josh/doa_doppler_est
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content(symbol): 噪声方差全文统一记为 \sigma（去 n 与 ^2）

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B:10 早已声明"\sigma 表示方差"，sec1/D 遵守，多星侧却用 \sigma_{n,\ell}^2
偏离。统一回归该约定：\sigma_{n,\ell}^2->\sigma_\ell、\sigma_n^2->\sigma
（去 n 与 ^2）；推导中的方差平方 \sigma_{n,\ell}^4->\sigma_\ell^2；白化
标准差 1/\sigma_{n,\ell}->1/\sqrt{\sigma_\ell}（E:765）；E 共同方差情形裸
\sigma^2->\sigma。D 里 \sigma=方差的幂次 \sigma^2/\sigma^4 本就正确、保留。
清理替换产生的循环定义（sec1/D）。如此推导上标即方差的真实幂次，不与
"方差自带 ^2"冲突。
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josh
2026-06-16 16:12:23 +08:00
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parts/G-multiFrameCrb.tex
+16 -16
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@@ -188,12 +188,12 @@
=
\operatorname{blkdiag}
\Big(
\{\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}\}_{(\ell,p)\in\mathcal B}
\{\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}\}_{(\ell,p)\in\mathcal B}
\Big),
\label{eq:A7_Rn_cp_stack}
\end{equation}
%
其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_{n,\ell}^2$。
其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_\ell$。
由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
%
\begin{equation}
@@ -218,7 +218,7 @@
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
+ \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
\qquad
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}).
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}).
\end{equation}
%
记
@@ -575,7 +575,7 @@
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
\frac{|\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}|^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\frac{|\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}|^2}{\sigma_\ell}
\Re\left\{
\big(\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}\big)^{\Herm}
\mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}
@@ -1048,15 +1048,15 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
上面的推导默认 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
%
\begin{equation}
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
=
\frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}.
\frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}.
\end{equation}
%
因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \S\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。
@@ -1147,7 +1147,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
其中
%
\begin{equation}
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}),
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}),
\qquad
\ell=0,\ldots,L-1,\qquad
p=0,\ldots,P-1.
@@ -1297,7 +1297,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
\end{bmatrix}^{\Tran}.
\end{equation}
%
为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。
为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_\ell\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。
对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
%
@@ -1360,7 +1360,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
\begin{equation}
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
=
2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell}
\Re\left\{
\big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm}
\mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
@@ -1393,7 +1393,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell}
\Re\left\{
\big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm}
\mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
@@ -1496,14 +1496,14 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
若进一步将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有
若进一步将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有
%
\begin{equation}
\big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
\big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
=
\frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}.
\frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}.
\end{equation}
%
因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。
因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。