content(sec): 正文 sec1/2/3/6 重组——过渡段、集中似然结论化、详细推导引用附录
按 agent_instruction.md §3.2/§2.4 的 "一节一维度" 与 "正文止于集中似然" 原则重写： sec1 多快拍确定信号 DoA：开门见山引入多快拍场景；新增 ULA/UPA 子节（迁自 02-modeling §4.5）；ŝ_t 与 σ̂ 的逐步矩阵代入压缩为 闭式结论 + 引用附录 D.1；末尾新增随机信号对比小节，详细 SML 推导 引用附录 D.3。X 改名为 S 与新符号约定一致。 sec2 加入 Doppler：新过渡段明确 "新维度=时间相位结构"；信号模型 迁入 02-modeling §4.3 的归一化角 Doppler 与导频约定；ζ̂、σ̂ 闭式 消元收敛为投影残差结论 + 引用附录 D.2。 sec3 多星协作（单用户）：过渡段强化参考星参数化的动机（避免主参 数膨胀到 2+L）；全局/局部 DoA 映射、归一化 Doppler 与时间索引、 参考星参数化三小节迁自 02-modeling §4.4，保留 subsec:globalLocalDoaMap、 subsec:dopplerNormalization、subsec:refSatParameterization 三个 被 sec6/E 跨节引用的 label；联合似然的 ζ_ℓ/σ_ℓ 闭式消元归并为 单个结论式 + 引用附录 E。仿真图与说明保留。 sec6 多帧动态 CP/IP：过渡段说明这是另一独立维度扩展，不叠加 多用户与时间戳误差；CP/IP 模型定义保留；CP 结构化 MLE、relaxed MLE 与 IP MLE 的详细 ρ̂/ζ̂ 闭式消元统一压缩为三类残差对照 + 引用附录 G；CP-K/CP-U 派生与 single-sat orthogonality 作为结论引用附录 G.1；EFIM 投影解释与 Doppler comb / tooth ambiguity 保留高层结论，矩阵代入与 Dirichlet 窗口完整推导引用附录。 02-modeling.tex 内容已分别迁入 sec1/sec2/sec3，文件归档；主文件 \input 列表去掉对应行。
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\section{静态多阵列确定信号 DoA--Doppler 估计问题模型}
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\section{多星协作——单用户全局参数化}
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\label{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}
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\subsection{离散时间统一符号与参考星参数化}
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第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的根本限制在于：单阵列的孔径决定 DoA 分辨率上限，单链路 Doppler 只提供一个标量约束。
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当 $L$ 颗卫星从不同轨道位置同时观测同一用户时，几何多样性给出了新的信息维度——但若把每条链路的 $\nu_\ell$ 都视为独立参数，主参数维度会从 $2$ 膨胀到 $2+L$，无谓地放大搜索空间。
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本节的关键观察是：这 $L$ 个链路 Doppler 受卫星轨道几何约束，并\emph{不}独立——一旦给定全局方向 $\boldsymbol\xi$ 和任意一条参考链路上的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，其余链路的 $\nu_\ell$ 由已知几何唯一诱导。
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\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化（\S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization}），再给出多星静态 DoA--Doppler 联合似然与集中似然准则；详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见附录~\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。
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本节在第~\ref{subsec:multiArrayCommonNotation} 小节统一几何与参考卫星参数化的基础上，考虑单观测块内的多星确定信号 DoA--Doppler 联合估计问题。与单阵列模型相比，本节的新增结构是：各卫星局部导向矢量均由同一个全局方向 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 诱导，各链路归一化 Doppler 均由参考卫星链路参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 诱导。
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\subsection{全局/局部 DoA 映射}
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\label{subsec:globalLocalDoaMap}
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设共有 $L$ 颗协作卫星，卫星索引为
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后文统一采用全局方向参数
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\begin{equation}
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\ell=0,1,\ldots,L-1.
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\end{equation}
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静态模型仅考虑单个观测块（单帧、单个 \gls{cpi} 或单个处理块）内的估计问题。块内离散采样点索引为
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\begin{equation}
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t=0,1,\ldots,T-1,
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\end{equation}
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其中 $T$ 为该观测块内的采样点数。本文不再额外引入连续时间变量；若需要与实际物理量建立联系，仅通过采样周期 $T_{\mathrm{s}}$ 进行一次性转换。
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固定选择一颗卫星作为参考卫星，其索引记为 $\ell_{\mathrm{ref}}$，除特别说明外默认取 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。参考卫星链路上的归一化 Doppler 为
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\begin{equation}
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||||
\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}.
|
||||
\end{equation}
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根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的约定，第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler 由
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\begin{equation}
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||||
\nu_\ell
|
||||
=
|
||||
f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
|
||||
\boldsymbol\xi
|
||||
\triangleq
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\alpha\\
|
||||
\beta
|
||||
\end{bmatrix},
|
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\qquad
|
||||
\ell=0,1,\ldots,L-1,
|
||||
\end{equation}
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||||
给出，并满足
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||||
\begin{equation}
|
||||
f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
\mathbf u(\boldsymbol\xi)
|
||||
=
|
||||
\nu_{\mathrm{ref}}.
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\cos\beta\cos\alpha\\
|
||||
\cos\beta\sin\alpha\\
|
||||
\sin\beta
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\qquad
|
||||
\|\mathbf u(\boldsymbol\xi)\|_2=1.
|
||||
\end{equation}
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等价地，也可写成
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其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角；多用户场景下可写为 $\boldsymbol\xi_k$，本节单用户主线中省略下标。
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设第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的位置与速度分别为 $\mathbf s_\ell$ 和 $\mathbf v_\ell$。其本地阵列坐标基为
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\begin{equation}
|
||||
\nu_\ell
|
||||
=
|
||||
\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||||
\mathbf e_{3,\ell}=-\frac{\mathbf s_\ell}{\|\mathbf s_\ell\|_2},
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf e_{2,\ell}=\frac{\mathbf s_\ell\times\mathbf v_\ell}{\|\mathbf s_\ell\times\mathbf v_\ell\|_2},
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf e_{1,\ell}=\mathbf e_{2,\ell}\times\mathbf e_{3,\ell}.
|
||||
\end{equation}
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||||
其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态和参考星选择确定。因此，静态多星 DoA--Doppler 主参数统一为
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||||
从本地坐标系到全局坐标系的旋转矩阵记为
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||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol{\Omega}_\ell
|
||||
\triangleq
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\mathbf e_{1,\ell},\mathbf e_{2,\ell},\mathbf e_{3,\ell}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb R^{3\times 3}.
|
||||
\end{equation}
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||||
第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量为
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\begin{equation}
|
||||
\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||||
=
|
||||
\boldsymbol{\Omega}_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi)
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}
|
||||
\end{bmatrix}^\Tran,
|
||||
\end{equation}
|
||||
对应的局部方位角与俯仰角统一记为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||||
=
|
||||
\operatorname{atan2}\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1}\big),
|
||||
\qquad
|
||||
\beta_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||||
=
|
||||
\arcsin\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big).
|
||||
\end{equation}
|
||||
第 $\ell$ 颗卫星的阵列导向矢量统一定义为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||||
\triangleq
|
||||
\mathbf a_\ell\!\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}\big)
|
||||
\in\mathbb C^{M_\ell\times 1},
|
||||
\end{equation}
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其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 ULA/UPA 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。
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\subsection{归一化 Doppler、Doppler rate 与时间索引}
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\label{subsec:dopplerNormalization}
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物理解释层使用实际 Doppler 与 Doppler rate $(\nu^{\mathrm{Hz}},\dot\nu^{\mathrm{Hz}})$（单位 Hz 与 Hz/s）；信号模型与 \gls{crb} 推导统一使用归一化角量 $(\nu,\dot\nu)$（单位 rad/sample 与 rad/sample$^2$），二者关系为
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||||
\begin{equation}
|
||||
\nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}},
|
||||
\qquad
|
||||
\dot\nu = 2\pi\dot\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}^2.
|
||||
\end{equation}
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||||
后续模型若未显式带有上标 $\mathrm{Hz}$，均默认使用归一化量。
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||||
单观测块静态模型中，块内离散采样索引为 $t=0,1,\ldots,T-1$。多帧动态模型（第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节）引入帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，第 $p$ 帧起始点相对参考时刻的离散偏移记为 $\tau_p$（约定 $\tau_0=0$），并定义全局离散时间索引
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||||
\begin{equation}
|
||||
t_{p,t}
|
||||
\triangleq
|
||||
\tau_p+t.
|
||||
\end{equation}
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||||
\subsection{参考卫星参数化}
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\label{subsec:refSatParameterization}
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||||
固定选择一颗卫星作为\emph{参考卫星}，其索引记为 $\ell_{\mathrm{ref}}$，除特别说明外默认取 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。后文中涉及 ``ref'' 的 Doppler 参数，均指\emph{参考卫星链路}上的参数，而不再使用星群质心或星群平均速度定义参考 Doppler。
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||||
静态 DoA--Doppler 主参数统一写为
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||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\boldsymbol\xi\\
|
||||
\nu_{\mathrm{ref}}
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb R^{3},
|
||||
\end{equation}
|
||||
而每颗卫星的 $\nu_\ell$ 只作为由 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 诱导的局部链路量出现。
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||||
其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。
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||||
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\subsection{静态离散信号模型}
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||||
给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为
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||||
\begin{equation}
|
||||
\nu_\ell
|
||||
=
|
||||
\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||||
\qquad
|
||||
\dot\nu_\ell
|
||||
=
|
||||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||||
\qquad
|
||||
\ell=0,1,\ldots,L-1,
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 与 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态确定，且 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。
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||||
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||||
\subsection{静态多星信号模型}
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||||
\label{subsec:staticBlockModel}
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||||
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||||
考虑单用户上行已知训练序列 $s(t)$。在单个观测块内，假设：
|
||||
考虑单用户上行已知训练序列 $s(t)$，在单个观测块内做如下假设：
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item DoA 在整个观测块内保持不变；
|
||||
\item 每条链路的 Doppler 在该观测块内近似为常数；
|
||||
\item 每颗卫星对应一个未知复干扰系数 $\zeta_\ell$；
|
||||
\item 不同卫星的噪声方差允许不同，但同一颗卫星在该观测块内噪声方差保持不变。
|
||||
\item 每条链路的归一化 Doppler 在该观测块内近似为常数；
|
||||
\item 每颗卫星对应一个未知复干扰系数 $\zeta_\ell\in\mathbb C$；
|
||||
\item 不同卫星的噪声方差允许不同（\emph{星间异方差}），但同一颗卫星在该观测块内保持不变。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
于是，第 $\ell$ 颗卫星在第 $t$ 个采样点的阵列接收向量可写为
|
||||
第 $\ell$ 颗卫星在第 $t$ 个采样点的接收向量为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf y_\ell(t)
|
||||
=
|
||||
@@ -70,58 +145,24 @@
|
||||
e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t}
|
||||
+
|
||||
\mathbf n_\ell(t),
|
||||
\qquad t=0,1,\ldots,T-1,
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}),
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中为书写紧凑记
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
\triangleq
|
||||
f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
这里 $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，噪声满足
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf n_\ell(t)
|
||||
\sim
|
||||
\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}),
|
||||
\qquad \ell=0,1,\ldots,L-1.
|
||||
\end{equation}
|
||||
这里采用\emph{星间异方差}假设，即不同卫星的噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$ 可以不同。
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||||
其中 $\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\triangleq \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。
|
||||
|
||||
将第 $\ell$ 颗卫星在整个观测块内的数据按时间堆叠，定义时间模板
|
||||
定义时间模板
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
\triangleq
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
s(0)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\cdot 0} \\
|
||||
s(1)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\cdot 1} \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
s(T-1)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})(T-1)}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\in\mathbb C^{T\times 1}.
|
||||
s(0)e^{j\nu_\ell\cdot 0}, &
|
||||
s(1)e^{j\nu_\ell\cdot 1}, &
|
||||
\cdots, &
|
||||
s(T-1)e^{j\nu_\ell(T-1)}
|
||||
\end{bmatrix}^\Tran
|
||||
\in\mathbb C^{T\times 1},
|
||||
\end{equation}
|
||||
相应地，第 $\ell$ 颗卫星的矩阵观测可写为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf Y_\ell
|
||||
=
|
||||
\zeta_\ell
|
||||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||||
\mathbf q_\ell^\Tran(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
+
|
||||
\mathbf N_\ell,
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中 $\mathbf Y_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$，$\mathbf N_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$ 的各列独立满足 $\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。
|
||||
|
||||
为便于后续似然函数构建和 \gls{crb} 推导，进一步向量化定义
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||||
\triangleq
|
||||
\vect(\mathbf Y_\ell),
|
||||
\qquad
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell
|
||||
\triangleq
|
||||
\vect(\mathbf N_\ell),
|
||||
\end{equation}
|
||||
并定义空时导向向量
|
||||
与空时导向向量
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -130,30 +171,29 @@
|
||||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
则向量化观测模型可统一写为
|
||||
将第 $\ell$ 颗卫星的观测堆叠并向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell\triangleq\vect(\mathbf Y_\ell)$，则有
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||||
=
|
||||
\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
+
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell.
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell,
|
||||
\qquad
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
与第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节一致，本文把
|
||||
本节的干扰参数为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}
|
||||
=
|
||||
\Big[
|
||||
\{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
|
||||
\{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\Big]^\Tran
|
||||
\Big]^\Tran.
|
||||
\end{equation}
|
||||
作为静态模型的干扰参数。若在后续 \gls{crb} 推导中需要显式使用实参数化，则可进一步将 $\zeta_\ell$ 分解为其实部和虚部。
|
||||
|
||||
\subsection{联合似然函数与结构化最大似然估计}
|
||||
\subsection{联合似然与集中似然}
|
||||
|
||||
本小节不再重新定义新的观测模型，而是直接沿用上一小节的向量化形式 $\tilde{\mathbf y}_\ell=\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})+\tilde{\mathbf n}_\ell$。因此，下文中的 $\mathbf g_\ell$、$\zeta_\ell$、$\sigma_{n,\ell}^2$ 与模型小节完全一致；待估主参数为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，干扰参数为 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$。
|
||||
|
||||
由于不同卫星噪声相互独立，且每颗卫星内部噪声服从圆对称复高斯分布，因此多星联合似然函数可由各星观测块的概率密度相乘得到。去掉与参数无关的常数项后，对应的联合负对数似然函数为
|
||||
各星观测条件独立，圆对称复高斯，联合负对数似然为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal L_{\mathrm{stat}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}})
|
||||
=
|
||||
@@ -169,98 +209,42 @@
|
||||
\right\|_2^2
|
||||
\right].
|
||||
\end{equation}
|
||||
因此，结构化最大似然估计问题可写为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
(\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}},\widehat{\boldsymbol\psi}_{\mathrm{stat}})
|
||||
=
|
||||
\arg\min_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}}
|
||||
\mathcal L_{\mathrm{stat}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\subsubsection{对复干扰系数参数的闭式消元}
|
||||
|
||||
对于固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 和 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，第 $\ell$ 条链路复干扰系数 $\zeta_\ell$ 的最小二乘解为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\hat\zeta_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
=
|
||||
\frac{\mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell}
|
||||
{\|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
将其代回后，对应的每星残差可写为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
\triangleq
|
||||
\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2
|
||||
-
|
||||
\frac{
|
||||
\left|
|
||||
\mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||||
\right|^2
|
||||
}{\|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
于是对 $\{\zeta_\ell\}$ 集中后的负对数似然可写为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal L_{\mathrm{stat,c}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\{\sigma_{n,\ell}^2\})
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\left[
|
||||
M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
|
||||
+
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
\right].
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\subsubsection{对噪声方差的轮廓化处理}
|
||||
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||||
若进一步把每颗卫星的噪声方差视为未知参数，则对固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$，其极大似然估计为
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\begin{equation}
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\hat\sigma_{n,\ell}^2(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
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=
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\frac{1}{M_\ell T}
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\mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
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\qquad
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\ell=0,1,\ldots,L-1.
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\end{equation}
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代回后，可得到完全轮廓化的目标函数
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\begin{equation}
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\mathcal L_{\mathrm{stat}}^{\mathrm{pro}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
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||||
=
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||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
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||||
M_\ell T
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||||
\log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
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||||
\end{equation}
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其中同样忽略了与参数无关的常数项。因此，在星间异方差假设下，静态多阵列 DoA--Doppler 问题的轮廓最大似然估计可写为
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对干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_{n,\ell}^2$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见附录~\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}}
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||||
=
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\arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
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||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
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||||
M_\ell T
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||||
\log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}).
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||||
\log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
|
||||
\qquad
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\mathcal E_\ell
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\triangleq
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||||
\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2
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||||
-
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||||
\frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2}
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||||
{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
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||||
\end{equation}
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若实际中各星噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$ 已知或可由预处理阶段获得，则也可采用加权集中似然形式
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若实际中 $\sigma_{n,\ell}^2$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}}
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||||
=
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||||
\arg\max_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
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||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
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||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
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||||
\frac{
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\left|
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||||
\mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell
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||||
\right|^2
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||||
}{\|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2}.
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||||
\frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2}
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||||
{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
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||||
\end{equation}
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该表达式表明：在多星协作条件下，联合估计的本质是在统一的全局方向参数 $\boldsymbol\xi$ 和参考归一化 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 下，对各卫星空时匹配输出进行加权融合；其中权重既受几何映射影响，也受不同卫星噪声水平影响。
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该表达式说明：在多星协作条件下，联合估计等价于在统一的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各卫星空时匹配输出按几何与噪声水平进行加权融合。
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\subsection{仿真结果说明}
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图 \ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。
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图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。
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图 \ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 DoA 估计与联合进行 DoA--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，DoA--Doppler 联合估计均优于仅 DoA 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。
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图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 DoA 估计与联合进行 DoA--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，DoA--Doppler 联合估计均优于仅 DoA 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。
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图 \ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。
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图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。
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\begin{figure}[!h]
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\centering
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@@ -283,4 +267,5 @@
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\label{fig:multiSatSingleSourceScene}
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\end{figure}
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本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。下一节将在保持主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 不变的前提下，引入多帧索引、Doppler rate 和跨帧连续相位结构。
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本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。
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后续第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节将沿\emph{时间结构}维度继续推进，在保持主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 不变的前提下引入多帧索引与跨帧连续相位结构。
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