josh/doa_doppler_est
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content(sec3,app-E): 静态推导段去 stat 下标，记裸 \eta/\psi/\kappa/\mathcal L

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静态主线（sec3 + 附录 E）单模型推导段内，\eta_{stat}/\psi_{stat}/
\kappa_{stat}/\mathcal L_{stat}/\psi_{\zeta,stat} 去掉 stat 标签，记作裸
\eta/\psi/\kappa/\mathcal L/\psi_\zeta——节内只有静态一个模型，无歧义。
sec3 两处简单对照 \eta_{dyn}=\eta_{stat} 改为散文"同一个 \eta / 主参数
\eta 不变"。E.2 多用户 \eta_{mu} 不同参数，保留。符号索引 A 作主对照表
保留带标签定义不动；其余跨模型对照点（sec6/sec4 的 \eta_{dyn}/\eta_{mu}）
亦保留。此为"单模型段裸符号、对照段挂标签"约定的试点。
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2026-06-16 16:43:56 +08:00
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parts/E-multiSatStaticCrb.tex
+36 -36
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@@ -4,7 +4,7 @@
本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用 \S\ref{subsec:staticBlockModel} 模型），E.2 给出多用户扩展（沿用 \S\ref{sec:multiSatMultiUser} 模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。
本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 Fisher 信息矩阵，$\mathbf I$ 表示单位阵，$\mathcal P$ 表示投影矩阵。
正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。
正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。
\subsection{单用户多星 CRB}
\label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb}
@@ -12,7 +12,7 @@
本小节对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，主参数仍记为
%
\begin{equation}
\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}
\boldsymbol\eta
=
\begin{bmatrix}
\alpha \\
@@ -22,18 +22,18 @@
\in \mathbb R^{3}.
\end{equation}
%
与\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。
与\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。
\subsubsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式}
沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型，第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})$。为便于后续统一构造 \gls{fim}，本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。
沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型，第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)$。为便于后续统一构造 \gls{fim}，本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。
对于第 $\ell$ 颗卫星，向量化后的观测模型为
%
\begin{equation}
\tilde{\mathbf y}_\ell
=
\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)
+
\tilde{\mathbf n}_\ell,
\qquad
@@ -44,7 +44,7 @@
其中
%
\begin{equation}
\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)
\triangleq
\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 1},
@@ -63,12 +63,12 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
\tilde{\mathbf y}_{L-1}
\end{bmatrix},
\qquad
\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})
\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)
\triangleq
\begin{bmatrix}
\zeta_0 \mathbf g_0(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) \\
\zeta_0 \mathbf g_0(\boldsymbol\eta) \\
\vdots \\
\zeta_{L-1} \mathbf g_{L-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\zeta_{L-1} \mathbf g_{L-1}(\boldsymbol\eta)
\end{bmatrix},
\qquad
\tilde{\mathbf n}
@@ -83,7 +83,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
则有
%
\begin{equation}
\tilde{\mathbf y} = \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}) + \tilde{\mathbf n},
\tilde{\mathbf y} = \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) + \tilde{\mathbf n},
\qquad
\tilde{\mathbf n} \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_n),
\end{equation}
@@ -110,7 +110,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
并定义实参数化后的均值干扰参数向量
%
\begin{equation}
\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}
\boldsymbol\psi_{\zeta}
\triangleq
\begin{bmatrix}
\zeta_0^{(r)} & \zeta_0^{(i)} & \cdots & \zeta_{L-1}^{(r)} & \zeta_{L-1}^{(i)}
@@ -121,28 +121,28 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
于是总实参数向量可写为
%
\begin{equation}
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}
\boldsymbol\kappa
\triangleq
\begin{bmatrix}
\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}^{\Tran}
\boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\zeta}^{\Tran}
\end{bmatrix}^{\Tran}
\in \mathbb R^{2L+3}.
\end{equation}
由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素满足
由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素满足
%
\begin{equation}
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{ij}
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
=
2\Re\left\{
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})}{\partial \kappa_i}
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}
\mathbf R_n^{-1}
\frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})}{\partial \kappa_j}
\frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j}
\right\}.
\label{eq:A6_fim_general}
\end{equation}
\subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的导数}{关于主参数 eta-stat 的导数}}
\subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta$ 的导数}{关于主参数 eta-stat 的导数}}
由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，单位方向向量为
%
@@ -387,17 +387,17 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
对第 $\ell$ 颗卫星，其均值向量为
%
\begin{equation}
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\kappa)
=
\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}).
\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta).
\end{equation}
%
因此，其关于主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 Jacobian 为
因此，其关于主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
\mathbf J_{\eta,\ell}
\triangleq
\frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}}
\frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta}
=
\zeta_\ell \mathbf D_\ell
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 3},
@@ -421,10 +421,10 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
\label{eq:A6_Jpsi}
\end{equation}
由于不同卫星噪声相互独立，总 Fisher 信息矩阵可按卫星求和。记总 Fisher 信息矩阵关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}})$ 的分块形式为
由于不同卫星噪声相互独立，总 Fisher 信息矩阵可按卫星求和。记总 Fisher 信息矩阵关于 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\zeta})$ 的分块形式为
%
\begin{equation}
\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})
\mathcal I(\boldsymbol\kappa)
=
\begin{bmatrix}
\mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\psi} \\
@@ -468,10 +468,10 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
\subsubsection{\texorpdfstring{消去复干扰系数后的 \gls{efim}}{消去复干扰系数后的 EFIM}}
由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim} 为
由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为
%
\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
=
\mathcal I_{\eta\eta}
-
@@ -498,7 +498,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
将 \eqref{eq:A6_Jeta}--\eqref{eq:A6_proj} 代入 \eqref{eq:A6_schur} 并整理，可得
%
\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{1}{\sigma_\ell}
@@ -513,7 +513,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
再利用 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\zeta_\ell\mathbf D_\ell$，得到紧凑形式
%
\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
@@ -529,12 +529,12 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\subsubsection{CRB 表达式}
因此，联合参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为
因此，联合参数向量 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta)
=
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}).
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta).
\label{eq:A6_crb_joint}
\end{equation}
@@ -552,7 +552,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
则将 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 按 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
%
\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
=
\begin{bmatrix}
\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\mathrm{ang},\nu} \\
@@ -591,7 +591,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\begin{enumerate}
\item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_\ell=\sigma$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为
\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
=
\frac{2}{\sigma}
\sum_{\ell=0}^{L-1}
@@ -603,15 +603,15 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_\ell$，则有
\begin{equation}
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
=
\frac{M_\ell T}{\sigma_\ell^2},
\qquad
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,i}=0,
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,i}=0,
\quad i\neq \sigma_\ell,
\end{equation}
%
因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。
因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。
\end{enumerate}
至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。
parts/sec3_multiSatSingleUser.tex
+8 -8
View File
@@ -96,7 +96,7 @@
静态 \gls{doa}--Doppler 主参数统一写为
%
\begin{equation}
\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}
\boldsymbol\eta
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol\xi\\
@@ -105,7 +105,7 @@
\in\mathbb R^{3},
\end{equation}
%
其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。
其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍是同一个 $\boldsymbol\eta$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。
给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为
%
@@ -190,7 +190,7 @@
本节的干扰参数为
%
\begin{equation}
\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}
\boldsymbol\psi
=
\Big[
\{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
@@ -203,7 +203,7 @@
各星观测条件独立，圆对称复高斯，联合负对数似然为
%
\begin{equation}
\mathcal L_{\mathrm{stat}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}})
\mathcal L(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi)
=
\sum_{\ell=0}^{L-1}
\left[
@@ -218,10 +218,10 @@
\right].
\end{equation}
对干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_\ell$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为
对干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_\ell$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为
%
\begin{equation}
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}}
\widehat{\boldsymbol\eta}
=
\arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
\sum_{\ell=0}^{L-1}
@@ -239,7 +239,7 @@
若实际中 $\sigma_\ell$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式
%
\begin{equation}
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}}
\widehat{\boldsymbol\eta}
=
\arg\max_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
\sum_{\ell=0}^{L-1}
@@ -280,4 +280,4 @@
\end{figure}
本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。
后续第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节将沿\emph{时间结构}维度继续推进，在保持主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 不变的前提下引入多帧索引与跨帧连续相位结构。
后续第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节将沿\emph{时间结构}维度继续推进，在保持主参数 $\boldsymbol\eta$ 不变的前提下引入多帧索引与跨帧连续相位结构。