content(sec): 正文 sec1/2/3/6 重组——过渡段、集中似然结论化、详细推导引用附录
按 agent_instruction.md §3.2/§2.4 的 "一节一维度" 与 "正文止于集中似然" 原则重写： sec1 多快拍确定信号 DoA：开门见山引入多快拍场景；新增 ULA/UPA 子节（迁自 02-modeling §4.5）；ŝ_t 与 σ̂ 的逐步矩阵代入压缩为 闭式结论 + 引用附录 D.1；末尾新增随机信号对比小节，详细 SML 推导 引用附录 D.3。X 改名为 S 与新符号约定一致。 sec2 加入 Doppler：新过渡段明确 "新维度=时间相位结构"；信号模型 迁入 02-modeling §4.3 的归一化角 Doppler 与导频约定；ζ̂、σ̂ 闭式 消元收敛为投影残差结论 + 引用附录 D.2。 sec3 多星协作（单用户）：过渡段强化参考星参数化的动机（避免主参 数膨胀到 2+L）；全局/局部 DoA 映射、归一化 Doppler 与时间索引、 参考星参数化三小节迁自 02-modeling §4.4，保留 subsec:globalLocalDoaMap、 subsec:dopplerNormalization、subsec:refSatParameterization 三个 被 sec6/E 跨节引用的 label；联合似然的 ζ_ℓ/σ_ℓ 闭式消元归并为 单个结论式 + 引用附录 E。仿真图与说明保留。 sec6 多帧动态 CP/IP：过渡段说明这是另一独立维度扩展，不叠加 多用户与时间戳误差；CP/IP 模型定义保留；CP 结构化 MLE、relaxed MLE 与 IP MLE 的详细 ρ̂/ζ̂ 闭式消元统一压缩为三类残差对照 + 引用附录 G；CP-K/CP-U 派生与 single-sat orthogonality 作为结论引用附录 G.1；EFIM 投影解释与 Doppler comb / tooth ambiguity 保留高层结论，矩阵代入与 Dirichlet 窗口完整推导引用附录。 02-modeling.tex 内容已分别迁入 sec1/sec2/sec3，文件归档；主文件 \input 列表去掉对应行。
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\section{确定信号 DoA--Doppler 估计}
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\section{加入 Doppler——单阵列确定信号 DoA--Doppler 估计}
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\label{sec:det_doa_doppler_est}
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本节在单阵列确定信号 DoA 模板上加入归一化角 Doppler $\nu_k$，是从纯空间阵列模型过渡到空时导向模型的桥梁。若仍把发送信号 $x_k(t)$ 在每一时刻都视为自由未知量，则 Doppler 项 $e^{j\nu_k t}$ 会被吸收进未知的 $x_k(t)$ 中，从而使 $\nu_k$ 不可辨识并导致 \gls{crb} 奇异。因此，本节沿用第~\ref{subsec:single_arr_doa_doppler_est} 小节的归一化 Doppler 约定，并显式引入已知导频序列 $s_k(t)$。当 $s_k(t)\equiv1$ 时，下面模型退化为常包络导频或单音模型。
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第~\ref{sec:det_doa_est} 节假设信源在观测窗口内时间相位被吸收进未知信号波形 $\mathbf S$。当信源带有 Doppler 时，时间相位变为 $e^{j\nu_k t}$，不能再被任意未知波形吸收，否则 $\nu_k$ 不可辨识、\gls{crb} 奇异。
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本节沿一个新维度推进问题——\emph{时间相位结构}——其余维度保持最简：仍是单阵列、单观测块、信源已知导频 $s_k(t)$。引入归一化角 Doppler $\nu_k$ 与未知复增益 $\zeta_k$，并由此得到空时导向向量 $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构。
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详细 \gls{crb} 推导见附录~\ref{sec:det_doa_doppler_crb}。
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\subsection{似然函数求取}
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\subsection{信号模型}
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\label{subsec:single_arr_doa_doppler_est}
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定义第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为
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本节默认 $\nu_k$ 表示第 $k$ 个信源的\emph{归一化角 Doppler}，单位为 rad/sample；若需要物理 Hz 单位，应显式写作 $\nu_k^{\mathrm{Hz}}$，二者通过采样周期 $T_{\mathrm{s}}$ 一次性换算。Doppler 向量记为
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\begin{equation}
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\boldsymbol\nu
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\triangleq
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[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran.
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\end{equation}
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将每个信源的导频 $s_k(t)$ 视为已知，复增益 $\zeta_k\in\mathbb C$ 与归一化 Doppler $\nu_k$ 视为待估。第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为
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\begin{equation}
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\mathbf q_k(\nu_k)
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\triangleq
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\begin{bmatrix}
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s_k(0)e^{j\nu_k\cdot0} \\
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||||
s_k(1)e^{j\nu_k\cdot1} \\
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\vdots \\
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s_k(0)e^{j\nu_k\cdot0}, &
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s_k(1)e^{j\nu_k\cdot1}, &
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\cdots, &
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s_k(T-1)e^{j\nu_k(T-1)}
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||||
\end{bmatrix}
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\end{bmatrix}^\Tran
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\in\mathbb C^{T\times1}.
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\end{equation}
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令 $\mathbf a_k\triangleq\mathbf a(\bm\theta_k)$，并将第 $k$ 个信源的未知复增益记为 $\zeta_k$，则所有快拍可写为
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所有快拍写成矩阵形式
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\begin{equation}
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\mathbf Y
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=
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\sum_{k=1}^{K}\zeta_k\mathbf a(\bm\theta_k)\mathbf q_k^\Tran(\nu_k)
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+
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\mathbf N,
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\mathbf N.
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\end{equation}
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其中 $\mathbf Y=[\mathbf y_0,\ldots,\mathbf y_{T-1}]\in\mathbb C^{M\times T}$，$\mathbf N=[\mathbf n_0,\ldots,\mathbf n_{T-1}]\in\mathbb C^{M\times T}$。
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进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向列向量和整体空时字典为
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进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向向量与整体空时字典
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\begin{equation}
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\mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)
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\triangleq
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\mathbf q_k(\nu_k)\otimes\mathbf a(\bm\theta_k)
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\in\mathbb C^{MT\times1},
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\end{equation}
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\begin{equation}
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\qquad
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\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
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\triangleq
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||||
\left[
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\mathbf b_{\mathrm{st},1},\ldots,\mathbf b_{\mathrm{st},K}
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||||
\right]
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\in\mathbb C^{MT\times K}.
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\in\mathbb C^{MT\times K},
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\end{equation}
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定义信源复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$，则接收信号可以进一步表示为
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并记复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$。则向量化观测模型为
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\begin{equation}
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\label{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}
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\tilde{\mathbf y}
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@@ -53,26 +61,13 @@
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+
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\tilde{\mathbf n},
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\qquad
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\tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N).
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\tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}).
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\end{equation}
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$\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 与时间维度的 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 解耦在两个因子上，是本节相比于第~\ref{sec:det_doa_est} 节的核心新结构。
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由于噪声在时间和空间上均不相关，且 $\tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT})$，其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$，有
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\begin{equation}
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\tilde{\mathbf y}
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\sim
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\mathcal{CN}\big(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT}\big).
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\end{equation}
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因此，观测似然函数为
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\begin{equation}
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L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta)
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=
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(\pi\sigma)^{-MT}
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\exp\left[
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-\frac{1}{\sigma}
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||||
\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2
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\right],
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\end{equation}
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对应对数似然函数为
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\subsection{对数似然}
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由于 $\tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT})$，对数似然为
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\begin{equation}
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\label{eq:singlelog_likelihood}
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\ln\mathcal L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta)
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@@ -82,69 +77,32 @@
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-\frac{1}{\sigma}
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||||
\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2.
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\end{equation}
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\subsection{确定/条件最大似然}
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\subsubsection{原始问题建模}
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\Gls{dml}/\gls{cml} 优化问题可以表述为
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\begin{alignat}{2}
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对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为
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\begin{equation}
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\label{eq:det_ml_doa_doppler_opt}
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&\minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma} \quad &&
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\minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma}
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\;\;
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||||
MT\ln\sigma
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+
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||||
\frac{1}{\sigma}\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2
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||||
\nonumber\\
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||||
&\text{subject to} && \bm\Theta\in\varTheta.
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||||
\end{alignat}
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\frac{1}{\sigma}\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2.
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||||
\end{equation}
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\subsubsection{集中似然表达}
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\subsection{集中似然与联合 DoA--Doppler 准则}
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我们关心的是信号来向 $\bm\Theta$ 和 Doppler $\boldsymbol\nu$。假设 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩，则对固定的 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$，复增益和噪声方差的极大似然估计为
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\begin{subequations}
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\zeta}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
|
||||
=
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||||
\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}
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||||
\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\tilde{\mathbf y},
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||||
\end{equation}
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\begin{equation}
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||||
\widehat\sigma(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
|
||||
=
|
||||
\frac{1}{MT}\tilde{\mathbf y}^\Herm
|
||||
\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
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||||
\tilde{\mathbf y},
|
||||
\end{equation}
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\end{subequations}
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其中
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\begin{equation}
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\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}
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\triangleq
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||||
\mathbf B_{\mathrm{st}}
|
||||
\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}
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||||
\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm.
|
||||
\end{equation}
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代入式~\eqref{eq:det_ml_doa_doppler_opt} 后，可以得到 $\bm\Theta$ 和 $\boldsymbol\nu$ 的集中确定最大似然估计
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待估主参数为 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$，干扰参数为 $(\boldsymbol\zeta,\sigma)$。在 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩的假设下，沿用与第~\ref{sec:det_doa_est} 节相同的投影模板消元，可得集中似然准则
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\begin{equation}
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\label{eq:con_det_ml_doa_doppler_opt}
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||||
\left(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\right)
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||||
\big(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\big)
|
||||
=
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\argmin_{\bm\Theta,\boldsymbol\nu}
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\tilde{\mathbf y}^\Herm
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||||
\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
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||||
\tilde{\mathbf y}.
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\end{equation}
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也即 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 的估计可以通过最小化
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\begin{equation}
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\mathcal J(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
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\triangleq
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||||
\tilde{\mathbf y}^\Herm
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||||
\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)}\right)
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||||
\tilde{\mathbf y}
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\tilde{\mathbf y},
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\end{equation}
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得到。
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其中 $\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\triangleq\mathbf B_{\mathrm{st}}\!\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm$ 为空时字典列空间的投影算子。
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对 $\boldsymbol\zeta$ 与 $\sigma$ 的闭式消元过程与第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列 DoA 完全平行，详细矩阵代入见附录~\ref{sec:det_doa_doppler_crb}。
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若不关心 Doppler，可将其视为干扰参数并先做 profile 处理：
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若 Doppler 本身不感兴趣、仅作为干扰参数，可先做 profile 处理：
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\begin{equation}
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\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}}
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=
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@@ -155,4 +113,5 @@
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\tilde{\mathbf y}.
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\end{equation}
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由此可见，Doppler 不是简单附加在 DoA 估计之后的独立标量，而是通过时间模板与空间导向矢量共同形成空时子空间。多星静态 DoA--Doppler 模型将在这一思想上进一步加入卫星几何约束：各链路 Doppler 不再独立搜索，而由同一个 $\boldsymbol\xi$ 和参考星参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 统一诱导。
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由此可见，Doppler 不是简单附加在 DoA 估计之后的独立标量，而是通过时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间。这种耦合既是 DoA--Doppler 联合估计带来增益的来源，也是单独估计任一参数会造成信息损失的原因。
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第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节将在此结构基础上加入卫星几何约束：各链路 Doppler 不再独立搜索，而由同一个 $\boldsymbol\xi$ 和参考星 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 统一诱导。
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