，IP 模型放弃这一约束。
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两者共享主参数 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式，差别在于跨帧相位结构：CP 模型保留同星公共相位约束，IP 模型放弃这一约束。
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通过对比 CP 与 IP 的 \gls{efim} 可以量化跨帧相位连续性所携带的信息量。
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\subsection{连续相位 CP 模型 EFIM}
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@@ -15,7 +15,7 @@
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主参数统一定义为
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%
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\begin{equation}
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\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}
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||||
\boldsymbol\eta
|
||||
=
|
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\begin{bmatrix}
|
||||
\alpha \\
|
||||
@@ -23,7 +23,7 @@
|
||||
\nu_{\mathrm{ref}}
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\qquad
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3,
|
||||
\boldsymbol\eta\in\mathbb R^3,
|
||||
\end{equation}
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%
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并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/\gls{efim} 结构。
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@@ -254,14 +254,14 @@
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||||
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{cp}}
|
||||
=
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||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}
|
||||
\boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}
|
||||
\end{bmatrix}^{\Tran}.
|
||||
\end{equation}
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||||
对单个观测块，有
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%
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\begin{equation}
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||||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}}
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta}
|
||||
=
|
||||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p},
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\label{eq:A7_Jeta_cp_block}
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@@ -299,7 +299,7 @@
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||||
\begin{equation}
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||||
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}},
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\eta},
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -336,10 +336,10 @@
|
||||
\right\}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
因此，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 在连续相位模型下的 \gls{efim} 为
|
||||
因此，主参数 $\boldsymbol\eta$ 在连续相位模型下的 \gls{efim} 为
|
||||
%
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||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}}
|
||||
-
|
||||
@@ -353,9 +353,9 @@
|
||||
从而其 \gls{crb} 为
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||||
%
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||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)
|
||||
=
|
||||
\big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}.
|
||||
\big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}.
|
||||
\label{eq:A7_CRB_cp}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
@@ -377,7 +377,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。
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||||
若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为
|
||||
若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}}
|
||||
@@ -390,8 +390,8 @@
|
||||
\label{eq:A7_CP_K_EFIM}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。
|
||||
若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
|
||||
其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。
|
||||
若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}}
|
||||
@@ -416,10 +416,10 @@
|
||||
\label{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。
|
||||
式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。
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||||
若该残差耦合很弱，则 known-rate 与 unknown-rate bound 可以非常接近。
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||||
进一步将 known-rate \gls{efim} 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
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||||
进一步将 known-rate \gls{efim} 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
|
||||
%
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||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K}
|
||||
@@ -510,7 +510,7 @@
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}
|
||||
\triangleq
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} \\
|
||||
\boldsymbol\eta \\
|
||||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
=
|
||||
@@ -599,7 +599,7 @@
|
||||
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb}，则直接有
|
||||
若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb}，则直接有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||||
@@ -608,7 +608,7 @@
|
||||
\label{eq:A7_CRB_rel_ext}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
若进一步仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 视为感兴趣参数，而将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 按
|
||||
若进一步仍只把 $\boldsymbol\eta$ 视为感兴趣参数，而将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 按
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||||
@@ -622,7 +622,7 @@
|
||||
分块，则对应的主参数 \gls{efim} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta)
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{rel}}
|
||||
-
|
||||
@@ -635,9 +635,9 @@
|
||||
于是
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta)
|
||||
=
|
||||
\big(\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}.
|
||||
\big(\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}.
|
||||
\label{eq:A7_CRB_rel_eta}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
@@ -664,7 +664,7 @@
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf J_{\eta}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}},
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\eta},
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf J_{\psi}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -777,7 +777,7 @@ $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他
|
||||
则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。
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||||
|
||||
接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 \gls{efim} 按
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||||
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
|
||||
$\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||||
@@ -1044,11 +1044,11 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
再按 $[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
|
||||
再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
|
||||
|
||||
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
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||||
|
||||
上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
|
||||
上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
|
||||
@@ -1067,7 +1067,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
主参数统一定义为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}
|
||||
\boldsymbol\eta
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\alpha \\
|
||||
@@ -1075,7 +1075,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\nu_{\mathrm{ref}}
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\qquad
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3,
|
||||
\boldsymbol\eta\in\mathbb R^3,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 \gls{efim} 结构。
|
||||
@@ -1293,7 +1293,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran}
|
||||
\boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran}
|
||||
\end{bmatrix}^{\Tran}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
@@ -1351,7 +1351,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}}
|
||||
\boldsymbol\eta^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}}
|
||||
\end{bmatrix}^{\Tran}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
@@ -1402,18 +1402,18 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\label{eq:A8_IP_FIM_etadotnu}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 与 CRB}{主参数 eta-dyn 的 EFIM 与 CRB}}
|
||||
\subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 与 CRB}{主参数 eta 的 EFIM 与 CRB}}
|
||||
|
||||
若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
=
|
||||
\big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}\big)^{-1}.
|
||||
\label{eq:A8_IP_CRB_etadotnu}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
若仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将
|
||||
若仍只把 $\boldsymbol\eta$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将
|
||||
\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 按如下方式分块：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@@ -1426,10 +1426,10 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\label{eq:A8_IP_FIM_partition}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 为
|
||||
于是主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||||
=
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta}
|
||||
-
|
||||
@@ -1442,9 +1442,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
从而
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta)
|
||||
=
|
||||
\big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}.
|
||||
\big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}.
|
||||
\label{eq:A8_IP_CRB_eta}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
@@ -1465,7 +1465,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
|
||||
\triangleq
|
||||
\mathbf R_n^{-1/2}
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}},
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\eta},
|
||||
\qquad
|
||||
\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -1506,4 +1506,4 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
|
||||
%
|
||||
因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。
|
||||
|
||||
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
|
||||
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
|
||||
@@ -3,7 +3,7 @@
|
||||
|
||||
前面五节都在单帧（静态）框架内沿不同维度推进问题。第一篇论文的方向是另一个独立的维度扩展：将单观测块推广为\emph{多帧观测窗口}，由此带来跨帧绝对相位连续性这一新信息。
|
||||
本节在第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节单用户多星静态模型的基础上引入多帧索引、Doppler rate 与跨帧连续相位结构，但\emph{不}叠加第 4、5 节的多用户与时间戳误差扩展，以保持 ``一节一维度'' 的推进风格。
|
||||
主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。
|
||||
主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$（与静态主线相同），而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。
|
||||
本节以连续相位 CP 作为多帧主模型，并以独立相位 IP 作为 phase-relaxed deterministic 基线进行对照——二者不是并列的两套物理模型，而是``主模型 vs.\ 放弃跨帧绝对相位约束的基线''——以此量化跨帧相位连续性携带的信息量；详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\ref{sec:multiFrameCrb}。
|
||||
|
||||
\subsection{时间索引与参考星 Doppler rate}
|
||||
@@ -156,7 +156,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
|
||||
在 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设下，联合负对数似然为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}})
|
||||
\mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}})
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_\ell
|
||||
+
|
||||
@@ -174,7 +174,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
|
||||
依次对 $\sigma_\ell$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}}
|
||||
\widehat{\boldsymbol\eta}
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=
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\arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
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\min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\}}
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@@ -212,7 +212,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
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按 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 是否已知，CP 模型派生两种设置：
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\begin{itemize}
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\item \textbf{CP-K}（known rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。
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\item \textbf{CP-K}（known rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。
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\item \textbf{CP-U}（unknown rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数 Schur complement 消去，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。
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\end{itemize}
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@@ -237,7 +237,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
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其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见附录~\ref{subsec:A7_efimIllConditioning}。
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将 \gls{efim} 按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足
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将 \gls{efim} 按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足
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\begin{equation}
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\operatorname{CRB}_{\nu}
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