josh/doa_doppler_est
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content(symbol): 噪声方差全文统一记为 \sigma（去 n 与 ^2）

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B:10 早已声明"\sigma 表示方差"，sec1/D 遵守，多星侧却用 \sigma_{n,\ell}^2
偏离。统一回归该约定：\sigma_{n,\ell}^2->\sigma_\ell、\sigma_n^2->\sigma
（去 n 与 ^2）；推导中的方差平方 \sigma_{n,\ell}^4->\sigma_\ell^2；白化
标准差 1/\sigma_{n,\ell}->1/\sqrt{\sigma_\ell}（E:765）；E 共同方差情形裸
\sigma^2->\sigma。D 里 \sigma=方差的幂次 \sigma^2/\sigma^4 本就正确、保留。
清理替换产生的循环定义（sec1/D）。如此推导上标即方差的真实幂次，不与
"方差自带 ^2"冲突。
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josh
2026-06-16 16:12:23 +08:00
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parts/E-multiSatStaticCrb.tex
+22 -22
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@@ -37,7 +37,7 @@
+
\tilde{\mathbf n}_\ell,
\qquad
\tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2 \mathbf I_{M_\ell T}),
\tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell \mathbf I_{M_\ell T}),
\quad \ell=0,1,\ldots,L-1,
\end{equation}
%
@@ -50,7 +50,7 @@
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 1},
\end{equation}
%
$\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_{n,\ell}^2$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。
$\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。
将所有卫星的观测联合堆叠，定义
%
@@ -95,9 +95,9 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
=
\operatorname{blkdiag}
\big(
\sigma_{n,0}^2 \mathbf I_{M_0 T},
\sigma_0 \mathbf I_{M_0 T},
\ldots,
\sigma_{n,L-1}^2 \mathbf I_{M_{L-1} T}
\sigma_{L-1} \mathbf I_{M_{L-1} T}
\big).
\end{equation}
@@ -438,7 +438,7 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
\mathcal I_{\eta\eta}
=
\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\frac{2}{\sigma_\ell}
\Re\left\{
\mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}\mathbf J_{\eta,\ell}
\right\},
@@ -448,9 +448,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
\mathcal I_{\eta\psi}
=
\begin{bmatrix}
\dfrac{2}{\sigma_{n,0}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}
\dfrac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}
& \cdots &
\dfrac{2}{\sigma_{n,L-1}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
\dfrac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
\end{bmatrix},
\label{eq:A6_Itb}
\end{equation}
@@ -459,9 +459,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
=
\operatorname{blkdiag}
\left(
\frac{2}{\sigma_{n,0}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\},
\frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\},
\ldots,
\frac{2}{\sigma_{n,L-1}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
\frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
\right).
\label{eq:A6_Ibb}
\end{equation}
@@ -501,7 +501,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
\frac{1}{\sigma_\ell}
\Re\left\{
\mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
@@ -516,7 +516,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
\Re\left\{
\mathbf D_\ell^{\Herm}
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
@@ -589,11 +589,11 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\subsubsection{备注}
\begin{enumerate}
\item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_{n,\ell}^2=\sigma^2$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为
\item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_\ell=\sigma$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为
\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
=
\frac{2}{\sigma^2}
\frac{2}{\sigma}
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|\zeta_\ell|^2
\Re\left\{
@@ -601,14 +601,14 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\right\}.
\end{equation}
\item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_{n,\ell}^2$，则有
\item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_\ell$，则有
\begin{equation}
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
=
\frac{M_\ell T}{\sigma_{n,\ell}^4},
\frac{M_\ell T}{\sigma_\ell^2},
\qquad
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_{n,\ell}^2,i}=0,
\quad i\neq \sigma_{n,\ell}^2,
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,i}=0,
\quad i\neq \sigma_\ell,
\end{equation}
%
因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。
@@ -706,7 +706,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
\mathcal I_{\eta\eta}
=
\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\frac{2}{\sigma_\ell}
\Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}.
\end{equation}
%
@@ -729,7 +729,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
\frac{1}{\sigma_\ell}
\Re\big\{
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
@@ -744,7 +744,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
\big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'}
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
\frac{1}{\sigma_\ell}
\Re\Big\{
\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}\,
\mathbf D_{\ell,k}^\Herm
@@ -762,7 +762,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
\begin{equation}
\bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
\triangleq
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
\frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
\end{equation}
%
\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。