content(app-H): 补全条件压缩与时间戳局部秩判据

parts/E-multiSatStaticCrb.tex

@@ -818,6 +818,36 @@ $3K\le 2\sum_\ell(M_\ell T-K)$；该维数不等式只是必要条件，不能
 %
 即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。
 
+\subsection{已知时间模板下的充分统计量}
+\label{subsec:E_conditionalCompression}
+
+第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的时间维压缩以模板已知为条件。固定一颗卫星，省略星下标，记 $\mathbf Q=[\mathbf q_1,\ldots,\mathbf q_K]$、$\mathbf H=[\mathbf h_1,\ldots,\mathbf h_K]$，则 $\mathbf Y^\Tran=\mathbf Q\mathbf H^\Tran+\mathbf N^\Tran$。取 $\mathbf Q$ 列空间的一组标准正交基 $\mathbf U\in\mathbb C^{T\times r}$，其中 $r=\operatorname{rank}(\mathbf Q)$。正交分解给出
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:E_compression_factorization}
+  \|\mathbf Y^\Tran-\mathbf Q\mathbf H^\Tran\|_{\mathrm F}^2
+  =\|\mathbf U^\Herm\mathbf Y^\Tran-\mathbf U^\Herm\mathbf Q\mathbf H^\Tran\|_{\mathrm F}^2
+   +\|(\mathbf I_T-\mathbf U\mathbf U^\Herm)\mathbf Y^\Tran\|_{\mathrm F}^2.
+\end{equation}
+%
+白噪声下，两个正交分量相互独立，第二项的分布不依赖 $\mathbf H$。由似然因子分解，噪声方差已知时，$\mathbf U^\Herm\mathbf Y^\Tran$ 是关于 $\mathbf H$ 的充分统计量；方差未知时，再保留第二项的残差能量即可。由于投影能量已由压缩输出确定，也可用总能量 $\|\mathbf Y\|_{\mathrm F}^2$ 代替残差能量。这一结论同样适用于以角度和增益参数化的 $\mathbf H$。
+
+当 $\mathbf Q$ 列满秩时，可将压缩输出改写为联合最小二乘信道估计
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:E_compression_ls}
+  \widehat{\mathbf H}^{\Tran}
+  =(\mathbf Q^\Herm\mathbf Q)^{-1}\mathbf Q^\Herm\mathbf Y^\Tran,
+  \qquad
+  \operatorname{Cov}\!\left(
+    [\widehat{\mathbf H}^{\Tran}-\mathbf H^\Tran]_{:,m}
+  \right)=\sigma(\mathbf Q^\Herm\mathbf Q)^{-1}.
+\end{equation}
+%
+模板正交时，\eqref{eq:E_compression_ls} 化为逐用户匹配输出；模板非正交时，用户间噪声相关性由 Gram 矩阵的逆给出。列秩不足时仍可压缩到 $\mathbf U$，但任意空间信道矩阵 $\mathbf H$ 的各列不再能分别恢复。
+
+若模板依赖待估 Doppler 或时延，则 $\mathbf U$ 也随这些参数改变。\eqref{eq:E_compression_factorization} 只证明固定模板下的充分性，单个估计模板处的压缩输出不能据此称为整个联合问题的充分统计量。
+
 \subsection{非正交码分下的多用户 CRB（多址干扰）}
 \label{subsec:E3_maiCrb}